Отображения. N-местные функции. Понятие образов и прообразов элементов. Свойства функций: инъекция, сюръекция и биекция. Обратные функции. Композиция функций

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека – его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные. Обычно рассматриваются числовые функции, которые ставят одни числа в соответствие другим. Такие функции обладают рядом отличительных свойств и удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Идея функциональной зависимости зародилась в античной математике, но она еще не была явно выражена и не являлась самостоятельным объектом исследования, хотя и был известен широкий круг конкретных систематически изучавшихся функциональных соответствий.

Термин «функция» был впервые использован Лейбницем (1692 год). Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год) — уже практически в современном нам виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879). Определение функции как соответствия между двумя произвольными (не обязательно числовыми) множествами в 1887 году было сформулировано Р. Дедекиндом.

Понятие соответствия, а, следовательно, и понятие функции иногда сводится к другим понятиям (множеству, отношению или другим теоретико-множественным и логико-математическим концепциям), а иногда принимается за первичное, неопределяемое понятие, поскольку, как это выразил, например, А. Черч: «В конечном счете, понятие функции – или какое-либо сходное понятие, например, понятие класса, - приходится считать первоначальным, или неопределимым».

Пусть даны два множества Х и У и каждому элементу х  Х поставлен в соответствие единственный элемент у  У, который обозначен через f(х). В этом случае говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут: f : Х  У.

Например, пусть Х = а; b; с; d, У = ; ; ;  и функция f:Х У определена так: f(a) = , f(b) = , f(c) = f(d) = .

Наглядно эту функцию можно представить следующим образом: множества Х и У изобразим в виде областей, элементы множеств – в виде точек, а установленное соответствие – в виде стрелок:




Определение. Пусть А и В – произвольные множества. Функцией f, определенной на множестве А и принимающей значения в множестве В, называют бинарное отношение f (отображение) между элементами множеств А и В, которое каждому элементу множества А ставит в соответствие единственный для этого элемента элемент множества В.

Пусть даны два множества Х и У. Всякое множество f = (х; у) упорядоченных пар (х; у), х  Х, у У, такое, что для любых пар (х; у) f и (х; у)  f из условия уу следует, что х  х, называется функцией, или, что то же самое, отображением из Х в У.

Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов (f, X, Y), где

• 
  множество X называется областью определения D(f);
  
• 
  множество Y называется областью значений R(f) (E(f));
  
• 
  множество упорядоченных пар f⊂X×Y  или, что то же самое, график функции.
  

Если f: ХУ – функция и (х; у)  f, то пишут у = f(х), а также f: ху, и говорят, что функция f ставит в соответствие элементу х элемент у или, что тоже самое, элемент у соответствует элементу х. В этом случае говорят также, что элемент у является значением функции f в точке х или образом элемента х при отображении f.

Иногда сама функция f обозначается символом f(х). Обозначение функции f:ХУ и ее значения в точке х  Х одним и тем же символом f(х) обычно не приводит к недоразумению, так как в каждом конкретном случае, как правило, всегда бывает ясно, о чем именно идет речь. Обозначение f(х) часто оказывается удобнее обозначения f:х у при вычислениях. Например, запись f(х) = х² удобнее и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем запись f:х х².

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Элемент y=f(x), который сопоставлен элементу x, называется образом элемента (точки) x (при отображении f), а элемент x=f^-1(y) называется прообразом элемента y.

Вспомним еще, что бинарное отношение из множества Х во множество У мы определили как всякое подмножество декартова произведения Х У. Таким образом, функция f:ХУ – это просто специальный вид бинарных отношений из Х в У, который удовлетворяет условию: для каждого х  Х существует единственный у  У такой, что (х; у)  f. Подчеркнем, что один и тот же образ могут иметь несколько элементов области определения, и что не все элементы множества У обязаны быть образами некоторых элементов Х, т.е. множество значений функции У_f может совпадать с множеством У, а может быть его собственным подмножеством.

Если рассмотреть некоторое подмножество А области определения функции f, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества А, а именно подмножество области значений (функции f) вида f(A)={f(x)| x ∈ A}, которое, называется образом подмножества A (при отображении f). Это множество иногда обозначается как f[A] или A^f.

Положим, A и B — подмножества области определения.

Взятие образа (или, что то же самое, применение оператора f) обладает следующими свойствами:

• 
  f(Ø)=Ø;
  
• 
  A≠Ø ⇒ f(A)≠Ø;
  
• 
  A⊂B⇒f(A)⊂f(B).
  

