Расчетно-графическая работа

«Морской государственный университет им. адм.

Г.И. Невельского»

Кафедра «ММ и САПР»

Расчетно-графическая работа

Залюбовский С.Л.

Проверил: преподаватель

Бражник Л.А.

Владивосток

2006

Такое движение совершают ползуны, крейцкопфы, штоки, поршни в двигателях, насосах, компрессорах и других кривошипно-ползунных механизмах. Так как все точки тела движутся одинаково, то тело можно рассматривать как материальную точку, в которой со­средоточена вся его масса, поэтому изучение поступательного движе­ния тела сводится к изучению движения его центра масс. Поступа­тельное движение может совершать только твердое тело, а не отдель­ная его точка. В зависимости от формы траектории поступательное движение может быть:

- прямолинейным, если траектория любой точки поступа­тельно движущегося тела представляет собой прямую ли­нию;

- криволинейным, если траектория представляет собой кри­вую линию.

- вращательное круговое движение (звено совершает полный оборот); такое движение совершают различного рода кри­вошипы, рукоятки, зубчатые колеса, маховики, валы;

- неполное вращательное движение (звено совершает только часть оборота); так движутся поводки, педали, различные балансиры.

Каждая точка тела, не лежащая на оси вращения, описывает ок­ружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр вращения лежит на этой оси (рис. 1).

При движении тела угол поворота φ будет непрерывно менять­ся с течением времени. Зависимость угла поворота от времени описы­вается уравнением (1), которое выражает закон вращательного движения:

φ = φ(t) (1)

Характеристикой быстроты изменения угла поворота является угловая скорость тела, равная первой производной от угла пово­рота по времени:

В общем случае при неравномерном вращении угловая скорость изменяется с течением времени, т. е.

ω = ω (t) (2)

Характеристикой быстроты изменения угловой скорости (функ­ции ω = ω(t) является угловое ускорение тела, равное первой произ­водной от угловой скорости по времени:

Если знаки ω и ε одинаковы, то имеет место ускоренное вра­щение (рис. 2,6), если различны - замедленное вращение (рис. 2в). Ес­ли ω = const, то S = 0, и вращение тела равномерное (рис. 2а).

Соотношение между угловой скоростью вращательного движе­ния и числом оборотов п, совершаемых в одну минуту, выражается формулой:

(3)

Число оборотов п, совершаемых в одну минуту называют час­тотой вращения.

При вращении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Их скорости и ускорения яв­ляются величинами векторными и называются линейными.

Между угловыми характеристиками вращательного движения тела и линейными характеристиками движения его точек существует определенная зависимость.

Вектор линейной скорости точки вращающегося твердого тела направлен по касательной к траектории движения в данной точке в сторону вращения твердого тела, т. е. перпендикулярно радиусу вра­щения. Эта скорость точки называется также окружной скоростью.

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения мо­дуля и направления линейной скорости, называют линейным ускоре­нием точки.

Линейное ускорение точки вращающегося твердого тела в каж­дый момент времени равно геометрической сумме касательного (вра­щательного) и нормального (центростремительного) ускорений:

Вектор касательного ускорения точки вращающегося твердого тела направлен по касательной в данной точке к траектории ее движе­ния, т. е. перпендикулярно радиусу вращения. В зависимости от на­правления углового ускорения он либо совпадает с направлением ли­нейной скорости этой точки (ускоренное движение, рис. 26), либо на­правлен в противоположную сторону (замедленное движение, рис. 2в). Модуле нормального ускорения точки вращающегося твердого тепа равен произведению квадрата угловой скорости тела на радиус окружности, описываемой точкой, т. е.

Вектор нормального ускорения точки вращающегося твердого тела направлен по нормали (радиусу) окружности, описываемой точ­кой, в направлении центра вращения тела.

При равномерном вращении тела (ω — const) угловое ускорение

ε = 0 и, следовательно, касательное ускорение = 0, Полное ускорение точки

При равномерном вращении твердого тела любая его точка име­ет только нормальное линейное ускорение, направленное к центру вращения тела.

На рис. 2 показаны направления полного, нормального и каса­тельного ускорений в случаях равномерного (рис. 2а), ускоренного (рис. 26) и замедленного (рис. 2в) вращения тела.



Рис 2.

Сложное движение. Простейшие виды движения твердого тела (поступательное и вращательное) были рассмотрены относительно системы отсчета, связанной с Землей (неподвижной системы коорди­нат). Иногда приходится рассматривать движение тела относительно системы отсчета, связанной с каким-нибудь подвижным относительно Земли телом. В этом случае движение тела удобно представить себе как сложное движение, состоящее из двух (или более) независимых движений [3].

