© К. Поляков, 2009-2014
A3 (базовый уровень, время – 2 мин)
Тема: Построение таблиц истинности логических выражений.
Про обозначения
К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,,¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает и . Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (,,¬), что еще раз подчеркивает проблему.
Что нужно знать:
-
условные обозначения логических операций
¬ A,  не A (отрицание, инверсия)
A B,  A и B (логическое умножение, конъюнкция)
A B,  A или B (логическое сложение, дизъюнкция)
A → B импликация (следование)
A B эквивалентность (равносильность)
-
операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A → B = ¬ A B или в других обозначениях A → B = 
-
иногда для упрощения выражений полезны формулы де Моргана:
¬ (A B) = ¬ A ¬ B 
¬ (A B) = ¬ A ¬ B 
-
если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», «импликация», и самая последняя – «эквивалентность»
-
таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных
-
если известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных);
-
количество разных логических выражений, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно  , где  – число отсутствующих строк; например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 23=8 строчек, если заданы только 6 из них, то можно найти 28-6=22=4 разных логических выражения, удовлетворяющие этим 6 строчкам (но отличающиеся в двух оставшихся)
-
логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение истинно)
-
логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно)
-
логическое следование (импликация) А→В равна 0 тогда и только тогда, когда из A (посылка) истинна, а B (следствие) ложно
-
эквивалентность АB равна 1 тогда и только тогда, когда оба значения одновременно равны 0 или одновременно равны 1
П
ример задания:
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x5
|
x8
|
F
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
Какое выражение соответствует F?
1) (x2 x1) ¬x3 x4 ¬x5 x6 ¬x7 x8
2) (x2 x1) ¬x3 x4 ¬x5 x6 ¬x7 x8
3) ¬(x2 x1) x3 ¬x4 x5 ¬x6 x7 ¬x8
4) (x2 x1) x3 ¬x4 x5 ¬x6 x7 ¬x8
Решение:
-
перепишем выражение в более простой форме, заменив «И» () на умножение и «ИЛИ» () на сложение:
-
в этом задании среди значений функции только одна единица, как у операции «И», это намекает на то, что нужно искать правильный ответ среди вариантов, содержащих «И», «НЕ» и импликацию (это варианты 1 и 3)
-
действительно, вариант 2 исключён, потому что при x4=1 во второй строке получаем 1, а не 0
-
аналогично, вариант 4 исключён, потому что при x5=1 в первой строке получаем 1, а не 0
-
итак, остаются варианты 1 и 3; вариант 1 не подходит, потому что при x6=0 в третьей строке получаем 0, а не 1
-
проверяем подробно вариант 3, он подходит во всех строчках
-
Ответ: 3.
Е
щё пример задания:
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
F
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
Какое выражение соответствует F?
1) (x1 x2) (x3 x4) (x5 x6)
2) (x1 x3) (x3 x5) (x5 x1)
3) (x2 x4) (x4 x6) (x6 x2)
4) (x1 x4) (x2 x5) (x3 x6)
Решение:
-
во-первых, обратим внимание, что в столбце F – все нули, то есть, при всех рассмотренных наборах x1, …, x6 функция ложна
-
перепишем предложенные варианты в более простых обозначениях:
x1x2 + x3x4 + x5x6
x1x3 + x3x5 + x5x1
x2x4 + x4x5 + x6x2
x1x4 + x2x5 + x3x6
-
это суммы произведений, поэтому для того, чтобы функция была равна 0, необходимо, чтобы все произведения были равны 0
-
по таблице смотрим, какие произведения равны 1:
1-я строка: x2x5, x2x6 и x5x6
2-я строка: x3x6
3-я строка: x2x4, x2x6 и x4x6
-
таким образом, нужно выбрать функцию, где эти произведения не встречаются; отметим их:
x1x2 + x3x4 + x5x6
x1x3 + x3x5 + x5x1
x2x4 + x4x5 + x6x2
x1x4 + x2x5 + x3x6
-
единственная функция, где нет ни одного «запрещённого» произведения – это функция 2
-
Ответ: 2.
П
ример задания:
(http://ege.yandex.ru) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
F
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Одно из приведенных ниже выражений истинно при любых значениях переменных x1, x2,x3, x4, x5. Укажите это выражение.
1) F(x1,x2,x3,x4,x5)x1
2) F(x1,x2,x3,x4,x5)x2
3) F(x1,x2,x3,x4,x5)x3
4) F(x1,x2,x3,x4,x5)x4
Решение:
-
во всех заданных вариантах ответа записана импликация, она ложна только тогда, когда левая часть (значение функции F) истинна, а правая – ложна.
-
выражение 1 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и  , оно не подходит
-
выражение 2 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и  , оно не подходит
-
выражение 3 истинно для всех наборов переменных, заданных в таблице истинности
-
выражение 4 ложно для набора переменных в первой строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и  , оно не подходит
-
ответ: 3.
Ещё пример задания:
Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:
z1 ¬z2 ¬z3 ¬z4 z5
Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?
1) 1 2) 2 3) 31 4) 32
Решение:
-
задано выражение с пятью переменными, которые могут принимать 25 = 32 различных комбинаций значений
-
операция – это логическое умножение, поэтому заданное выражение истинно только тогда, когда все сомножитель истинны, то есть в одном единственном случае
-
тогда остается 32 – 1 = 31 вариант, когда выражение ложно
-
ответ: 3.