• 
  f(А)\f(В)  f(А\В),
  
• 
  образ объединения равен объединению образов: f(A∪B)=f(A)∪f(B);
  
• 
  образ пересечения является подмножеством пересечения образов f(A∩B)⊆f(A)∩f(B).
  

Некоторое подмножество B области значений функции f, можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения, чьи образы попадают во множество B, а именно — множество вида f^–1(B)={x| f(x) ∈B}, которое называется (полным) прообразом множества B (при отображении f). Полный образ B при отображении f  –  это часть множества B, обозначаемая f(B), для каждого элемента из которой найдется прообраз.

Очевидно, что если у  У\У_f, то f ^-1(у) = .

Положим, A и B — подмножества множества Y.

По аналогии с взятием образа, взятие прообраза (переход к прообразу) обладает также следующими двумя очевидными свойствами:

• 
  если AB, то f ^-1(A)  f ^-1(B);
  
• 
  f ^-1(S \ Т) = f ^-1(S) \ f ^-1(Т),
  
• 
  прообраз объединения равен объединению прообразов:
  f^–1(A∪B)=f^–1(A)∪f^–1(B);
  
• 
  прообраз пересечения равен пересечению прообразов
  f^–1(A∩B)=f^–1(A)∩f^–1(B).
  

Если АХ, то функция f:Х  У естественным образом порождает функцию, определенную на множестве А, ставящую в соответствие каждому элементу хА элемент f(х). Эта функция называется сужением функции f на множестве А и иногда обозначается f_А. Таким образом, f_А: АУ и для любого хА имеет место f_А: хf(х). Если множество А не совпадает со множеством Х, то сужение f_А функции f на множестве А имеет другую область определения, чем функция f, и, следовательно, является другой, чем f, функцией.

Отображения f:A→B и g:A→B называются равными, если ∀x∈ A f(x)=g(x).

Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование f:X→X, которое сопоставляет каждой точке x множества X её саму или, что тоже самое, f(x) = x для каждого x∈X, называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: id_X или, проще, id (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичный»). Другое обозначение тождественного преобразования — 1_X. Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве X. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

В
иды отображений:
— инъективные («вложение»);
— сюръективные («наложение»);
— биективные («и то, и другое») ≡ инъективное&сюръективное.
Пусть задано отображение f:Х  У. Иначе говоря, каждому элементу х  Х поставлен в соответствие и притом единственный элемент у  У, и каждый элемент у  У_f  У поставлен в соответствие хотя бы одному элементу х  Х. Если У=Х, то говорят, что отображение f отображает множество Х в себя. Если У= У_f , т.е. множество У совпадает с множеством значений функции f, то говорят, что f отображает множество Х на множество У, или что отображение f является сюръективным отображением, короче сюръекцией. Таким образом, отображение f:Х  У есть сюръекция, если для любого элемента у  У существует, по крайней мере, один такой элемент х  Х, что f(х) = у.

Отображение f: X → Y называется сюръективным, если f(A) = B, т.е. для любого элемента из B найдется прообраз.

Функция f называется сюръективной (или, коротко, сюръекция), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция f сюръективна, если образ множества X при отображении совпадает с множеством Y: f[X] = Y.Такое отображение называется ещё отображением на. Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в.

Если при отображении f:Х  У разным элементам х  Х соответствуют разные элементы у  У, т.е. при х  х имеет место f(х)  f(х), то отображение f называется инъективным отображением или инъекцией. Таким образом, отображение f:Х  У инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента у, принадлежащего множеству значений функции f, т.е. y У_f, состоит в точности из одного элемента.

Отображение f: X →Y  называется инъективным, если из условия x₁ ≠ x₂  ⇒  f(x₁) ≠ f(x₂), т.е. различные элементы имеют различные образы.

Инъекция. Функция f называется инъективной (или, коротко, инъекция), если разным элементам множества X сопоставлены разные элементы множества Y. Более формально, функция f инъективна, если для любых двух элементов таких, что f(x₁) = f(x₂), непременно выполняется x₁ = x₂.

Биекция. Если функция является и сюръективной, и инъективной, то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной. Если отображение f:Х  У является одновременно инъекцией и сюръекцией, то оно называется биективным отображением или биекцией.

Отображение множества А на множество В, при котором каждому элементу множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно-однозначным соответствием между двумя множествами, или биекцией.

При таком отображении каждый элемент из B имеет в точности один прообраз. Также такое отображение называется взаимно однозначным. A(x)=y, A^-1(y)=x.

1. 
   Функция f:R  R, f(х) = х² не является ни инъекцией, ни сюръекцией, так как разным элементам, например, х = 2 и х = -2 соответствует одинаковый образ 4, и любое отрицательное действительное число не является образом ни для одного из элементов области определения.
   