Различают следующие движения тела:

- относительно неподвижной системы отсчета (абсолютное).

- относительно подвижной системы отсчета (относительное),

Соответственно различают абсолютную, относительную и пере­носную траектории точек твердого тела и абсолютные, относительные и переносные скорости и ускорения точек твердого тела. Абсолютное движение тела - совокупность двух движений: относительного и пе­реносного.

Графически абсолютные скорость или ускорение точки твердого тела могут быть определены по правилу параллелограмма или тре­угольника.

Обычно составляющие части сложного движения - это про­стейшие виды движения тела: поступательное и вращательное. В тех­нике широко встречается один из случаев сложного движения тела -плоскопараллельное движение. Например, движение шатуна в кривошипно-ползунном механизме. Плоским называется такое движение, когда все точки движущегося твердого тела перемещаются в плос­костях, параллельных данной неподвижной плоскости. При плоско­параллельном движении твердого тела каждая его точка движется в плоскости. Следовательно, траектория точки расположена в этой плоскости и является замкнутой линией.

Изучение плоскопараллельного движения может быть сведено к изучению движения плоской фигуры, образованной сечением тела не­которой плоскостью, параллельной данной неподвижной плоскости, при условии, что расстояние между плоскостями постоянно [3].

Положение плоской фигуры S (рис. 3) в плоскости хОу по отно­шению к подвижной системе координат x₁Ay₁ определяется положе­нием какого-либо отрезка АВ, принадлежащего фигуре, которое зада­ется координатами какой-либо его точки, например, точки А и углом φ, образо­ванным отрезком АВ с поло­жительным направлением оси х (углом поворота фигуры). Точка А называется в этом случае полюсом.

Всякое произвольное перемещение плоской фигу­ры, а следовательно, и движе­ние всего тела, определится тремя уравнениями плоскопа­раллельного движения:

Первые два уравнения характеризуют поступательное движение твердого тела, третье - вращательное движение.

Если при движении будет оставаться постоянным угол φ (φ - const) то тело движется только поступательно. Если при движении не будут изменяться координаты полюса - точки А, то тело со­вершает вращательное движение, описываемое уравнением (1).

Поступательное и вращательное движения можно рассматри­вать как частные случаи плоскопараллельного движения.

Если плоская фигура S за некоторый промежуток времени пере­мещается в своей плоскости из положения I в положение II (рис. 4), тогда отрезок, соединяющий точки А и В этой фигуры, можно пере­местить в положение А₁В₁ одним из двух следующих способов.

Точку, вокруг которой фигура совершает поворот, называют по­люсом. В первом случае полюсом была точка A₁ во втором — В₁. За полюс может быть принята произвольная точка фигуры.

Изменение положения полюса отразится только на характери­стиках поступательной части плоского движения: перемещение, ско­рость и ускорение полюса будут зависеть от того, какая точка выбрана за полюс. Характеристики вращательной части плоского движения (угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение) не будут зави­сеть от выбора полюса, т. к. угол φ и направление вращения при этом не меняются.

Плоскопараллельное движение твердого тела можно разло­жить на два простых: переносное - поступательное движение вме­сте с точкой, выбранной за полюс, и со скоростью полюса, и отно­сительное — вращательное вокруг оси, проходящей через полюс пер­пендикулярно плоскости движения. Эти два простых движения со­вершаются одновременно, а не последовательно.

Разложение плоскопарал­лельного движения на простейшие виды движения используется для определения скоростей и ускоре­ний точек твердого тела. Например, с учетом формулы (10), можно най­ти абсолютную скорость любой точки, например точки В тела , приняв за полюс точку А (рис, 5). Она будет равна геомет­рической сумме двух скоростей: переносной скорости точки при поступательном движении тела, рав­ной скорости полюса и относительной скорости точки при вращательном движении тела вокруг этого полюса

Согласно формуле (4) модуль скорости точки при вращательном движении тела определится по уравнению:

где ω - угловая скорость вра­щения тела, рад/с;

l_АВ - радиус траектории

точки В относительно по­люса А.

Вектор скорости V_BA пер­пендикулярен радиусу вращения АВ и направлен в сторону вра­щения тела.

