О (концепте) числе(а): его онтологии и генезисе1
Часть 2. Слоистая структура идеально-числовой сферы17
жүктеу/скачать 234.5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Часть 3. Генезис числа
- ПРИЛОЖЕНИЕ 1
| Часть 2. Слоистая структура идеально-числовой сферы17
7. Очертив внешние границы идеально-числовой сферы, перейдем теперь к анализу ее внутренней структуры. Т.е. наш анализ теперь сосредоточен на выявлении различных онтологических слоев и видов числового. При этом нас интересует не столько различные типы чисел с математической точки зрения: как-то различие между натуральными, целыми, рациональными, действительными и комплексными числами, сколько онтологические различия между числами, в том числе и вышеперечисленными. Более того, современная математика существенно обогащает количество числоподобных объектов, вопрос об онтологическом статусе которых остается открытым. Особый интерес здесь представляет концепция числа Фреге, в которой, по сути, вводится отличный от обычных измерительных чисел принципиальный новый класс счетных (мета)чисел [11b]. Исходя из общего тезиса о том, что бытие в целом и область идеального (в частности) имеет слоистую структуру (Н. Гартман, [18]), наш тезис таков: идеально-числовая сфера имеет свою собственную слоистость (ср. с теорией типов Рассела vs. кантовской определением математики как сферы гомогенного)18. 7.1. Разработка концепции слоистого бытия числового восходит к платонизму. Платон, например, различает первичные эйдосные числа и вторичные математические числа19, а в «Тимее» намечает различие между геометрией и арифметикой. Прокл в комментарии к Евклиду проводит уже четкое онтологическое различение на «метафизическую» арифметику и «физическую» геометрию [11а]. Позже Августин различает пространственные и временные числа (см. текст В. Глебкина). Однако четкого критерия различения чисел у платоников нет. Не является таковым и «привязка» геометрии к воображению, а арифметики к интеллекту: знаменитый декартовский пример с хилигионом и, тем более, введение абстрактных геометрических объектов показывают, что геометрия, как и арифметика, также скорее относится к сфере умопостигаемого. 7.2. Для прояснения онтологических различий возьмем в качестве критерия пространственно-временную пару, варьирование которой задает четыре сферы бытия: пространственно-временную (физическая реальность); пространственно-вневременную (область классической математики); непространственно-временную (область вычислительной (алгоритмической) математики; виртуальная реальность20); и, наконец, непространственно-вневременную (метафизическая реальность). 7.2. Внутри непространственно-временной сфера выделим две подобласти. 7.2.1. Во-первых, это область количественно-измерительных чисел, к которой принадлежат основные типы арифметических чисел. Более точной характеристикой этой области было бы следующее: это область не чистого количества, а качественного количества. В данном случае числа функционируют как измерительная мера физических качественных величин, а областью их применения является мир вещей (поэтому эти числа можно назвать вещными). Различия же между натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами имеют не онтологический, а операциональный характер: каждый из последующих типов чисел обеспечивает полноту применения соответствующей арифметической операции: сложения и умножения, вычитания, деления, извлечение корня. Интересная попытка их «логического» (диалектического) структурирования принадлежит Лосеву [3], которая, несмотря на некоторые нестыковки, в целом справляется с поставленной задачей. 7.2.2. Во-вторых, это область порядковых (счетных) чисел, которые являются метачислами, поскольку функционируют как средства счета (пересчета) количественно-измерительных чисел. Этот тип чисел вводится в работах Фреге [6], который рассматривает их как признаки не элементов первого уровня — вещей, а элементов второго уровня — объемов понятий]21. Тем самым он отказывается от вещной трактовки числа, т.е. понимания числа как атрибута вещи, что, например, позволяет прояснить смысл ноля. 7.3. Различие измерительных и счетных чисел покажем путем выявления двух взаимопереплетенных смыслов математического аналога Единого — числовой Единицы. С одной стороны, Единица — это количественно-качественный один, т.е. начало вещного измерительного числового ряда, или бытийная единица. С другой стороны, Единица является первым элементом счетного ряда чисел — нолем, т.