Математические объекты и дарвинизм

А. К.: Исследование математической реальности определенно подвергается культурному воздействию. Тем не менее, этого недостаточно, чтобы назвать математические объекты культурными. Мне кажется, что основная трудность заключается в различии между «сырой» математической реальностью и мыслительными средствами, разработанными математиками с целью ее постижения. Эти средства действительно являются частью нашего культурного наследия. Возьмем для примера так называемое «исследование асимптотического поведения». Возможно, математическая реальность слишком сложна для того, чтобы быть легко доступной нашему восприятию. К примеру, не существует ни одной простой формулы для получения η-го простого числа. Асимптотическая задача заключается в отыскании формулы, которая даст приблизительно порядок величины η-го простого числа. Таким образом, мы получим доказательство того, что количество простых чисел, меньших, чем целое число п, равно частному от деления числа n на его логарифм. Таким образсм мы откроем некий аспект математической реальности. Но — и на этом я настаиваю — необходимо различать мысленное средство и исследуемую с его помощью математическую реальность. Математик вполне в состоянии изобрести новое мысленное средство. До тех пор, пока математику не

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ и ДАРВИНИЗМ 45

удастся с его помощью открыть новую область математической реальности, еще не известную его современникам, те будут вправе относиться к созданному им средству с определенной долей недоверия. Для того, чтобы достичь успеха в математике, недостаточно просто обладать воображением!

Ж.-П. III.: Вот мы и добрались в нашей дискуссии до одного очень интересного момента. Ты сам заговорил об эволюции математических знаний. Я возвращаюсь к этой мысли, поскольку она примыкает к идее общей эволюции знания, эволюции культурных объектов во всем разнообразии их форм. Надо думать, ты согласишься с тем, что математические объекты, как и любые другие объекты познания, возникают в результате некоей «мысленной мутации», обусловленной случайностью церебрального опыта математиков. В дальнейшем эти объекты используются, изучаются, измельчаются, если можно так выразиться, посредством рассуждения. Затем откладывается селекционный «осадок» — дарвиновский термин я использую намеренно (см. [9, 31]), — обусловленный соображениями адекватности уже существующему целому и взаимосвязанности. Результатом этого процесса является структуризация. И вот отсюда наши с тобой пути расходятся. Упомянутые взаимосвязанность и структурность представляются мне результатом эволюции a posteriori¹. Позволь мне сравнить эволюцию математических объектов с эволюцией биологической. Даже несмотря на наличие очевидно непрерывного «прогресса» в эволюции позвоночных (от рыб к земноводным, от рептилий к млекопитающим и далее от обезьяны к человеку, см. рис. 7), никто, кроме людей глубоко религиозных — таких, например, как Тейяр де Шарден, — не станет сегодня утверждать, что целью эволюции является «выведение» совершенного человека. Я не собираюсь сравнивать твое мировоззрение с мировоззрением Тейяра де Шардена, но когда ты говоришь о математике, который шаг за шагом «открывает» математический и структурированный мир, боюсь, что я вижу в этом своего рода финализм, понятный с позиции практика, но неожиданный для теоретика.

Исследуя в лаборатории какую-либо биологическую молекулу, мы стремимся выяснить, например, обладает ли она ферментной активностью, является ли носителем наследственности... Мы за-

«из последующего» (лат.), т.е. на основании опыта, имеющихся данных. — Прим. перев.

46

МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

.£

14 14 ^,14

α¹¹

m¹⁰ E¹⁰ F¹⁰

________αΓ'ί£___

/' "' « _^

l

5. ВЕРА в МАТЕМАТИКУ 47

А. К.: Давай договоримся о смысле термина «эволюция». В математике, как и в любой другой дисциплине, знания эволюционируют. Однако реальность, к которой все они так или иначе относятся, ничуть при этом не изменяется. Например, однажды установленный и подтвержденный соответствующими доказательствами перечень простых конечных групп никогда не изменится. Он действительно представляет собой продукт открытия.