2. 
   Функция f: a; b; c; d  , , , , , заданная следующим образом: f(а) = , f(b) = , f(c)=, f(d) =  является инъективной и не является сюръективной.
   

Эта функция инъективная, потому что у нее ни для одной пары элементов области определения образы не совпадают, но сюръекцией эта функция не является, потому что элемент  множества У не является образом какого-либо элемента множества Х.

3. 
   С другой стороны, функция g:a; b; c; d; e  ; ; ; , определенная так g(a) = , g(b) = , g(c) = , g(d) = , g(e) =  является сюръективной и не является инъективной.
   

Эта функция сюръективна потому, что каждый элемент множества У является образом, по крайней мере, одного элемента из множества Х, но инъективной эта функция не является, потому что два элемента а и b области определения имеют один образ.

На практике доказательство того, что заданная функция является инъективной, как правило, бывает проще производить, используя метод доказательства с помощью контрапозиции, согласно которого доказывается, что для всех хи х  Х из равенства f(х)= f(х) следует, что х= х. Конечно, чтобы показать, что функция не является инъективной, нам достаточно найти контрпример, то есть найти два разных элемента х₁ и х₂  Х, у которых образы равны: f(х₁) = f(х₂).

4. 
   Любая линейная функция f:RR, f(x) = ax+b, (где а,b – фиксированные действительные числа, а0) является одновременно и инъективной и сюръективной, т.е. является биекцией.
   

Чтобы показать, что f – сюръекция, предположим, что у – любое действительное число. Мы должны найти х  R такое, что f(х) = у.

Пусть

,

тогда х  R и

поэтому f -сюръекция.

Рассмотрим функцию f: Х  У, где Х и У – подмножества R. Если у нас есть график функции у = f(х), то мы можем легко ответить на вопросы: является или нет функция f(х) инъективной или сюръективной?Предположим, что f не инъективна. Тогда существуют два элемента хи х в Х такие, что х х, но f(х)= f(х) = b, то есть горизонтальная прямая у = b должна дважды пересечь график функции в точках, которые отвечают х = х и х = х.

Если же f – инъективна, то такой ситуации никогда не возникнет, то есть горизонтальная прямая у = b, проведенная через любую точку b  У на оси Оу, никогда не будет иметь с графиком функции более, чем одной общей точки.

Если же f – сюръективна, то У_f = У, и любая горизонтальная прямая, проходящая через точку множества У, обязательно будет иметь общую с графиком точку.

Проведенные рассуждения суммируем в виде следующей теоремы.

1. 
   f – инъективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b на оси Оу, будет иметь самое большее, одну общую точку с графиком f(х);
   
2. 
   f – сюръективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b  У оси Оу, будет иметь, по крайней мере, одну общую точку с графиком f(х).
   

График (б) – это график функции, которая сюръективна, но не инъективна. Каждая горизонтальная прямая, проходящая через точки У, обязательно имеет хотя бы одну общую точку с графиком. Однако, у самой функции имеется горизонтальный участок, поэтому при соответствующем значении у горизонтальная прямая будет иметь бесконечно много общих точек с графиком.

Аналогичные рассуждения показывают, что функция, представленная на графике (в), будет одновременно и инъективна и сюръективна, т.е. является биекцией, а функция, изображенная на графике (г), одновременно не является ни инъективной, ни сюръективной.

Пусть множество X отображается взаимно-однозначно на множество Y, т.е. f: X → Y. Тогда отображение f^–1, при котором каждому элементу множества Y ставится в соответствие его прообраз из множества X, называется обратным отображением для f и записывается f^–1: Y→X или.

Если между элементами множеств установлено взаимнооднозначное соответствие, то эти множества равносильны, равномощны, или эквивалентны.

• 
  образ пересечения равен пересечению образов: f(A∩B)=f(A)∩f(B).
  

Пусть f:ХУ и g:УZ – функции. Функция F:XZ, определенная для каждого хХ формулой F(x)=g(f(x)) называется композицией (суперпозицией) функций f и g, или сложной функцией, и обозначается .

Композицию функций можно проиллюстрировать следующим образом:




Пример. Пусть Х= a; b; c; d; e, У= ; ; ; , Z= 1; 2; 3; 4; 5; 6. Пусть f:Х У и g:УZ – функции, определенные соответственно так:

f(a) = , f(b) = , f(c) = f(d) = f(e) = ;

g() = 3, g() = g() = 5, g() = 1.

Тогда композиция функций : ХZ будет: а5, b3, с5, d5, e5.