е. ничтойной единицей (ноль как «мощность» пустого множества (понятия) соотносится с ничто22). В грамматике это смысловое различие фиксируется различением количественных и порядковых числительных: единица — это и количественный один, и порядковый первый ноль. 7.4. Если сферой применения измерительных чисел (как развертки бытийной единицы) является пространственно-временная реальность, то сфера же применения счетных чисел (как развертки ничтойного ноля) гораздо шире. Она представляет собой область возможного, которая включает в себя не только реальные объекты, но и фиктивные — ничтойные — объекты, не имеющих денотата, но имеющих смысл (например, золотая гора, кентавр и круглый квадрат). Это позволяет высказать тезис о возможности ничтойной математики, основанием которой является возможность упорядочивания «пустых» понятий. Пусть, например, выражение «не-круглый круг» является выражением абсолютного противоречия. Помимо этого противоречия существуют еще и относительные противоречия типа «круглого квадрата». Согласно логическому закону обратного соотношения объема и содержания понятия ряд «книга — учебник — учебник по логике — учебник по логике Черча» завершается единичным понятием. Следующим членом этого ряда должно быть «пустое» понятие с нулевым объемом, например не-черчевский учебник по логике Черча. Согласно тому же закону это пустое понятие должно обладать всеми признаками этого рода. Однако возникает вопрос: принадлежит родовому понятию «книга» другое пустое понятие, например круглый квадрат? Семантические соображения подсказывают отрицательный ответ: разные «пустые» понятия хотя и имеют нулевой объем, однако различны и, более того, можно задать их определенный порядок, а абсолютно пустое понятие, или абсолютный ноль (например, не-круглый круг), есть предельный случай «пустого» понятие, которое содержит все предикаты, т.е. является начальным элементом любого понятийного ряда. 8. Выделенные выше три сферы бытия (1, 3 и 423; ср. с тремя мирами Поппера) указывают на возможность развития не-физических математик для ментальной и метафизической сфер бытия24. Из-за их физической непространственности применение физической математики здесь ограничено (неадекватно), а условием развития не-физических математик является введение особых квазипространственных сред. 8.1. Что можно измерять в области ментального? Видимо, интенсивность и временной порядок ментальных процессов. На эту роль вполне годится вычислительная математика. Как и любая математика, вычислительная математика не может претендовать на познание «внутренности» ментальных процессов. Она может выявить (числовые) закономерности только внешнего плана этих процессов: с этим справляется понятия алгоритма и информации, последнее из которых также выполняет роль квазипространственной среды. Онтологическая специфика сферы ментального предопределяет отличие гуманитарной математики от классической — физической — математики, и поэтому сейчас происходит активный процесс конституирования вычислительной математики в самостоятельную сферу гуманитарных исследований computer science, тяготеющую к логике и психологии. Отличием не-физических математик (ментальной математики) является то, что они должны включать в свой арсенал интенсивные величины. Приведем в этой связи примечательный пассаж из работы Рибо: «Сознание походит на фреску, в которой переход одного цвета достигается благодаря употреблению разных степеней света и тени. Идея пера, чернильницы не есть что-либо постоянное, резко очерченное, как резко очерчены сами эти предметы» [23, c. 194]. Указанная расплывчатость объектов сферы сознания (идеального) ограничивает возможности применения здесь экстенсивной математики. 8.2. Развитой метафизической математики пока не существует. Основными техниками анализа идеального на сегодняшний день являются логика и диалектика, которые представляют собой скорее качественный уровень анализа, в то время как математика должна исследовать его количественный аспект. Однако логика и диалектика определенным образом упорядочивают эту область: логика выстраивает родо-видовые иерархии понятий, а диалектика строит их линейно-спиралевидные смысловые цепочки. Тем самым создается определенная гомогенная среда смыслового пространства, что является предпосылкой для последующего (возможного) применения средств математики. Трудность, с которой придется столкнуться метафизической математике состоит в том, что количественные формы а сфере идеального имеют вырожденный характер, т.к. там находятся лишь абсолютные предметы, которые с трудом поддаются (числовому) измерению (ср. с рассуждением Кузанского о совпадении максимума и минимума).
