Тема. Точечные оценки параметров распределения

Задача оценивания параметров распределения генеральной – одна из основных задач математической статистики. На содержательном уровне задача оценивания параметров распределения формулируется так: располагая выборкой реализаций случайной величины Х, необходимо получить оценку неизвестного параметра генеральной совокупности а и ее статистические свойства.

Оценивание параметров распределения осуществляется в два этапа. На первом этапе, на основании выборки х1, х2, ... , ,хn ,строится статистика

,

значение которой при данной выборке х1, х2, ... , ,хn принимают за приближенное значение оцениваемого параметра а :

Так как параметр генеральной совокупности оценивается числом, которое на числовой оси изображается точкой, то оценку называют точечной.

Для получения точечной оценки существует много статистик, которые могут быть использованы в качестве оценок. Поэтому второй этап оценивания состоит в выборе наилучшей оценки, что требует введения критерия качества получаемых оценок. Задача усложняется тем, что ввиду малого объема выборки требуется статистический подход к качеству оценки

По опытным данным (выборке) путем построения гистограммы или с помощью других средств можно попытаться выбрать вероятностную модель (определить закон распределения генеральной совокупности). При этом выборочные данные позволяют уточнить детали вероятностной модели. Знание вероятностной модели дает возможность прогнозировать будущие события, что важно для принятия решений. В приложениях обычно задаются определенным типом закона распределения генеральной совокупности (плотностью распределения)

и по данным случайной выборки х1, х2, ..., хn оценивают неизвестные параметры a1, a2, ..., am . Чаще всего параметрами являются генеральное среднее и дисперсия, а качестве оценки тогда используют выборочные характеристики: выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется случайная величина Х и нам известен ее закон распределения f = f(x, a), который содержит один неизвестный параметр а. Требуется на основании выборочных данных х1, х2, ..., хn найти подходящую оценку параметра а. Для решения этой задачи построим следующую математическую модель. Пусть Х1, Х2, ..., Хn – независимые случайные величины, которые принимают соответствующие выборочные значения (для данной выборки значения х1, х2, ..., хn) и пусть случайная величина получена на основе случайных величин Х1, Х2, ..., Хn, то есть Будем считать, как и ранее, что случайные величины Х1, Х2, ..., Хn имеют один и тот же закон распределения с плотностью распределения величины Х (генеральной совокупности) f(x). Тогда является случайной величиной, закон распределения которой зависит от n и от f(x). Для того чтобы оценка имела практическую ценность она должна обладать следующими свойствами.

1. Несмещенность оценки. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

В противном случае оценка называется смещенной и допускает систематическую ошибку. Так, рассмотренное ранее среднее выборочное является несмещенной оценкой среднего генерального. В то же время выборочная дисперсия - является смещенной оценкой генеральной дисперсии.

2. Состоятельность оценки. Оценка называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки пстремится к параметру генеральной совокупности:

Это условие будет выполняться, если

и оценка является несмещенной. Доказательство этого основано на неравенстве Чебышева.

3. Эффективность оценки. Если составлять множество несмещенных и состоятельных оценок, то эти оценки будут иметь разные дисперсии. Ясно, что, чем меньше будет дисперсия, тем меньше будет вероятность грубой ошибки при определении приближенного параметра генеральной совокупности. Поэтому нужно выбрать такую оценку, у которой дисперсия была бы минимальной:

Такая оценка называется эффективной.