Аналогично можно найти абсолютное ускорение точки В твердого тела _Вабс = _B, приняв за полюс точку А (рис. 6). Оно бу­дет равно геометрической сумме двух ускорений: переносного уско­рения точки при поступательном движении тела, равного ускорению полюса

_B = _A + _BA

Относительное ускорение, согласно формуле (5), раскладывается на две составляющие:

Согласно формуле (9) модуль нормального ускорения точки во вращательном движении тела определится из уравнения:

Вектор нормального ускорения направлен по радиусу вра­щения АВ в сторону полюса А. Вектор касательного ускорения направлен перпендикулярно радиусу вращения АВ в сторону направ­ления углового ускорения вращательного движения тела.

Такое определение кинематических параметров характерно для бескулисных механизмов, в которых переносное движение рассмат­ривается как поступательное, относительное - как вращательное. В кулисных механизмах при исследовании движения кинематический пары «камень - кулиса» переносное движение рассматривается как вращательное, относительное движение - как поступательное.

Абсолютное ускорение точки в этом случае

_абс= _пер + _отн + _кор

где _кор - кориолисово (поворотное) ускорение.

Кориолисово ускорение:

Модуль кориолисова ускорения:

где ω_е - угловая скорость переносного движения.

Для плоских механизмов направление кориолисова ускорения можно найти по правилу Н. Е. Жуковского: если вектор относитель­ной скорости V_отн повернуть на угол 90° в направлении угловой скорости ω_е переносного движения, то он укажет направление ускорения Кориолиса (рис. 7).

Кориолисово ускорение для плоских механизмов равно нулю при поступательном переносном движении (ω_е = 0) и в момент, ко­гда относительная скорость равна нулю(=0).

При решении задачи определения скоростей и ускорений гра­фоаналитическим методом часто пользуются методом планов [2]. Он осуществляется построением планов скоростей и ускорений, которые представляют собой изображения векторов скоростей и ускорений то­чек движущегося механизма в данный момент времени. Этот метод основан на классических законах исследования кинематики движу­щихся тел. Метод отличается универсальностью, наглядностью и простотой. Преимуществом его является то, что в результате построения планов можно определить не только величины, но и направления ско­ростей и ускорений точек механизма.

Построение планов скоростей и ускорений выполняются с уче­том масштабных коэффициентов и , которые подбирают так, чтобы построения получились достаточно точными, и рационально использовалось поле чертежа. При вычислении масштабных коэффи­циентов рекомендуется принимать длины отрезков, изображающие вектора скоростей и ускорений точки входного (ведущего) звена, про­извольно (как правило, не менее 50 мм).

Построение планов рассмотрим на примере кривошипно-ползунного механизма, схема которого представлена на рис. 8.

Задан закон движения ведущего звена АВ: звено вращается с по­стоянной угловой скоростью ω₁. Требуется определить линейные скорости и ускорения точек звена ВС методом планов,

Звено 0 - стойка, неподвижное звено. Движение точек звеньев относительно стойки является абсолютным.

Звено 1 - кривошип, совершает полное вращение. Все точки кривошипа при его вращении описывают окружности различных ра­диусов, соответственно этому различны их линейные скорости и ускорения.

Звено 2 - шатун, совершает плоское движение: левый его конец, совпадающий с центром шарнира В, движется по окружности, а пра­вый конец (центр шарнира С) - по прямой линии. Траектории всех ос­тальных его точек представляют собой разные сложные замкнутые кривые.

Звено 3 — ползун, совершает поступательное движение. Все точки ползуна движутся по прямолинейным одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями и ускорениями.



Построение плана скоростей
План скоростей (рис. 8) дает возможность графическим путем определить скорости точек звеньев механизма. Он строится по век­торным уравнениям, которые составляются согласно формуле (10) теории о плоском движении. За полюс принимаем шарнир В. Абсо­лютная скорость точки С шатуна ВС определится как геометрическая сумма переносной скорости полюса В при поступательном движении шатуна и относительной скорости точки С при вращательном движе­нии шатуна относительно точки В:

(12)

Это уравнение можно решить графически, как всякое векторное уравнение, содержащее не более двух неизвестных. Абсолютная ско­рость точки В как точки, принадлежащей одновременно двум звеньям 1 и 2, известна по величине и направлению, так как может быть определена по формуле (4): V_B = ω1 · l_AB. Вектор направлен перпен­дикулярно звену АВ в сторону его вращения.

Вектор скорости в относительном движении перпендику­лярен звену ВС, а величина его неизвестна. Вектор абсолютной скоро­сти точки С - () ^как точки, принадлежащей одновременно двум звеньям 2 и 3, направлен вдоль прямой х-х.

