Ряды. Дифференциальные уравнения
жүктеу/скачать 2.54 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- А=а 1 +а 2 +а 3 +…=
- Следствие 1
- Следствие 2
         Ряды. Дифференциальные уравнения.
Определение: Числовой ряд – бесконечная упорядоченная сумма чисел. Примеры рядов:  Гармонический ряд.
 Дзета функция Риммана.
1-1+1-1+1-1+1-1+… Аn=а1+а2+а3+…+аn – частичная сумма ряда. {An}–последовательность частичных сумм. Определение: Числовой ряд А сходится, если  – сумма сходящегося числового рядя. Если , то ряд А расходится.
1+2+3+4+5+… (расходится к бесконечности) В целом по рядам существует несколко типов задач: 1) Исследование сходимости ряда. 2) Нахождение суммы.
? ?>0 ? n0 , такое, что ?n>m?n0: |An-Am| Тогда говорят, что последовательность An – фундаментальна. An=a1+a2+…+an Am=a1+a2+…+am, следовательно, An-Am=am+1+…+an ? ?>0 ? n0, такое что ?n>m?n0 => | am+1+…+an |
Всего m слагаемых  – необходимый признак сходимости числового ряда.
Доказательство: n=m+1 ??>0, ? n0 => ?n?n0 => |an|
Если ? n1:? n?n1 => an=bn, тогда A~B (либо оба сходящиеся либо оба расходящиеся) Доказательство: n0?n1 | am+1+…+an |=| bm+1+…+bn |
Если  сходится, то  сходится.
Доказательство: По критерию Коши: | am+1+…+an |≤|am+1|+|am+2|+…+|an|
Для доказательства применим критерий Коши: | am+1+…+an | = am+1+am+2+…+an≤bm+1+bm+2+…+bn2) предельный
?(α)= Для α<1 => Для α>1
 тогда по теореме о среднем выполняются неравенства
 
 , т.е. В – сходится, значит по признаку сравнения ?(α) при α>1 то же сходится.
Таким образом ?(α) = Пусть ?<1 =>A сходится ?>1 =>A расходится ?=1 =>вопрос о сходимости остаётся открытым
|
Гармонический ряд.
=>ряд расходится.
следуют неравенства:
тогда по признаку сравнения (1) ряд сходится.
, рассмотрим как ведёт себя этот ряд в зависимости от α. При α=1 ряд расходится (гармонический). Было доказано ранее. 
расходится по признаку сравнения 1.
, тогда