И причем здесь, собственно, финализм? Я не думаю, что утверждение существования математической реальности, независимой от ее восприятия, является финалистским тезисом. Никогда не решусь я утверждать, что тот или иной математический объект подчинен какой бы то ни было финальности. Аргументы такого рода для математика совершенно неприемлемы!

5. Вера в математику

А. К.: Словом, я никоим образом не финалист. И не думаю, что смогу когда-нибудь изменить свою позицию... Ж.-П. Ш.: А почему бы и нет?

48 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

А. К.: Нет, нет...

Ж.-П.Ш.: Но, может быть, ты начал разговор, уже имея некое сложившееся мнение...

А. К.: Я верю, что...

Ж.-П.Ш.: Осторожно, ты сказал «верю»!

А. К.: Верно, сказал. Но ведь наша дискуссия носит отчасти метафизический характер...

Ж.-П.Ш.: Причем эту самую часть я считаю основной.

А. К.: Разумеется, если она приведет нас к уточнению понятия реальности. Я смиренно признаю, что математический мир существует независимо от нашего способа его восприятия и не локализован во времени и пространстве. Однако способы, посредством которых мы этот мир постигаем, подчиняются законам, очень близким к законам биологии. Эволюция восприятия математической реальности развивает в нас новое чувство, позволяющее получить доступ к некоей реальности, которая имеет не визуальную и не слуховую, а какую-то другую природу.

Ж.-П.Ш.: В этом отношении мы, быть может, вновь сойдемся. Говоря о развитии мозгом нового чувства, ты отчасти становишься на позиции конструктивистов. Будучи нейробиологом, я вовсе не исключаю, что наш мозговой аппарат обладает такими гибкостью и способностью к реорганизации, какие позволяют ему воспринимать объекты новой формы, которых он до сих пор не имел возможности встречать в том окружении, в котором он, собственно, и сформировался среди равнин Центральной Африки несколько миллионов лет назад. Благодаря упомянутым качествам мозг и в самом деле мог выработать или «ухватить» некое «новое чувство». Причем отсюда вовсе не следует, что в природе непременно существует целиком и полностью сформированная математическая система, которую мы постепенно открываем. Мне кажется, твоя позиция содержит в себе некое противоречие: с одной стороны, ты допускаешь, что математика эволюционирует по модели, сходной с той, что предлагают биологи, с другой же стороны — считаешь, что совокупность математических явлений образует mathesis universalis, взаимосвязанное и устойчивое бесконечное множество, из которого нам до сих пор удалось постичь лишь самые начала. Этот спор вновь напомнил мне размышления Эрнста Мейра относительно причинности наук о жизни. Он противопоставляет «ближайшую причину» — «как?» — биолога или физиолога, «отдаленной причине», «почему?» метафизика. И его

5. ВЕРА в МАТЕМАТИКУ 49

ответ ясен. Наука от «почему» не есть Бог_г это всего лишь эволюционная биология. «Почему» математической экзистенции есть эволюция как нашего аппарата познания, так и самих математических объектов. Если ты представляешь себе этот процесс как формирование нового чувства, позволяющего получить доступ к культурным объектам, которые и сами эволюционируют, то, я думаю мы можем таким образом прийти к согласию.