9. Ранее мы показали несостоятельность натуралистических концепций возникновения числа. С другой стороны, (нео)платоновское придание математической сфере особого промежуточного статуса между миром вещей и миром идей, т.е. утроение мира, также представляет собой слишком сильное онтологическое допущение. Избежать опасностей натурализма и платонизма можно, если подойти к вопросу о специфике математики не онтологически, а эпистемологически. За основу здесь можно взять деятельностный подход кантовского трансцендентализма, в рамках которого необходимо соотнести генезис ЧИСЛА с определенными механизмами сознания. Ранее впечатляющая попытка подобного рода уже была предпринята А.Ф. Лосевым [3], которая в силу исторических обстоятельств не была завершена. 9.1. Суть нашего подхода состоит в построении такой модели познавательного акта, которая объяснила бы генерирование числовых форм, при условии, что никаких начальных знаний, в том числе и знания о числе (идее числа), у субъекта познания еще нет. Решающим здесь является кантовский синтез схватывания25, который осуществляет конечный трансцендентальный субъект, обладающий также рефлексией, благодаря чему синтез схватывания превращается в сложный иерархический акт и происходит генезис от простейших типов чисел к более развитым числовым объектам. Первоначальный акт схватывания начинается с (пред)полагания неопределенного многообразия, кантовского неопределенного предмета х. Это неопределенное нечто, во-первых, есть до всякого акта мышления (сознания) и даже до всякого чувственного акта, и, во-вторых, оно воздействует на нас. И вот когда мы бросаем взгляд на это нечто (т.е. наша мысль нацеливается на него), то это первоначальное нечто схватывается нами: мы что-то выхватываем из этой серой массы, синтезируя его как Это. Заметим, что в силу нашей конечности, мы можем схватить только какую-то часть (конечный квант) первоначального нечто: Это схватывается как что-то одно (Это1) т.е. полагается как единица. Но единица содержит в себе ограничение, поскольку помимо одного есть и другое: этому всегда противостоит неопределенное то (иное), представляющее собой фон, на котором происходит акт схватывания. В этом ином и содержится последующая множественность, или двоица (как противоаналог единицы). В последующих актах схватывания из неопределенной двоицы синтезируется весь числовой ряд, т.к. в результате следующих актов схватывания из оставшегося после первого схватывания иного будет выделено Это2, потом Это3 и т.д.26. Правда, пока, в точном смысле слова, говорить о синтезе числового ряда нельзя: для этого необходимо совершить новый (мета)акт схватывания. Вспомним, что процесс познания начался с полагания неопределенного многообразия. В результате совершения последовательных актов схватывания произошло его определенное упорядочивание, но вместе с этим появляется новое многообразие отдельных, хотя и схваченных нами единицы (Это1), двойки (Это2), тройки (Это3)… Это новое многообразие выступает как основа для нового синтеза схватывания27. Тем самым из отдельных единиц полагается новый числовой (мета)объект: натуральный числовой ряд или континуум, который образуется путем синтеза первоначально положенных точек. 9.2. Ненадолго прервем наш анализ процесса познания задержимся на первом схваченном Этом1, в котором проявляется суть математического. Чем математика отличается от содержательных познавательных практик естествознания (физики, химии etc)? Возьмем в качестве примера радугу или цветовой спектр. Т.е. радуга выступает сейчас как первоначально-неопределенное нечто, которое предшествует акту схватывания. Первому акту полагания соответствует выделение какого-либо цвета, например красного. Заметим, что схватывание красного можно осуществить двумя типами актов. Первый из них представляет собой содержательное схватывание, т.е. выделение красного на основании его качественных характеристик. Такого рода акты и приводят к развитию физических (в широком смысле этого слова) практик. Однако, вместе с ним (или параллельно с ним, или вместо него (?)) возможен полагающий акт другого типа, а именно формальное выделение вот этого красного как одного из цветов спектра. При этом, конечно, не схватывается его качественная краснота, зато с помощью Это1 фиксируется его формально-количественная характеристика как первого левого члена данного ряда. Это и есть собственно математический акт, спецификой которого является фиксация «внешнего» местоположения схватываемого предмета. (Заметим, что помимо двух вышеописанных здесь совершается и третий познавательный акт, который предшествует первым двум. Если при схватывании мы отвлекаемся как от качественной, так и от количественной специфики предмета, то мы совершаем максимально абстрактный метафизический акт, фиксируя простое наличие Этого, т.е. полагаем сущее как сущее, а не сущее как таковое (физический акт) и не сущее как одно (математический акт). Здесь мы следуем Аристотелю, который выделял три возможных модуса познания сущего: физический, математический и метафизический [24, с. 374]28). 9.3. Вернемся к нашему анализу математического познавательного акта. Выше мы выделили три основные бурбакистские математические структуры. Каким образом они конституируются в ходе акта схватывания? Различие между алгеброй и топологией задается так. Первым математико-полагающим актом схватывается Одно, причем в процессе его полагания надо различить два момента. Во-первых, внимание субъекта может быть сосредоточено на центре Одного, как бы сфокусировано на нем самом — и тогда Одно полагается в качестве арифметической единицы. Так возникает арифметика (алгебра), которая основана на обособлении единиц друг от друга, т.е. является существенно дискретной. Во-вторых, наше внимание может быть как бы расфокусировано, т.е. направлено на края Одного. Тогда мы фиксируем не арифметическую единицу, а геометрическую точку как внешнее место Одного. В этом модусе схватывания для нас важна уже не единичность Одного, а его взаимосвязь с другими точками. Тем самым мы совершаем топологический (геометрический) математический акт, в ходе которого постулируется не дискретность, а континуальность: граница Этого1 выступает здесь не как фактор его обособления, а как его место встречи с Другими. Т.е. геометрическая точка выступает как инобытие (арифметического) числа, как его пространственное место. Для прояснения этого различия можно привлечь кантовский подход к сочетанию метафизического и геометрического из его «Физической монадологии»: каждая монада помимо своего арифметического центра (как интенсивного средоточия), обладает и геометрической сферой влияния (местом) 29, причем синтез этих мест и составляет непрерывный континуум в отличие от дискретного ряда (арифметических) единиц.
