«Системы счисления»

В настоящее время трудно себе представить полноценное преподавание школьных предметов без материалов с печатной основой. Данное пособие предназначено для организации собственной работы учащихся с новым материалом на уроках информатики.

В данной рабочей тетради предоставлены теоретические материалы по теме «Системы счисления», разобраны решения типовых задач, предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Эта тетрадь используется для стимулирования самостоятельного изучения нового материала. Теоретический материал и задания в рабочей тетради дополняют и углубляют сведения, имеющиеся в учебнике.

Тема «Системы счисления» вызывают у учащихся затруднения потому, что при изучении не предусмотрена работа на компьютере и приходится выполнять много вычислений. Это не способствует эффективному усвоению материала, и у ребят пропадает интерес к обучению. Для того чтобы этого не произошло, я предлагаю задания творческого характера в дополнительном разделе.

По теме «Системы счисления» предусмотрено выполнение контрольной работы. Работая с тетрадью, учащиеся выполняют четыре обязательных самостоятельных работы обучающего характера. Все самостоятельные работы составлены на 16 вариантов, что понижает возможность списывания до минимума. Понимая это, учащимся приходится вникать в тему и работать самим, чтобы избежать отрицательной отметки. Этим обуславливается хорошая подготовка к контрольной работе и твёрдые знания по теме.

После изучения темы «Системы счисления» учащиеся должны:

Пояснительная записка стр. 2

Понятия о системах счисления. Исторические сведения стр. 4

Перевод чисел в позиционных системах счисления стр. 5

Самостоятельная работа № 1 по теме: стр. 5

«Перевод чисел в позиционных системах счисления» стр. 9

Самостоятельная работа № 2 по теме:

«Перевод чисел в позиционных системах счисления» стр.11

Самостоятельная работа № 3 по теме:

«Перевод чисел в позиционных системах счисления» стр. 12

Сложение двоичных чисел стр. 13

Вычитание двоичных чисел стр. 14

Умножение в двоичной системе счисления стр.15

Деление в двоичной системе счисления стр. 16

Самостоятельная работа № 4 по теме:

«Арифметические действия в двоичной системе счисления» стр. 20

Контрольная работа по теме: «Системы счисления» стр. 21

Дополнительный раздел: «Занимательно и интересно!» стр. 22

Все есть число» - говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов.

Например:

Задолго до нашей эры люди считали мешки с зерном, и за каждый мешок чертили черточку. Когда этих черточек становилось много, люди боялись ошибиться в счете, что напишут лишнюю или не допишут.

Люди вынуждены стали группировать, как вы это сейчас делаете, сотнями, десятками, единицами.

Древнеегипетская система счисления выглядела так:

 (335)

Египтяне записывали  - это были сотни,  - десятки, - единицы, вот так они группировали.

В Вавилонской 60- ричной системе счисления единицу обозначали - , десятку - .

В Римской СС в качестве «цифр» использовались следующие заглавные латинские буквы:
I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

И для того, чтобы правильно читать и записывать числа были придуманы СС

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления. В них величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции цифры в числе. Например число 555: цифра 5 встречается трижды, причём самая правая обозначает пять единиц, вторая – пять десятков и, наконец, третья – пять сотен.

Система счисления называется непозиционной – когда значения цифры не зависит от её положения в числе. Например, в римской системе счисления число XXX (30) цифра X встречается трижды, и в каждом случае обозначают одну и ту же величину – число 10, три раза по 10 в сумме дают 30. Величина в непозиционной СС определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется. Например: IV=4 (V-I), VI=6 (V+I).

Перевод чисел в позиционных системах счисления

Преобразование из 10- ой в двоичную систему счисления:

Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых частных на 2 до тех пор пока частное от деления не окажется равным нулю. Получить искомое двоичное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности. Например:

2

22

2

1

1

1

1

45= 101101

Преобразование из 2-й в 10-ую систему счисления:

Числа в двоичной системе в развёрнутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которого выступают цифры 0 или 1.

Например: 101,01= 1*2+0*2+1*2+0*2+1*2

Преобразование из двоичной системы счисления в десятичную выполняем по следующему правилу: записываем двоичное число в развёрнутой форме и вычисляем его значение.

Например: 10,11=1*2+0*2+1*2+1*2=1*2+0*1+1*0,5+1*0,25=2,75

Самостоятельная работа № 1 по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления»

Вариант 1

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1000101₂ = _________ 1100111₂ = _________

1011110₂ = _________ 1111010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

55₁₀ =__________ 78₁₀ = _________

65₁₀ =__________ 70₁₀ = _________

Вариант 2

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1101100₂ = _________ 1100101₂ = _________

1110000₂ = _________ 1010010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

35₁₀ =__________ 32₁₀ =__________

49₁₀ = _________ 40₁₀ = _________

Вариант 3

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1100101₂ = _________ 1010100₂ = _________

1000111₂ = _________ 1101010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

