M2*(x(2)-C2y)/(sqrt((x(1)-C2x)^2+(x(2)-C2y)^2))^3]

M2*(x(2)-C2y)/(sqrt((x(1)-C2x)^2+(x(2)-C2y)^2))^3];

() болғанда нүкте бір ғана объект өрісінде қозғалады.

Физиканың келесі есебін қарастырайық.

Ауырлық күші әсері кезіндегі оқтың қозғалыстыќ траекториясын алайық. Ауаның кедергі күші есептелмегенде қозғалыс траек-ториясы парабола тїрінде болады.

Енді ауаның кедергі күші жылдамдықтың квадратына пропор-ционал және қозғалыс бағытына кері деп есептейік. Күштердің тепе-теңдік теңдеуі (2.5)

Үдеудің жылдамдықтың уақыт бойынша туындысы екенін біле отырып – оны векторлық түрде жазайық :

. (2.6)

Мұндағы - ауаның тығыздығы, - оқтың массасы, - көлденең қимасының ауданы. Осы теңдеуді координаттармен жазайық: . (2.7)

Осы түрдегі дифференциалдық теңдеу MatCad пакетінің көмегімен шешкенге қолайлы. Мысалға оқтың массасы – 10 грамм, көлденеңі-1 см, ауаның тығыздығы – 1 куб метр. Осы мәндерге байланысты келесі модельді құрамыз airpoint.mcd.

function u=airpoint(t,v)

g=10; ro=1; s=0.0001; m=0.01; k=ro*s/2/m;

u=[-k*sqrt(v(1)^2+v(2)^2)*v(1);-g-k*sqrt(v(1)^2+v(2)^2)*v(2)];

Бұл жүйенің аргументтері жылдамдық пен уақыт болады. Егер бізге қозғалыстың траекториясын табу керек болса, келесіні ескеруіміз керек:

Алынған нүктелердің жиыны , , өңдеуге, яғни интерполяциялауға, аппроксимациялауға т.б. амалдарды қолдануға қолайлы. Модельдеудегі тиімдісі интегралды есептеуді қосындыны табу есебімен алмастыру:

Басында бастапқы уақыт моменгі 0-ге тең және оқ координаттар басында жатыр деп алайық. Бастапқы уақыт моментінде оқтың көлденең ұшу жылдамдығы 800 м/с, тігінен ұшу жылдамдығы – 100 м/с болсын .

Есептің моделі мен берілгендерін MatCad жүйесінде жазайық

function dynairpoint()

[t,h]=ode113(@airpoint,[0,5.6],[800,100]);

vx=h(:,1); vy=h(:,2);

m=length(t);

x0=0; y0=0;

x(1)=x0; y(1)=0;

for i=2:m

x(i)=x(i-1)+vx(i-1)*(t(i)-t(i-1));

y(i)=y(i-1)+vy(i-1)*(t(i)-t(i-1));

end;

[t1,h1]=ode113(@airpoint,[0,5.6],[800,100]);

vx1=h1(:,1); vy1=h1(:,2);

m1=length(t1);

x01=0; y01=0;

x1(1)=x0; y1(1)=0;

for i=2:m1

x1(i)=x1(i-1)+vx1(i-1)*(t1(i)-t1(i-1));

y1(i)=y1(i-1)+vy1(i-1)*(t1(i)-t1(i-1));

end;

figure

plot(x,y,’r+’,x1,y1)

grid on

Айта кететін жай [0;5.6] уақыт аралығында эмпирикалық жолмен оқтың қозғалысының оқтың ұшу сәтінен бастап құлауына дейінгі траекториясын көрсетеді. 0 координатына жердің деңгейі сәйкестендіріледі.

Есепке сәйкес құрылған дифференциялдық теңдеулер жүйесі :

Модельдің графикалық кескіні

Жүйенің есептелуін келесі түрде MATHCAD ортасында жазайық

• k*sqrt(x(3)^2+x(4)^2)*x(3);...

• g-k*sqrt(x(3)^2+x(4)^2)*x(4)];

Енді (2.4) түріндегі жүйенің шешуін жазайық:

Физиканың көптеген есептерінде дене қозғалысына әсер ететін ортаның кедергі күшінің неге тәуелді екенін білу маңызды. Кәдімгі газды немесе сұйықты ортада үйкеліс күші қозғалыстың сипатына әсер етеді. Қарастырғалы отырған заңдылықтар эмприкалық сипатта болады және Ньютонның екінші заңы сияқты қатаң тұжырымды заңдылыққа бағынбайды. Салыстырмалы түрдегі аз жылдамдықта серпілу кедергі күші жылдамдыққа пропорционал болады, яғни

( 2.12)

қатынасы орындалады. Мұндағы ортаның қасиеті бойынша және дененің формасы бойынша анықталады. Мысалы кішкентай шар үшін Стокс формуласы бойынша

, (2.13)

мұндағы - ортаның динамикалық созылымдығы, r-шардың радиусы.

t=20⁰ және 1атм атмосфералық қысым жағдайындағы

ауа үшін ; су үшін

глицерин үшін .