Природа, одетая по мерке

1. Конструктивистская математика

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Спор между математиками-креационистами, такими, как ты, и биологами-эволюционистами, такими, как я, приобретает несколько более радикальный характер. Тем не менее, нам удалось прийти к общему мнению по некоторым вопросам — например, об определении математических объектов как культурных репрезентаций особого типа, или об эволюционном развитии математического знания. На данный момент мы расходимся в отношении существования математической реальности, причем существования ее во вселенной вне и прежде мозга математика — возможно, в ходе наших встреч мы с тобой тоже эволюционируем и достигнем, наконец, согласия. По твоему мнению, математик лишь открывает, шаг за шагом, ту самую mathesis universalis, в которую ты веришь, — этот термин я употребляю здесь вполне намеренно. Однако твое отношение к этой проблеме не совсем согласуется с отношением к ней математиков вообще. Еще в XVIII веке Иммануил Кант утверждал, что «окончательная истина математики в том, что человеческий разум способен создавать на ее основе новые понятия». Многие из математиков, которых называют конструктивистами, полагают, что математический объект существует лишь в той мере, в какой его можно создать. Мне, впрочем, кажется, что спор между формалистами и конструктивистами ничуть не менее горяч, чем спор между мной и тобой [67]. Один из последних, Аллан Колдер, писал однажды, что «критерии приемлемости в конструктивной математике гораздо более строги, нежели в математике неконструктивной» [6], а если рассматривать задачу под углом конструктивизации, то можно добиться «более эффективного анализа и более результативных теорем» [6, с. 210]. Замечательно все же то, что некоторые математики защищают положения, отличные от твоих и близкие к тем, что доказывают нейробиологи вроде меня. Аллан Колдер высказывается еще более прямо, чем я (когда я напоминал тебе о твоем

1. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ МАТЕМАТИКА 51

опыте математика-создателя и говорил о субъективности твоего отношения). Он пишет: «Большинство современных математиков, воспитываемых в течение нескольких поколений на идеалах формализма, оказались в ситуации ментальной блокировки, из-за которой им с трудом удается взглянуть на математику объективно — до такой степени с трудом, что некоторые считают далее, что конструктивизм разрушает математику, подобно раковой опухоли» [6, с. 211]. Вот до какого накала, порой совершенно иррационального, доходят в спорах между собой математики. До того, что Колдер заканчивает свою статью на той же ноте, на какой закончилась наша последняя беседа: «Утверждение существования математической истины за пределами человеческого разума требует от математика веры, которую мало кто из них осознает» [6, с. 211]. Таким образом, мы оказываемся весьма далеко от столь милого сердцу Спинозы emendatio intellectus¹ !

АЛЕН Конн: Различие между конструктивизмом и формализмом носит, прежде всего, методологический характер. Конструктивиста можно сравнить с альпинистом, который идет на приступ горы с голыми руками, формалист же в подобной ситуации садится в вертолет и приземляется прямо на горной вершине. Оба подхода имеют свои плюсы, которые зависят от поставленных задач. И в современной математике порой возникает необходимость пусть и не перейти окончательно к конструктивизму, но несколько смягчить влияние установившейся аксиоматики, в частности, несчетной аксиомы выбора. Обратимся к конкретной проблеме, с которой я однажды столкнулся и по поводу которой эти две точки зрения различаются. Речь идет об очень старом споре, касающемся вопроса об измеримости в смысле Лебега вещественных функций. Доказано, что если использовать только счетную аксиому выбора, то неизмеряемые функции построить невозможно. Из этого следует, что при математическом доказательстве с использованием только счетной аксиомы выбора никогда не возникнет проблемы неизмеримости. В конструктивистской теории аксиома выбора никогда не используется, и, таким образом, проблемы неизмеримости не возникает. Посмотрим теперь на точку зрения формалистов. Когда создается теория множеств, основанная на несчетной аксиоме выбора, любое множество может быть вполне упорядочено. Однако полный порядок на действительной прямой

Усовершенствование разума (лат.) — Прим. перев.

52 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

неизмерим по своей природе и, естественно, недостижим. Несчетная аксиома выбора значительно упрощает теорию кардинальных чисел и дает, таким образом, некоторое — весьма, на мой взгляд, приблизительное — представление об определенной области математической реальности. В частности, изоморфными (т. е. одинаковой мощности) считаются множества, для которых нельзя эффективно построить биективное отображение одного на другое. Например, множество квазикристаллов Пенроуза обладает, с несчетной аксиомой выбора, мощностью континуума, в то время как невозможно построить эффективную биекцию между этим множеством и континуумом. Обратимся снова к сравнению — несчетная аксиома выбора дает нам, так сказать, «вид с высоты птичьего полета», т.е. упрощенную картину математической реальности. Действительно, большинство математиков выросло на модели той теории множеств, которая предполагает несчетную аксиому выбора, и они не отдают себе отчета в ее упрощающем действии. Однако эта упрощенность никого, кроме небольшой горстки современных математиков, не волнует и, по большей части, даже приветствуется. Таким образом, мы видим, что различные точки зрения раскрывают разные аспекты математической реальности, и при этом не возникает никаких противоречий. Конструктивизм не ставит под сомнение существование независимого математического мира...