Решением векторного уравнения (12) будет векторный тре­угольник, построенный по правилу сложения векторов. Построе­ние можно выполнить на плане механизма (рис. 8а). Однако гео­метрическое сложение векторов скоростей для многозвенных ме­ханизмов в нескольких его положениях неудобно, так как вектор­ные многоугольники скоростей различных точек механизма будут налагаться друг на друга. Векторы будут пересекаться, возникнут затруднения при чтении, расшифровке векторных многоугольни­ков и определении по ним скоростей. Целесообразно построение планов скоростей проводить отдельно для каждого из последова­тельных положений механизма.

Для построения плана скоростей звена ВС в плоскости чертежа нужно выбрать произвольную точку Р₁ в качестве полюса (центра) плана скоростей (рис. 86). Из полюса отложить отрезок [p₁b₁] (в оп­ределенном масштабе) параллельно направлению скорости . Через точки Р₁ и b .проводим прямые, параллельные направлениям скоро­стей и . Точка пересечения этих прямых определяет фигуру Р₁bc, которая является планом скоростей звена ВС и решением век­торного уравнения (12).

Совокупность планов скоростей всех звеньев и точек механизма с одном общим полюсом и одним масштабом называется планом скоростей механизма.

Свойства плана скоростей механизма:

1) точкам плана скоростей (b, с) соответствуют одноименные точки (В, С) на плане механизма и наоборот;

2) скорости точек, равные нулю (V_A =0), на плане скоростей сов­падают с полюсом (р₁ = а);

3) любая фигура, построенная на плане скоростей (отрезок, тре­угольник, многоугольник), обозначенная малыми буквами, по­добна соответствующей фигуре, обозначенной большими бук­вами на плане механизма, и повернута относительно нее на 90° в направлении вращения;

4) отрезки, изображающие векторы абсолютных скоростей точек звеньев механизма на плане скоростей [p₁b], [p₁c] выходят из полюса плана;

5) отрезки, изображающие векторы относительных скоростей то­чек звеньев механизма на плане скоростей [bc] соединяют кон­цы векторов абсолютных скоростей и всегда перпендикулярны одноименным отрезкам на схеме механизма (ВС).

Теорема подобия для плана скоростей. Отрезки прямых линий, соединяющих точки одного и того же звена на плане механизма, и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на плане скоростей, образуют подобные и сходственно распо­ложенные фигуры.

Теорема подобия позволяет определить скорость любой точки звена, если известны скорости двух точек этого звена.

План ускорений строится по векторным уравнениям, которые составляются согласно формуле (11) теории о плоском движении. Аб­солютное ускорение точки С шатуна ВС определится как геометриче­ская сумма переносного ускорения полюса В при поступательном

движении шатуна и относительного ускорения точки С во вращатель­ном движении шатуна вокруг точки В:

_с=_в+_св. (13)

Полное ускорение точки В во вращательном движении вокруг точки А определяется как геометрическая сумма нормального и каса­тельного ускорений:

Т. к. ω₁ = const, ε₁ = 0 и = 0, то ускорение точки В состоит только из нормального ускорения , известного по величине и на правлению. Согласно формуле (9) ускорение, а его вектор направлен параллельно звену АВ к центру вращения А.

Ускорение точки С во вращательном движении вокруг точки В определяется как геометрическая сумма нормального и касательного ус­корений:

Нормальное ускорение , а его вектор направлен параллельно звену ВС от С к В. Вектор касательного ускорения перпендикулярен звену ВС, а величина его неизвестна. Вектор аб­солютного ускорения точки С направлен вдоль прямой х-х. Уравнение (13) принимает вид:

В этом уравнении два неизвестных по величине ускорения и , которые определяются в процессе решения.

Решением векторного уравнения (14) будет многоугольник, по­строенный по правилу сложения векторов, который является планом ускорений.

Порядок построения плана ускорений (рис. 96):

1. 
   в плоскости чертежа выбрать произвольную точку р₂ в качест­ве полюса плана ускорений;
   

3) к вектору прибавить вектор , для чего через точку b провести прямую, параллельную ускорению и отложить на ней отрезок [bn] соответствующий нормальному ускорению

Планы скоростей и ускорений позволяют определить угловые скорости и угловые ускорения звеньев механизма. Согласно формуле (4), зная относительную скорость, определяем угловую скорость звена 2

Направление угловой скорости определяется направлением ско­рости . Отрезок [bc] на плане скоростей изображает относитель­ную скорость .