44₁₀ =__________ 31₁₀ =__________

99₁₀ = _________ 81₁₀ = _________

Вариант 4

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1100000₂ = _________ 1100100₂ = _________

1100000₂ = _________ 1011110₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

95₁₀ =__________ 72₁₀ =__________

60₁₀ = _________ 42₁₀ = _________

Вариант 5

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1110001₂ = _________ 1100101₂ = _________

1001110₂ = _________ 1001010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

85₁₀ =__________ 45₁₀ =__________

72₁₀ = _________ 18₁₀ = _________

Вариант 6

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1111100₂ = _________ 1100111₂ = _________

1110101₂ = _________ 1010011₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

16₁₀ =__________ 64₁₀ =__________

51₁₀ = _________ 49₁₀ = _________

Вариант 7

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1001101₂ = _________ 1000110₂ = _________

1011010₂ = _________ 1011010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

25₁₀ =__________ 15₁₀ =__________

50₁₀ = _________ 58₁₀ = _________

Вариант 8

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1110000₂ = _________ 1101100₂ = _________

1010010₂ = _________ 1000010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

66₁₀ =__________ 92₁₀ =__________

19₁₀ = _________ 43₁₀ = _________

Вариант 9

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1000100₂ = _________ 1100100₂ = _________

1010010₂ = _________ 1011010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

53₁₀ =__________ 72₁₀ =__________

93₁₀ = _________ 38₁₀ = _________

Вариант 10

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1001101₂ = _________ 1100111₂ = _________

1010011₂ = _________ 1010010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

85₁₀ =__________ 43₁₀ = _________

62₁₀ =__________ 41₁₀ = _________

Вариант 11

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1000111₂ = _________ 1101111₂ = _________

1011010₂ = _________ 1001011₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

59₁₀ =__________ 69₁₀ =__________

77₁₀ = _________ 71₁₀ = _________

Вариант 12

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1100100₂ = _________ 1101101₂ = _________

1110001₂ = _________ 1010110₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

95₁₀ =__________ 38₁₀ =__________

81₁₀ = _________ 46₁₀ = _________

Вариант 13

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1001101₂ = _________ 1100110₂ = _________

1010111₂ = _________ 1001010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

57₁₀ =__________ 68₁₀ =__________

50₁₀ = _________ 38₁₀ = _________

Вариант 14

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1001110₂ = _________ 1101111₂ = _________

1100010₂ = _________ 1011110₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

34₁₀ =__________ 48₁₀ =__________

69₁₀ = _________ 47₁₀ = _________

Вариант 15

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1000111₂ = _________ 1101111₂ = _________

1011010₂ = _________ 1001011₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

16₁₀ =__________ 64₁₀ =__________

51₁₀ = _________ 49₁₀ = _________

Вариант 16

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

1100101₂ = _________ 1010100₂ = _________

1000111₂ = _________ 1101010₂ = _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

59₁₀ =__________ 69₁₀ =__________

77₁₀ = _________ 71₁₀ = _________

Самостоятельная работа № 2 по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления»

КАРТОЧКА № 1

1. 
   Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1101₂ 0100₂ 1010₂ 1011₂
   

Ответ: _____________

2. 
   Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.
   

1. 
   Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1011₂ 1100₂ 0100₂ 1000₂ 1110₂
   

Ответ: ___________

2. 
   Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.
   

1. 
   Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1100₂ 0100₂ 0101₂ 1011₂
   

Ответ: ____________

2. 
   Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.
   

1. 
   Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 0010₂ 1011₂ 1000₂ 1110₂ 0010₂ 1011₂
   

Ответ: ______________

2. 
   Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.
   

1. 
   Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 0011₂ 0110₂ 1011₂ 1101₂
   

Ответ: ______________

2. 
   Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.
   

1. 
   Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1000₂ 1001₂ 1101₂ 0001₂ 1010₂
   

2. 
   Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.
   

1. 
   Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1111₂ 0001₂ 1010₂ 0100₂ 1000₂ 1110₂
   

2. 
   Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.
   

1. 
   Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 0111₂ 1000₂ 0001₂ 0011₂
   

2. 
   Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.
   

1.Переведите числа из 2-ой с/с в 10-ую с/с:

1. 
   00101110
   
2. 
   100000111
   
3. 
   11001011
   
4. 
   000111011
   
5. 
   1011001011
   
6. 
   110011001011
   
7. 
   110101
   
8. 
   100111
   
9. 
   1101100
   
10. 
    1011101
    
11. 
    11011101
    
12. 
    10010100
    
13. 
    111001010
    
14. 
    110001011
    
15. 
    1100011011
    
16. 
    1100010011
    

2.Переведите числа из 10-ой с/с в 2-ую с/с:

1. 
   6910
   
2. 
   1981
   
3. 
   5412
   
4. 
   8493
   
5. 
   1274
   
6. 
   1955
   
7. 
   2896
   
8. 
   5130
   
9. 
   6001
   
10. 
    7202
    
11. 
    7310
    
12. 
    1131
    
13. 
    2031
    
14. 
    3511
    
15. 
    6912
    
16. 
    4561
    

3. Переведите числа из 10-ой с/с в 2-ую с/с (до пяти знаков после запятой):