9.4. В заключении наметим еще одну линию анализа. Ранее мы отвлеклись от перцептивно-апперцептивной структуры акта схватывания30, сосредоточив свой анализ на внешней перцептивной составляющей. Но в акте схватывания есть также внутренний апперцептивный момент, который в перцептивном синтезе проявляется как акт внимания, предшествующий схватыванию, а в своей сущности представляет собой самосхватывание субъекта познания. Т.е. на самом деле в процессе познания одновременно конституируются (схватываются) как эмпирический субъект познания, так и его объект. Выявленная выше иерархическая структура акта схватывания в перцептивном синтезе приводит к конституированию пространства (дискретно-арифметического или континуально-геометрического), особенностью которого является координация (рядоположенность) его элементов как Это1 … Этоn и, соответственно, к конституированию внешних (пространственных?) чисел; а в апперцептивном синтезе (за счет рефлексивного подъема от сознания к само— и само-само-сознанию и т.д.) — к конституированию временности, особенностью которого является субординация (иерархия) его элементов, и, соответственно к конституированию внутренних (временных?) чисел31. Литература:
11а. К вопросу об «априорности» математического знания. (http://www.philosophy.ru/library/katr/) 11в. Ответ на комментарий П.С. Куслия: Иерархичность математического знания, «счетные числа» Кантора — Фреге и онтологический статус «нуля»
=== Статьи из предстоящего сборника по философии числа (www.rambler.ru: chislo@rambler.ru (PASS): — В.В. Глебкин Число у Плотина и Августина — С.Н. Бычков Как числа стали абстрактными? — А.И. Белоусов Количество
11а Катречко С.Л. К вопросу об «априорности» математического знания … Для иллюстрации современных — посткантовских — изменений в понимании природы и статуса математического знания кратко остановимся на анализе взглядов Г. Кантора и Г. Фреге. Наша задача заключается в том, чтобы на примере воззрений этих мыслителей на природу числа показать тенденцию — отчасти анти-кантианскую, отчасти анти-нововременную в целом — к повышению «метафизичности» математики. Надо сразу же оговориться, что оба указанных мыслителя работают в области «арифметики», которая занимает более «высокий» внутриматематический априорный статус, и это несколько сужает индуктивную базу наших обобщений на развитие математического знания в целом, но тем не менее анализ их концептуальных воззрений на природу числа достаточно показателен и характеризует существенное изменение, произошедшие с парадигмой «единой математики» в конце XIX — первой половине XX веков 32. Начнем с анализа взглядов Г. Кантора. Остановимся более внимательно на его революционном в концептуальном отношении понятии «кардинального числа». Вот канторовское определение: «”мощностью” или «кардинальным числом» множества М мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания» [10, с. 173]. Результат этой двойной абстракции Кантор обозначает как //М (двойная черта указывает на двойное абстрагирование). Из приведенного определения видно, что канторовское концептуальное переосмысления понятия числа заключается в введении мета-абстрактных объектов «кардинальных чисел» (мета-чисел), которые выступают как результат (вторичного) абстрагирования от обычных — порядковых — чисел, являющихся, в свою очередь, результатом первичного абстрагирования от «качественной» определенности предметов реального мира. Понятно, что это огромный шаг вперед по сравнению «порядковым» («временным») пониманием числа у Канта. Более того этот шаг не только возрождает «метафизическое» понимание математического знания в античности, но и в определенном отношении развивает ее еще дальше. Точнее здесь происходит возрождение самого крайнего пифагоро-платоновского — в противовес аристотелевскому квазиэмпиризму — априоризма античности, поскольку в концептуальном (категориальном) отношении канторовское «кардинальное число» находится «выше» (на шкале умопостигаемости) аристотелевской категории «количества». Т.