Ж.-П. Ш.: Во всяком случае, так говорят его защитники. Мы не можем обвинять их в обскурантизме. Они все же знакомы с математической вселенной. Но для них она существует только в той степени, в какой они могут ее шаг за шагом выстраивать.

А. К.: Думаю, тебе не удастся найти конструктивиста, который не принял бы тот перечень простых конечных групп, что я привел выше. Следует понимать, что большинство фундаментальных математических объектов можно так или иначе сконструировать. Этим и объясняется то, что конструктивисты не ставят их существование под сомнение. Напротив, в методах разница может оказаться существенной. Возьмем для примера очень полезное средство доказательства, называемое ультрапроизведения. Если ультрапроизведения никак не участвуют в формулировке результата, который требуется доказать, то этот результат, очевидно, можно получить с помощью одной лишь математической логики, не привлекая к доказательству эти самые ультрапроизведения. Это ничуть не противоречит тому, что в общем случае для некоторых задач гораздо

1. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ МАТЕМАТИКА 53

проще найти доказательство с использованием ультрапроизведений. К примеру, можно показать, что поля, полученные ультрапроизведением р-адических полей, ничем не отличаются от полей, полученных ультрапроизведением полей формальных степенных рядов на конечные поля Fp. Это обстоятельство может оказаться весьма полезным для решения некоторых уравнений. Хорошо видно, что в данном конкретном случае конструктивистский подход, запрещающий использование ультрапроизведений, проявляет себя как консервативный и ограничивающий.

Однако, как бы то ни было, я не думаю, что этим ставится под сомнение существование математического мира, независимого от человека и не воспринимаемого его органами чувств.

Ж.-П. Ш.: Это то, во что веришь ты. Граница между конструктивизмом и интуиционизмом является, по твоему мнению, скорее методологической, нежели онтологической. Конструктивисты же думают иначе... Они как раз желают «поставить под сомнение». Но, в конечном счете, твой субъективный опыт математика и твоя вера (весьма горячая, раз уж ты допускаешь, что она у тебя есть) свидетельствуют, возможно, о том, что существует некая более глубокая истина, — не прибегая при этом, впрочем, ни к чему нематериальному. Это истина, которую ты чувствуешь, которую ты воспринимаешь, которую ты представляешь себе, но относительно которой мы никак не можем прийти к согласию — возможно, вследствие отсутствия общей концепции, которая могла бы нас объединить.

Основным пунктом нашего разногласия является вопрос о существовании математического мира. Вступая в твою игру, я попытался представить, где этот мир мог бы находиться, какой он оставил бы след в природе. Если ты выдвигаешь гипотезу о том, что этот математический мир существует вне нас, и при этом продолжаешь считать себя материалистом, то ты вынужден будешь подвести под нее какую-либо материальную базу. Я не вижу, в какой иной форме самой организации материи этот математический мир может быть представлен в природе — за исключением, естественно, того, что собрано в математических трудах и в памяти математиков. Бесспорно, в окружающей нас природе существуют различные закономерности: движение планет (см. рис. 8), организация атомов в кристалле каменной соли или, например, двойная спиральная структура дезоксирибонуклеиновой кислоты. Веришь ли ты, что эти закономерности являются выражением универсаль-