Әлдеқайда қаттырақ жылдамдық үшін кедергі күші жылдамдықтың квадратына пропорционал болады:

Жылдамдық бойынша сызықты болып келетін кедергінің бөлігі сақталады. Бірақ болған жағдайда шамасын ескермеуге болады. туралы дененің ағынға көлденең қимасының S ауданына, ортаның тығыздығы -ға прапорционал және дененің формасынан тәуелді деп айтуға болады.

(2.15)

мұндағы С-кез-келген кедергінің коэффициенті. Мысалы жылдамдықтың жеткілікті үлкен мәнінде газ бен сұйықтың бойын керіп тұрған иірімдер біртіндеп денеден бөліне бастайды, с-ның мәні біршама азаяды, мысалы шар үшін жуықтап с=0.1 ге тең.

Дененің еркін түсуін қарастыратын болсақ 6000 метр биіктіктен парашютсіз түскен адамның тірі қалу мүмкіндігін нақты мысал ретінде алайық. Ең алдымен кедергі күшінің сызықты бөлігінің осы қозғалысқа әсерін талдайық. Стокс формуласын пайдаланып кедергі күшінің сызықты бөлігінің ретін анықтайық. Кедергі күшінің квадраттық бөлігін бағалау үшін с=1.22, S=0.7 м² деп алайық. Қандай жылдамдықта кедергі күшінің сызықтық және квадраттық бөліктері тең болатындығын бақылайық. Бұл жылдамдықты , арқылы белгілеп ,

болатындығын білеміз. Бұдан шығады.

Жылдамдықпен пропорционал кедергі күші қандайда бір моментте ауырлық күшімен теңеседі де дене құлап түспесе де жылдамдық одан әрі өспейді. Стационарлы қозғалыстың жылдамдығы -ны түріндегі квадрат теңдеуден оңай табуға болады. Табылғаны . Американдық каскадерлердің бірініѕ 75 м биіктіктен суға секіргендегі соңғы жылдамдығы 33 м/с болғандығы тіркелген айғақ. Соған қарағанда соңғы екі жылдамдықтың жуықтап бірдей екендігін байқауға болады. Осы мәселені компьютерде модельдеу үшін нәтижені берудің формасын анықтап алу қажет. Әрине нәтиже сандық есептеуден пайда болады, оларды кесте түрінде берген қолайлы, бірақ кестенің бағандарын барлық сандық мәндермен емес солардың ішіндегі маңыздыларымен толтырған дұрыс. Кестемен қатар функциясының графигін салу қажет. Құлайтын дененің қозғалысын тең уақыт аралықтарында бақылап, графигін салу - модельдеудің көрнекілік жағының бірі. Есепті уақытқа байланысты әр түрлі дискреттеуге болады. Дискреттеуді уақыттың әр түрлі аралығы үшін, мысалы деп алып біртіндеп кішірейте отырып сапалы нәтижеге жеткенше жалғастыруға болады. Модельдеу толық болу үшін жылдамдықтың уақытқа тәуелділігін ғана емес жүрілген жолдың да уақытқа тәуелділігін зерттеу қажет. Есептің шешімі үшін (1.5) формуласын пайдаланамыз:

(2.16)

(1.7) формуласын пайдаланып

Осы (2.16)-(2.18) формулалары қарастырылып отырған физикалық процесстің моделі болып табылады. Осы модельді компьютерге әртүрлі математикалық пакеттердің көмегімен немесе программалау тілдерінің көмегімен салуға болады. Программаны тестілеу арқылы әр түрлі қозғалысты бақылауға болады. Мысалы дербес k₂=0 жағдайын қарастырсақ қозғалыс кедергісіз, яғни дененің еркін түсуін бақылауға болады.

Графикте дененің жерден қашықтығының уақытқа байланысты тәуелділігі көрсетілген

h

t

Ал төмендегі графикте дененің құлау жылдамдығының уақытқа байланысты тәуелділігі көрсетілді.










Бұл графиктер жоғарыдағы (2.16)-(2.18) моделін MathCad жүйесінде орындау нәтижесінде алынған мәліметтермен тұрғызылды.

13-ДӘРІС

Тақырыбы: Электрондық кестелердің модельденуі.

Мақсаты:
Ежелгі Қытайда монахтар күннен күнге адамның сыртынан бақылау жүргізіп, оның физикалық активтілігінің параметрін жазып, эммоциялық мүмкіндіктерін бақылаған. Көптеген жылдар бақылау нәтижесінде олар мынадай шешімге келді, мұндағы функция периодтар үшін физикалық активтілік 23 күн, эмоционалдық 28 күн, интеллектуалдық 33 күнге периодталытынын көрсетеді. Ерекше мінездерінің ғылыми болжамының мәліметтері бойынша адам туған кезде функция 0-тең, содан соң ол өсе бастайды және әрқайсысы өзінің периоды бойынша максималды оң және бір минималды теріс мәнді қабылдайды.