е. статус канторовской теории множеств, на которой базируется вся остальная математика, не просто формален, как отвлечение от «качественных» особенностей вещей (математика 1 уровня — «квазиэмпирическая математика»), но и мета-формален (математика 2 уровня — мета-математика), поскольку здесь происходит вторая, более «метафизическая», абстракция от категории «порядкового количества». Тем самым в канторовском понятии «кардинального числа» содержится принципиальная возможность для конституирования новой, более абстрактной (т.е. более априорной) математики, математики второго уровня, или «мета-математики» (в широком смысле этого слова). В последующем развитии математики ХХ в. было реализовано несколько проектов канторовского метаматематического подхода: во-первых, это «формализм» (теория доказательств) Д. Гильберта (метаматематика в узком смысле); во-вторых, «логицизм» Б. Рассела («логика» как априорный и более «метафизический» базис математики); в-третьих, «структурализм» Н. Бурбаки (математика изучает не «структуры» физического мира, а «работает» с мета-структурами, т.е. с абстракциями второго уровня — математическими структурами). Вместе с тем необходимо отметить и наличие определенного противовеса этой слишком уж «метафизической» тенденции в развитии математики, а именно: формирование интуиционизма как более эмпирической — «чувственной» по Канту — в эпистемологическом отношении концепции математической деятельности. Однако и в этом случае можно говорить о повышении степени априорности математики, т.к. и для интуиционистов базовой интуицией математической деятельности является более умопостигаемая —«арифметическая» — интуиция «счетного ряда» (см., например, цитированные выше фрагменты из работ Г. Вейля). Более развернутая в концептуальном плане — и в чем-то даже более радикальная в своей «метафизической» тенденции — концепция числа принадлежит Г. Фреге. Покажем это на примере анализа его фундаментальной работы «Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о природе числа)» [11], которая определенным образом учитывает и «метафизические» достижения канторовской мысли об абстрактном статусе (канторовских) «бесконечных чисел». Прежде всего, Фреге убедительно показывает (в частности, критикуя за это и Кантора33), что число не может быть свойством «внешних» вещей наподобие понятия цвета, твердости, тяжести etc и не может получаться путем абстрагирования из предметов, и, тем самым, он опровергает тезис о математике как опытной науке (см. [11], гл. «Является ли число свойством внешних предметов?»). С другой стороны, число, в отличие от Канта, не может быть чем-то субъективным, т.е. «внутренним» представлением (см. [11], гл. «Является ли число чем-то субъективным?»). Поэтому оно должно быть «нечувственным и объективным» [11, стр. 57], т.е. занимать какое-то промежуточное положение между «внешними» вещами и «внутренними» представлениями (ср. с античным — платоновским — решением о промежуточном онтологическом статусе математических (геометрических) объектов). В этом отношении «числа» должны быть подобны предикатам, если мы понимаем их (предикаты) в платоновском смысле как «идеи» (=свойства) вещей. Однако «число» — на примере «единицы» — по своему статусу отличается и от «реальных» предикатов (т.е. является специфическим, несодержательным (мета)предикатом). Вот как Фреге фиксирует это различие: «Если бы «один человек» понимался наподобие «мудрый человек», то следовало бы думать, что «один» может использоваться как предикат, поэтому также как «Солон был мудрый» можно было бы сказать «Солон был один»…Но само по себе «один» не может быть предикатом [в тексте Фреге здесь стоит сноска, которую мы опускаем, но заменяем ее своим разъяснением34 — К.С.]. Еще яснее это проявляется при множественном числе. Тогда как «Солон был мудрый» и «Фалес был мудрый» можно скомбинировать «Солон и Фалес были мудрые», нельзя сказать «Солон и Фалес были один» [11, стр. 58—59]. Далее Фреге, ссылаясь на Баумана и Ст. Джевонса, делает еще один шаг, принципиальный для нас в связи с предшествующим изложением кантовской позиции на природу математики, когда подчеркивает независимость числа от времени (пространства) в связи с возможной применимостью «числа к непространственному и невременному» [11, стр. 71]. Таким образом, последовательно отвергая различные «узкие» (по логическому объему) понимания числа: эмпиристское абстрагирование от предметов (неправомерное сходство числа с качественными признаками предметов — математика как опытная наука); априористское (неправомерное) отождествление числа с пространственно-временными характеристиками существования предметов; восходящее к Платону (неправомерное) неразличение числовых и содержательных предикатов — Фреге приходит к пониманию числа как чистого «количества»35. Суть фрегевского подхода заключается в том, что число является не реальным предикатом (предикатом первого уровня), а предикатом второго уровня, метапредикатом; число является (количественной) характеристикой не предметов как таковых, а характеристикой понятий (о предметах), или, говоря другими словами, характеристикой «неопределенных [абстрактных — К.