54

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

l. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ МАТЕМАТИКА 55

ной математики, формирующей в какой-то степени «идеальный скелет» материи, вокруг которого эта самая материя и организуется? Или ты (вместе со мной) полагаешь, что эти закономерности представляют собой лишь присущие материи свойства, вовсе не обязательно являющиеся выражением некоего первичного математического закона? Если дело обстоит именно так, то задача ученого-«натуралиста» сводится к тому, чтобы постичь эти закономерности, разработать необходимые инструменты и создать язык и понятия, позволяющие, в общем случае, все это математически описать. Для того, чтобы сделать выбор между двумя этими точками зрения, необходимо сопоставить упомянутые внешние закономерности с математическими объектами. Если математика является организующим принципом материи, то рано или поздно непременно будет найдено совершенное соответствие между регулярностью материальных объектов и регулярностью объектов математических. В противном случае математика, продукт человеческого мозга, представляет собой всего-навсего приблизительный язык, служащий для описания материи, которая по большей части нашему восприятию недоступна.

Биологи — как, впрочем, и физики — в рамках своего гипотетически-дедуктивного подхода создают мысленные объекты или модели, сопоставляемые затем с физической реальностью, которая является по отношению к ним чем-то внешним. Эти модели суть упрощенные представления об объекте или процессе, когерентные, непротиворечивые, минимальные и подтвержденные опытом. Хорошая модель является прогнозирующей в том смысле, что с ее помощью мы можем разработать эксперименты, которые обогатят наши познания. Моделям также присущ генеративный характер, поскольку на их основе можно создавать другие теоре-

Рис. 8. Армиллярные сферы — металлические или деревянные объекты, состоящие из вставленных друг в друга обручей, скрепленных шарнирами. Предполагается, что они воспроизводят движение планет и небесной сферы вокруг Земли (обозначена буквой Т) в зависимости от месяца. Эти устройства появились в XVIII веке и представляют собой, в какой-то степени, первые механические модели вселенной. Представленное здесь изображение армиллярной сферы взято из рукописной учебной тетради некоего студента с инициалами G.L., датируемой 1713 годом (из частной коллекции).

56 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

тические модели и тем самым совершенствовать теорию. Наконец, в отличие от «верований», характеризующих определенную культурную традицию, модели поддаются пересмотру, В самом деле, необходимо, как мне кажется, признать, что большинство моделей, производимых наукой, действительны лишь на определенном этапе ее истории и что, как минимум, некоторое число таких проектов может быть пересмотрено и улучшено. Все это естественным образом обеспечивает кумулятивный прогресс познания. Мы пользуемся мысленными объектами, чтобы понять закономерности физического мира, чтобы описать их в математической форме, «выбрав» для этого модель, которая представляется нам наиболее адекватной. При таком подходе мы постигаем природные закономерности косвенным образом. Мы пытаемся, если можно так выразиться, примерить на них некоторое количество мысленных объектов, среди которых есть и объекты математические. Однако это не предполагает обязательного отождествления природных объектов с используемыми нами для их описания математическими объектами.

2. Поразительная эффективность математики

А. К.: Я далек от мысли, что математическая реальность располагается в физическом мире. И я совсем не пытаюсь отождествлять природные объекты с объектами математическими. Проведя границу между математической реальностью и реальностью физической, мы сталкиваемся с проблемой их отношений между собой. Приведу для начала пример того, что Юджин Вигнер называет «непостижимой эффективностью математики», которая, в общем случае, не сводится только лишь к попыткам адекватно «оформить» природные закономерности. Я говорю о теории узлов [3] (см. рис. 9 и 10). Когда берешь веревку и завязываешь сложный узел, то всегда встает вопрос о том, сможешь ли ты потом его распутать, не прибегая к методу гордиева узла. Так вот, существует одна замечательная теория, которая позволяет в большинстве случаев эту проблему разрешить: называется она теорией узлов. Эта теория не так давно весьма серьезно продвинулась вперед, хотя изначальные устремления ответственного за этот прогресс математика не имели к узлам никакого отношения. Мы с новозеландцем В. Джонсом начинали работу над совсем другой проблемой.

2. ПОРАЗИТЕЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ

57

Рис. 9. Лестница Иакова. Этот узел знаком многим детям, его завязывают, пропуская между четырех пальцев веревочную петлю и продевая затем свободные концы между другими пальцами. Эта лестница Иакова, очевидно, эквивалентна самому обычному узлу на петле. Эскимосы и североамериканские индейцы обожают такие игры с веревкой, демонстрирующие бесконечные возможности реализации геометрических мотивов при помощи петли, простейшего из узлов. (Теория узлов)

58

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

Коса

Узел "клеверный лист" Его отображение

Рис. 10

2. ПОРАЗИТЕЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ 59

60 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

находят применение и в биологии, поскольку они участвуют во всякого рода задачах по кодировке очень сложных молекул — таких, например, как полимеры. Теперь, впрочем, он активно исследует возможности практического применения своих результатов к вполне конкретным задачам. Вот отличная иллюстрация труднопостижимой мощи математики ради математики, если подходить к этой самой математике без предвзятых идей о возможных дальнейших применениях тех или иных открытий.

Ж.-П. Ш.: Рассказанная тобой история все же подразумевает некое познание на основе опыта.

А. К.: Опыт здесь ни при чем. Здесь, скорее, совпадение.

Ж.-П.Ш.: Да, в конечном счете, .. . когда он встретил ту топологиню и в результате этой встречи пришел к тому, чтобы соотнести некоторые виды математических инструментов с вполне конкретной задачей. Узлы могут существовать в природе, а также являются результатом (по большей части) творческой деятельности человека. Однако я так и не могу представить себе, что теория узлов существовала в природе до того, как у нас скопился целый набор всевозможных видов узлов. Этому замечательному математику просто удалось создать мысленный инструмент, который ты называешь инвариантом, и им воспользоваться... Он разработал инструмент, как и человек, который придумал колесо для того, чтобы быстрее передвигаться по земле. Вместо того, чтобы переходить от одного рассуждения к другому, Джонс создал «уплотнение мысли», позволившее ему мгновенно решить задачу.

А. К.: Что меня больше всего поражает, так это то, что его исследование и его открытие не были изначально мотивированы проблемой узлов. Очень интересный пример открытия, мотивированного глубинными проблемами чистой математики. Исследование множителей привело Джонса к открытию центральной функции на группе кос. Поскольку эта функция была нужна ему только для решения задачи по классификации подмножеств, он не усмотрел в ней никаких очевидных связей с узлами. Что называется, грех по неведению. После встречи с Бирман, Джонс выяснил, что в теории узлов тоже используются группы кос и что там требуется, по теореме Маркова, некая функция на группе кос с такими-то и такими-то свойствами. И он воскликнул: «Но у меня есть такая функция, она у меня в кармане».

Ж.-П.Ш.: Я понимаю, что ты хочешь сказать. Два изначально совершенно независимых друг от друга подхода, сошлись в одной

3. ЭЙНШТЕЙН И МАТЕМАТИКА

61

точке. Математический объект, созданный одним, открыл замок, не поддававшийся всем усилиям других. Это, впрочем, не означает, что ключ и замок, открываемый этим ключом, существовали и раньше!

Ж.-П. Ш.: Мы затрагиваем здесь глубинную проблему познания — отыскание причин того, что отдельные математические инструменты, созданные независимо от каких бы то ни было исследований всевозможных частиц, узлов, и прочих природных объектов, оказываются настолько адекватными...

А. К.: Совершенно верно. Это и называется непостижимой эффективностью математики.

Ж.-П. Ш.: Я все же хотел бы, чтобы ты разъяснил мне, до каких пределов простирается эта самая эффективность и какова степень ее универсальности? Я отмечаю среди физиков и некоторых математиков определенную тенденцию к увлечению различными модными математическими моделями. Предполагается, что эти модели применимы к чему угодно, и с их помощью можно с равным успехом описывать поведение совокупностей атомов, нейронов, муравьев, людей. Ты не понаслышке знаком с отношениями между математикой и физикой. Что ты обо всем этом думаешь?