1. 
   69,10
   
2. 
   19,81
   
3. 
   54,12
   
4. 
   84,93
   
5. 
   12,74
   
6. 
   19,55
   
7. 
   28,96
   
8. 
   51,30
   
9. 
   60,01
   
10. 
    72,02
    
11. 
    73,10
    
12. 
    11,31
    
13. 
    20,31
    
14. 
    35,11
    
15. 
    69,12
    
16. 
    45,61
    

Способ сложения столбиком в общем-то такой же как и для десятичного числа. То есть, сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается СУММА больше девяти, то записывается цифра=СУММА- 10, а ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СУММА /10), добавляется в старшему разряду. (Сложите пару чисел столбиком вспомните как это делается.) Так и с двоичным числом. Складываем поразрядно, начиная с младшей цифры. Если получается больше 1, то записывается 1 и 1 добавляется к старшему разряду (говорят "на ум пошло").

Выполним пример: 10011 + 10001. 

	1	0	0	1	1
	1	0	0	0	1
1	0	0	1	0	0

 Первый разряд: 1+1 = 2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.

Второй разряд: 1+0+1(запомненная единица) =2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.

Третий разряд: 0+0+1(запомненная единица) = 1. Записываем 1.

Четвертый разряд 0+0=0. Записываем 0.

Пятый разряд 1+1=2. Записываем 0 и добавляем к шестым разрядом 1. 

Переведём все три числа в десятичную систему и проверим правильность сложения. 

10011 = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ =32+4=36

17 + 19 = 36 верное равенство

а) 11001 +101 = _______________

б) 11001 +11001 = _____________

в) 1001 + 111 = _________________

г) 10011 + 101 = _______________

д) 11011 + 1111 = ________________

е) 11111 + 10011 = _____________

Вычитание двоичных чисел

Вычитать числа, будем также столбиком и общее правило тоже, что и для десятичных чисел, вычитание выполняется поразрядно и если в разряде не хватает единицы, то она занимается в старшем. Решим следующий пример:

 

	1	1	0	1
-		1	1	0
		1	1	1

 

Первый разряд. 1 - 0 =1. Записываем 1.

Второй разряд 0 -1. Не хватает единицы. Занимаем её в старшем разряде. Единица из старшего разряда переходит в младший, как две единицы (потому что старший разряд представляется двойкой большей степени ) 2-1 =1. Записываем 1.

Третий разряд. Единицу этого разряда мы занимали, поэтому сейчас в разряде 0 и есть необходимость занять единицу старшего разряда. 2-1 =1. Записываем 1.

Проверим результат в десятичной системе: 

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Верное равенство.  

Выполните вычитания.

а) 11001-1001 = ______________ б) 1011-110= ____________________

в) 10001-101=______________ г) 10101-11= _____________________

д) 101001-1111 = ___________ е) 111111-101010 = ___________

Для начала рассмотрим следующий любопытный факт. Для того, чтобы умножить двоичное число на 2 (десятичная двойка это 10 в двоичной системе) достаточно к умножаемому числу слева приписать один ноль. 

Проверка. 

10101 = 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ +1*2⁰ = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² +1*2¹ +0*2⁰ = 32 + 8 + 2 = 42

21 * 2 = 42 

Если мы вспомним, что любое двоичное число разлагается по степеням двойки, то становится ясно, что умножение в двоичной системе счисления сводится к умножению на 10 (то есть на десятичную 2), а стало быть, умножение это ряд последовательных сдвигов. Общее правило таково: как и для десятичных чисел, умножение двоичных выполняется поразрядно. И для каждого разряда второго множителя к первому множителю добавляется один ноль справа. Пример (пока не столбиком): 

1011 * 101 Это умножение можно свести к сумме трёх порязрядных умножений: 

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111 В столбик это же самое можно записать так: 

Проверка: 

101 = 5 (десятичное) 1011 = 11 (десятичное)

110111 = 55 (десятичное)  5*11 = 55 верное равенство

Решите самостоятельно: 

а) 1101 * 1110 = _________________ б) 1010 * 110 = __________________

в) 1011 * 11 = _______________ г) 101011 * 1101 = _______________

д) 10010 * 1001 =  __________________

Мы уже рассмотрели три действия и думаю уже понятно, что в общем-то действия над двоичными числами мало отличаются от действий над десятичными числами. Разница появляется только в том, что цифр две а не десять, но это только упрощает арифметические операции. Так же обстоит дело и с делением, но для лучшего понимания алгоритм деления разберём более подробно. Пусть нам необходимо разделить два десятичных числа, например 234 разделить на 7. Как мы это делаем.

Полученное число 110 больше 101, поэтому и на этом шаге мы запишем в частное 1. Получиться так:

Проверим в десятичных числах 

10010011 = 147 101 = 5

10 = 2 11101 = 29