С.] предметов»: «число приложимо только к понятию [а не к предмету!; выделено мной — К.С.], под которое подводится внешнее и внутреннее, пространственное и временное, непространственное и невременное» [11, стр. 77]. Здесь же он приводит ключевые для уяснения его позиции слова Б. Спинозы: «Я отвечаю, что вещь может называться единой или единственной [т.е. «принимать» числовые — количественные — характеристики — К.С.] лишь по отношению к своему существованию, а не по отношению к своей сущности, ибо мы мыслим вещи под [категорией] числа только после того, как они подведены под некоторый общий род [т.е. когда рассматриваются не сами по себе в своем физическом модусе существования, а как «родовые», т.е. как «логические», или абстрактные, объекты; выделено мной — К.С.]» [11, стр. 78—79]. Обратим внимание на корреляцию категорий «существования» («бытия») и «числа» в этом отрывке. Чуть ниже Фреге эту коррелятивную связь несколько расшифровывает: «В этом отношении существование [предикат существования — К.С.] имеет сходство с числом [с предикатом числа — К.С.]. Ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицание числа ноль [соответственно, полагание числа один в частном случае, когда мы говорим «Сократ» (неявно приписывая ему мета-предикат «есть» («существует») равный числовому метапредикату «один») — К.С.]», поскольку Фреге различает признаки предметов и свойства (метапризнаки) понятий (признак vs. свойство!): например, «…прочность, вместительность, удобство [понятия] дома не могут применяться при его строительстве, наряду с камнями, строительным раствором и бревнами» [11, стр. 80]. Т.е. Фреге сближает основополагающее для арифметики понятие «числа» с основополагающим метафизическим понятием «бытия» и, тем самым, приравнивает эпистемологический — априорный — статус математики (арифметики) статусу метафизики (ср. с кантовским пониманием бытия как отличного от реального, т.е. «содержательного», предиката). Подводя итог рассмотрению взглядов Фреге, можно сказать, что он обосновал возможность математики как метанауки, исследующей не свойства (эмпирических) предметов, а признаки умопостигаемых понятий о предметах. В этом смысле математика, вернее ее «арифметический» комплекс, является метатеоретической — априорной! — дисциплиной по сравнению с «содержательными» теоретическими дисциплинам типа физики, химии.., или, как принято говорить, математика является не содержательной, а «формальной» дисциплиной, что роднит ее с (формальной) логикой и метафизикой (как учением о (платоновских) «формах»). В середине XX века фрегевское понимание математики (в качестве метанауки) получил развитие в работах Н. Бурбаки, которые рассматривали математику как (мета)науку о (мета)свойствах «математических структур», которые, в свою очередь, могут рассматриваться как канторовские «количественные» абстракции первого уровня (ср. с понятием «кардинального числа» Г. Кантора — см. об этом выше). Таким образом, в работах Г. Кантора и Г. Фреге (а позже и у Н. Бурбаки) было показано (обосновано), что математика является неоднородным иерархизированным комплексом знания, многослойной дисциплиной. Помимо «эмпирического» слоя математического знания, связанного с количественно-порядковой характеристикой предметов (абстрагирование от «качественной» определенности предметов), возможна априористская математика второго — «теоретического» — уровня (метауровня), которая изучает более высокие абстракции: «надпорядковые» структуры («кардинальные числа» Кантора) и/или «неопределенные предметы» — понятия (Фреге).
жүктеу/скачать 234.5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|