Е
щё пример задания:
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
F
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1) (x1 x2) ¬x3 x4 ¬x5 x6 ¬x7
2) (x1 x2) ¬x3 x4 ¬x5 x6 x7
3) (x1 ¬x2) x3 ¬x4 ¬x5 x6 ¬x7
4) (¬x1 ¬x2) x3 ¬x4 x5 ¬x6 x7
Решение:
-
в последнем столбце таблицы всего одна единица, поэтому стоит попробовать использовать функцию, состоящую из цепочки операций «И» (ответы 1, 3 или 4);
-
для этой «единичной» строчки получаем, что инверсия (операция «НЕ») должна быть применена к переменным x3, x5 и x7, которые равны нулю:
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
F
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
таким образом, остается только вариант ответа 1 (в ответов 3 и 4 переменная x3 указана без инверсии)
-
проверяем скобку (x1 x2): в данном случае она равна 1, что соответствует условию
-
ответ: 1.
Е
X
|
Y
|
Z
|
F
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
щё пример задания:
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z 3) X Y Z 4) ¬X ¬Y ¬Z
Решение (основной вариант):
-
нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных
-
если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F
-
перепишем ответы в других обозначениях:
1)  2)  3)  4) 
-
первое выражение, , равно 1 только при  , поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит)
-
второе выражение, , равно 1 только при  , поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят)
-
третье выражение,, равно нулю при , поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит)
-
наконец, четвертое выражение, равно нулю только тогда, когда , а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности
-
таким образом, правильный ответ – 4 ; частичная таблица истинности для всех выражений имеет следующий вид:
X
|
Y
|
Z
|
F
|
|
|
|
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0 ×
|
0 ×
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
–
|
–
|
0 ×
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
–
|
–
|
–
|
0
|
(красный крестик показывает, что значение функции не совпадает с F, а знак «–» означает, что вычислять оставшиеся значения не обязательно).
-
Возможные ловушки и проблемы:
-
серьезные сложности представляет применяемая в заданиях ЕГЭ форма записи логических выражений с «закорючками», поэтому рекомендуется сначала внимательно перевести их в «удобоваримый» вид;
-
расчет на то, что ученик перепутает значки и (неверный ответ 1)
-
в некоторых случаях заданные выражения-ответы лучше сначала упростить, особенно если они содержат импликацию или инверсию сложных выражений (как упрощать – см. разбор задачи А10)
|
Решение (вариант 2):
-
часто правильный ответ – это самая простая функция, удовлетворяющая частичной таблице истинности, то есть, имеющая единственный нуль или единственную единицу в полной таблице истинности
-
в этом случае можно найти такую функцию и проверить, есть ли она среди данных ответов
-
в приведенной задаче в столбце F есть единственный нуль для комбинации 
-
выражение, которое имеет единственный нуль для этой комбинации, это  , оно есть среди приведенных ответов (ответ 4)
-
таким образом, правильный ответ – 4
-
Возможные проблемы:
-
метод применим не всегда, то есть, найденная в п. 4 функция может отсутствовать среди ответов
| Е
X
|
Y
|
Z
|
F
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
ще пример задания:
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z 3) X ¬Y ¬Z 4) X ¬Y ¬Z
Решение (вариант 2):
-
перепишем ответы в других обозначениях:
1) 2) 3)  4) 
-
в столбце F есть единственная единица для комбинации  , простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид , она есть среди приведенных ответов (ответ 3)
-
таким образом, правильный ответ – 3.
Еще пример задания:
Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:
X1 ¬X2 X3 ¬X4 X5
Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?
1) 1 2) 2 3) 31 4) 32
Решение (вариант 2):
-
перепишем выражение в других обозначениях:
-
таблица истинности для выражения с пятью переменными содержит 25 = 32 строки (различные комбинации значений этих переменных)
-
логическое произведение истинно в том и только в том случае, когда все сомножители равны 1, поэтому только один из этих вариантов даст истинное значение выражения, а остальные 32 – 1 = 31 вариант дают ложное значение.
-
таким образом, правильный ответ – 3.
Ещё пример задания:
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
F
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
Какое выражение соответствует F?
1) ¬x1 x2 ¬x3 x4 x5 ¬x6 ¬x7
2) ¬x1 x2 ¬x3 x4 ¬x5 ¬x6 x7
3) x1 ¬x2 x3 ¬x4 x5 x6 ¬x7
4) x1 ¬x2 x3 ¬x4 ¬x5 x6 ¬x7
Решение (вариант 2):
-
перепишем выражения 1-4 в других обозначениях:
-
-
-
-
-
поскольку в столбце F есть два нуля, это не может быть выражение, включающее только операции «ИЛИ» (логическое сложение), потому что в этом случае в таблице был бы только один ноль, поэтому варианты 2 и 4 отпадают:
-
-
аналогично, если бы в таблице был один ноль и две единицы, это не могла бы быть цепочка операций «И», которая всегда дает только одну единицу;
-
для того, чтобы в последней строке таблицы получилась единица, нужно применить операцию «НЕ» (инверсию) к переменным, значения которых в этой строке равны нулю, то есть к  и  ; остальные переменные инвертировать не нужно, так как они равны 1; видим, что эти условия в точности совпадают с выражением 1, это и есть правильный ответ
-
Ответ: 1.
Достарыңызбен бөлісу: |
