Закон движения, траектория, скорость и ускорения точки

1. 
   Кинематика.
   
   1. 
      Закон движения, траектория, скорость и ускорения точки.
      

Пусть - независимые координаты, однозначно связанные с компонентами законом преобразования .

Величины называются криволинейными координатами точки, таким образом, закон движения однозначно задается функциями

Цилиндрические координаты:







Сферические координаты:





Ускорение:

Ускорение точки:

Запишем скорость точки через , где - единичный вектор касательной к траектории, s – длина дуги траектории, тогда ускорение можно записать следующим образом: .

Пусть где - единичный вектор, называемый главной нормалью к траектории, - радиус кривизны в данной точке траектории. Плоскость векторов и называется соприкасающейся,

, - естественные оси

Тогда запишем ускорение через , , где - проекции ускорения на естественные оси, но , тогда

Модуль ускорения -

Закон движения твердого тела:

Для определения закона движения твердого тела достаточно задать законы движения трех его точек, не лежащих на одной прямой

Закон произвольного движения твердого тела есть аффинное линейное преобразование вида , где - постоянный вектор, - ортогональный линейный оператор, зависящий от времени, - радиус-вектор фиксированного в теле полюса.

2. 
   Способы задания движения твердого тела.
   

Движение конкретной твердой точки -

Рассмотрим свойства первого преобразования: - оно состоит в применении ортогонального оператора А к векторному пространству . Множество таких операторов образуют относительно их композиции группу O(3).

OS(3) – подгруппа ортогональных операторов в O(3) с определителем равным 1.

Пусть в пространстве выбран ОНБ (правоориентированный). Рассмотрим движение твердого тела, определенное оператором . Таким образом оператор А осуществляет преобразование от базиса пространства к базису, связанному с твердым телом.

Предположим, что оператор А представляет композицию операторов.

Пусть , где матрицы соотв. операторов имеют вид: , где

Существуют углы Эйлера, задающие произвольное положение твердого тела относительно начального базиса

матрица описывает поворот вокруг вектора , - , - . Углы , , называются кардановыми углами (углами Брайнта)

Существуют кардановы углы, задающие произвольное положение твердого тела относительно начального базиса

Пусть радиус-векторы x и r имеют начало координат в неподвижной точке О. Построим преобразование

Преобразование вращения абсолютно твердого тела вокруг оси с направляющим вектором на угол выражается формулой , где скаляр и вектор

Скалярные величины называются параметрами Эйлера

Очевидно, что параметры Эйлера удовлетворяют условию: , они существуют для любого оператора
Кватернионы. Изоморфизм характеристик углового движения твердого тела (стр. 81-112).

Множество кватернионов – пространство Н линейных комбинаций вида , где - действительные числа, а - некоторые ЛНЗ символы. В пространстве Н вводится билинейное умножение:

Кватернионы, у которых , коммутируют со всеми остальными кватернионами.

Каждому кватерниону h сопоставляется унитарная матрица , где i – мнимая единица.

Также выполняется свойство: , где - кватернионы

Сопряженный кватернион (к кватерниону h) -

Для кватернионов справедливы следующие равенства:

Для кватернионов справедливы следующие равенства: . Если , то ,

Коэффициенты кватерниона из , задающего преобразование , называются параметрами Родрига - Гамильтона

Пусть S – ортонормированный репер с началом в точке , который движется как твердое тело относительно репера S₀ ортонормированных векторов с началом в полюсе . Рассмотрим движение некоторой точки М.

Движение точки М по отношению к реперу S₀ называется абсолютным движением (траектория в этом репере – абсолютная траектория).

Движение точки М по отношению к реперу S называется относительным движением (траектория в этом репере – относительная траектория).

Движение репера S – переносное движение.

Скорость движения точки по абсолютной траектории – абсолютная скорость.

Скорость движения точки по отношению к неподвижному реперу S – относительная скорость.

В каждый конкретный момент времени t точка М совпадает с некоторой точкой пространства, жестко связанного с репером S.

Скорость точки - переносная скорость точки М.

Теорема (о сложении скоростей): Абсолютная скорость точки равна векторной сумме ее переносной и относительной скоростей: , где - вектор абсолютной скорости, - вектор переносной скорости, - вектор относительной скорости.

Теорема (случай нескольких реперов): Допустим, что точка М совершает движение в репере S₁, который движется относительно репера S₂. Репер S₂ движется в репере S₃ и т.д. Наконец репер S_k совершает движение относительно репера S₀. Тогда абсолютная скорость точки М выражается формулой , где - скорость М относительно репера S, а - скорость относительно S_i+1 той точки репера S_i, которая в данный момент совпадает с точкой М.
Поле скоростей твердого тела:

При поступательном движении векторы скоростей всех точек тела равны между собой. За скорость поступательного движения принимают скорость любой точки тела.

Величина скорости точки М при движении по окружности есть , где выражение - угловая скорость тела, R – расстояние от точки до оси вращения.

Введем скользящий вектор:

Выберем в пространстве опорную точку , некоторую точку А. Зададим действительное число (параметр) и сопоставим ему точки (точки лежат на одной прямой). Тогда . Когда принимает произвольные действительные значения, получается множество векторов , которые принадлежат одному классу эквивалентности и называются скользящим вектором. Прямая, определенная уравнением называется основанием.

