Ряды. Дифференциальные уравнения
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка
жүктеу/скачать 2.54 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.Такие уравнения в общем виде могут быть представлены как: 
Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя, получаем: 
Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:  Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение 
Пример:  Замена: y = UV 
Так как ищем одно любое решение, то при интегрировании не надо добавлять константу: Следовательно, Этот метод применим и для нелинейного уравнения: Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем
Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию: Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение  из последнего уравнения интегрированием находим U, а затем уже зная V(x) находим у.
Пример: Решим дифференциальное уравнение, описывающее прохождение по цепи переменного тока, чтобы найти зависимость мгновенной силы тока от времени i(t).  L – индуктивность, R – сопротивление
Сделаем замену переменных: 
Где: α= 
 
Всегда можно ввести ω0 (собственная частота):   При больших t стремится к нулю 
Уравнение Клеро:  . Вводя параметр  , получаем  .  или  . Тогда, если  , то  и  – это общее решение уравнения Клеро (прямые линии). Если же  , то  . Тогда  – особое решение (проверяется подстановкой в исходное уравнение) .
 Общее решение уравнения будет:  ; особое решение : 0=x + 2C
 Проверим, что последняя функция действительно является решением исходного уравнения: 
Дифференциальное уравнение n-ного порядка 
Общее решение в неявном виде (должно содержать n произвольных независимых постоянных): Либо общее решение может быть найдено в явном виде:
 Если задать начальные условия: y (0) = y0 , V(0)=V0 , то V0=С1 y0=С2
Чтобы решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: Теорема: Пусть функция  определена и непрерывна в области  . Пусть  непрерывны в  . Тогда задача Коши, состоящая в нахождении решения уравнения  с начальными условиями  (где точки  принадлежат области  ) имеет, притом единственное решение y = y(x), в окрестности x=x0. (без доказательства).
Линейные дифференциальные уравнения Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:  (1)
При q=0, уравнение называется однородным, q?0 неоднородным. y?+py=q –дифференциальное уравнение первого порядка. Обозначим левую часть уравнения (1) при q(x)=0 L(y)=>L(y)=0. Отметим два свойства L(y).
Линейная зависимость функций Функции y1,…,yn называются линейно зависимыми, если ? λ1,…,λn (|λ1|+…+|λn|?0) такие что Множество решений n-мерного дифференциального уравнения образуют базис, состоящий из линейно независимых функций.
Если функции y1(x),…,yn(x)(все функции и их производные непрерывны и существуют до n-1 го порядка) линейно зависимы, то Доказательство: Так как функции линейно зависимы, то   ,  Эта система имеет ненулевое решение ? когда определитель этой системы равен 0. А этот определитель и есть определитель Вронского.
Если W?0, то функции линейно независимы. Пример 1: Покажем, что если определитель равен нулю, то функции необязательно линейно зависимы. Рассмотрим произвольную точку x0>0. Теорема 2: Пусть  решения уравнения  и   тогда 
Следствие: если  хотя бы в одной точке (a,b) тогда ? x ?(a,b) W(x)?0 и функции  линейно независимы.
Доказательство: Так как W=0 в x0, то 
Рассмотрим функцию y= Решение y(n)=0 Решения:y1=1, y2=x, y3=x2,…,yn=xn-1 
следовательно, функции линейно независимы. Пример 2:  Значит функции sinx и cosx линейно независимы.
Пример 3:  , 
|
Подставим в исходное уравнение: 
, где к– константа
и 
, т.е. найти функцию-решение (интегральную кривую), проходящую через данную точку, достаточно задать 1 условие: y(х0)= y0.
соответственно функции называются линейно независимыми если не удовлетворяют уравнению (1) 
.
=0.
, 
так как определитель =0 то его столбцы линейно зависимы (их линейная комбинация равна 0). Значит 
L(y)=0, т.е. y- решение дифференциального уравнения. С условиями: 
удовлетворяет (1) но начальным условиям удовлетворяет только одно решение (по теореме Коши о существовании единственного решения). y(x) ? 0 и