Пусть - скользящий вектор, основание которого совпадает с осью вращения. Полюс расположим на оси вращения, пусть - радиус-вектор некоторой точки твердого тела. Тогда скорость твердого тела может быть вычислена по формуле:

Поле скоростей называется поступательным, если векторы скоростей всех точек тела совпадают.

Поле скоростей называется вращательным, если существует скользящий вектор (вектор угловой скорости) такой, что скорость любой точки тела дается по формуле , где - радиус-вектор рассматриваемой точки, имеющей начало на основании вектора , одинакового для всех точек тела.
Теорема Эйлера о поле скоростей твердого тела: В любой момент времени произвольного движения твердого тела его поле скоростей может быть представлено как сумма поступательного и вращательного поля скоростей: , где - скорость, одинаковая во всех точках тела, - радиус-вектор точки тела, имеющий начало в полюсе репера , связанного с телом, - скользящий вектор с основанием, проходящим через точку

Следствие: Проекции скоростей концов отрезка твердого тела на направление самого отрезка совпадают.

Теорема: Тройка элементов угловой скорости образует скользящий псевдовектор ( изменяет направление при изменении ориентированного базиса)
Дифференциал оператора и дифференциал вращения:

Любой закон движения твердого тела - , где - постоянный вектор, , - радиус-вектор фиксированного в теле полюса.

Движение, при котором все точки твердого тела получают одинаковое смещение в пространстве, называется поступательным.

Теорема: Поступательное движение реализуется тогда и только тогда, когда A – порожденный оператор.

Следствие: Произвольное движение твердого тела есть композиция вращения вокруг некоторой оси и поступательного движения.

Теорема: Всякое перемещение твердого тела можно представить либо как результат поступательного движения, либо как результат виннового движения, т.е. такого, при котором поступательный сдвиг осуществляется вдоль оси вращения, определенной оператором A. Если проекция точки на ось вращения отсутствует, то найдется точка твердого тела такая, что движение сводится к повороту вокруг оси, проходящей через эту точку.

Пусть - дифференцируемая функция некоторого скалярного параметра , причем - тождественному оператору. Изменяя , получим различные повороты вокруг различных в общем случае с.в. оператора , зависящих от параметра . Выделим линейную часть матрицы оператора A:

Матрица определяет линейный оператор, который называется дифференциалом оператора A.

Теорема: Дифференциалу оператора отвечает кососимметричная матрица.

Теорема: Дифференциал композиции операторов выражается суммой дифференциалов составляющих операторов: .

Следствие:

Когда величина , задающая дифференциалы мала, то с точностью до членов второго порядка малости действие операторов - можно представить с помощью векторных умножений:

Векторы - дифференциалы вращений.

Справедливо равенство: - это означает, что дифференциалы вращений образуют линейное пространство относительно композиции преобразований

Величина смещения: , где - угол между и .
Псевдовекторы и псевдоскаляр:

Любой закон движения твердого тела - , , в репере с началом в полюсе . Выберем другой ортонормированный репер с тем же началом и с постоянной матрицей направляющих косинусов : В базисе матрица угловой скорости примет вид ,

Если:

1) . Тогда зеркальные отображения осей координат отсутствуют и, если исходный базис был правоориентированным, то и базис окажется правоориетированным. В новом базисе компоненты матрицы угловой скорости получаются путем проектирования на новые базисные векторы.

При переходе от правоориентированного базиса к левоориентированному помимо применения правила преобразования векторов требуется еще поменять ее знак на противоположный.

Объекты, обладающие таким свойством, называются псевдовекторами.

Скалярное произведение псевдовектора на вектор – псевдоскаляр.

Движение называется плоскопараллельным, если скорости всех точек твердого тела в любой момент времени параллельны некоторой неподвижной оси.

Теорема: Плоскопараллельное поступательное поле скоростей есть предельный случай вращательного поля, когда угловая скорость стремится к нулю, а ось вращения уходит в бесконечность.

P.S. Плоскопараллельное поле скоростей всегда можно привести к вращательному полю.
Аксоид:

Множество положений, которые последовательно занимает винтовая ось в неподвижном пространстве, связанного с неподвижным репером, называется неподвижным аксоидом.

Множество положений, которые последовательно занимает винтовая ось в движущемся теле, называется подвижным аксоидом.
Аксоиды в плоскопараллельном движении представляют собой цилиндрические поверхности, образующие которых перпендикулярны плоскости движения. Аксоиды пересекаются с плоскостью движения по двум кривым, называемыми подвижной и неподвижной центроидами.

Тока пересечения основания угловой скорости вращательного поля скоростей с плоскостью движения называется мгновенным центром скоростей (мгновенным центром вращения).

3. 
   Поле скоростей свободного твердого тела.
   

4. 
   Сложное движение.
   

2. 
   Динамика системы.
   
   1. 
      Теория связей.
      

2. 
   Локальные вариационные принципы механики.
   

3. 
   Общие теоремы механики системы.
   
   1. 
      Статика.
      

2. 
   Динамика.
   

4. 
   Динамика твердого тела.
   

Пусть - скользящий псевдовектор. Основание проходит через точку, определенную радиус-вектором и любая точка прямой , где - произвольный скаляр