Осы ақпараттарды тексеруде мынадай қорытынды жасауға болады, биологиялық ритмдар мына функция арқылы жазылуы мүмкін sin(2p(t-t0)Tr), мұнда t- уақыт, ал Tr-период, r-период номері. Барлық үш қисық сызықтың басында t=t0 sin(0)=0 туған күні болады. Бәлкім түсіндіру келесі заңдарда көрсетілген: әрбір бірінші жартысында периодта синус он-бұл жұмыскерлердің күні, көтеріңкі көңіл күй; ал екінші жартысында период күнінде синусонды теріс мәнде болғанда адам пассивті жағдайда болады. Әр периодта 4 сын күні бар: екі рет синусойда 0 нүктесінде болады және бір рет максималды және минималды мәнге ие болады. Бұндай күндер адамның психикасында босаңдық деп психологтар түсіндірген.

Мұнда электрондық кестеде қолданылған туылған күннен бір жылға дейінгі биоритмдерді шешу тапсырмаларды құрудан тұрады.

Сонымен, тасырма электронды кесте құрудан, орта есептегі биоритм күнтізбесін құрудан, сын күндерін есептеп және биоритм графиктерін құрудан тұрады.

Келесі тригонометриялық функциялардан таблица және график құру.

y=sinx; y=sin(2x)

y=sin(x/2); y=cosx

18 нүкте бойынша [0;360⁰] аралығында.

Жұмыс жолы.

Барлық мысал Excel 97 үшін келтірілген. А1,А2,А3 ұяшықтарында текст, В1, В2, В3 ұяшықтарында есептің берілген шартын жазамыз. В4 есептеу қадамының формуласы, формула аргументтерінің өзгеруі .

Формулаларды қарау режимінде тригонометриялық функциялардың есептеу кестесі үшін жұмыс беті.

А5	Тригонометриялық функциялардың кестесі
	А		В	С	D	E	F
1	0 аралығының басталуы 360 аралығының соңы 18 нүктелер саны =(B2_B1)/B3
2
3
4
5	Тригонометриялық функциялардың кестесі
6	х - град		х-рад sin(x) sin(x/2) sin(2*x) cos(x)
7	=B1		=ПИО*А7/180=sin(B7) =sin(B7/2) =sin(B7*2) =cos(B7)
8	=A7+$B$4		=ПИО*A8/180=sin(B8) =sin(B8/2) =sin(B8*2) =cos(B8)
9	=A8+$B$4		=ПИО*А9/180=sin(B9) =sin(B9/2) =sin(B9*2) =cos(B9)
10	=A9+$B$4		=ПИО*А10/180=sin(B10) =sin(B10/2) =sin(B10*2) =cos(B10)
11		=A10+$B$4	=ПИО*А11/180=sin(B11) =sin(B11/2) =sin(B11*2) =cos(B11)
12		=A11+$B$4	=ПИО*А12/180=sin(B10) =sin(B12/2) =sin(B12*2) =cos(B12)

Негізгі формуланың дұрыс жазылуы болып табылады. 5 жол – кесте атауы «Тригонометриялық функциялардың кестесі». Текст (кесте атауы) ерекшеленіп тұруы үшін А1 ұяшығына атын жазып, А1:Ғ1ұяшығын белгілеп, Формат, ұяшықтар, туралау, ерекшелеу бойынша ортаға орналастыру командасын таңдаймыз.

B,C,D,E,F бағандарында функция атауларын пернетақтадан немесе функция шебері / Команда қою, функция, математикалық cos(), немесе Пи() немесе sin().Тригонометриялық функциялардың мағынасын есептеу үшін электрондық кестеде аргументті радиан түрінде крсету керек. В7 ұяшығында жай қатынастардың көмегімен градустың радианға ауысу формуласы келтірілген:

х рад= Пи/180*х гр

7-жолда есептеулер басталады, бірақ бұл жолды үлгі арқылы төмен қарай толтырып қолдануға болмайды, өйткені А7 бастапқы аргументі бар.

8-жол үлгі арқылы төмен қарай толтырылады. А8 ұяшығында келесі ұяшыққа сілтеме бар.

А8:Е8 ұяшығына дұрыс формула жазып, А8:Ғ25 белгілеп, правка-заполнить төмен командасын орындаймыз. Кесте дайын (3-сурет).

Тригонометриялық функциялардың графигін құру үшін диаграмма шебері командасын орындаймыз. Функцияның мәндері бар бағандарды белгілейміз, Диаграмма шеберін шақыру үшін Вставка, Диаграмма камандасын орындаймыз. Содан кейін ОХ осінде аргументтің жазбасын градуспен немесе радианмен жазу керек. Ол үшін графиктің бірін таңдап жанама менюден Оң перне, шығатын берілгендер, ОХ осіне жазбаларды таңдаймыз.

Графикке анализ жасауда функцияның периодтарын ескеру қажет: cosx, sin(x-2Пи), sin(2x)-Пи,sin(x/2)-4Пи.

Формальдау мен модельдеудің көмегімен ғылыми білім қалай қалыптасады?

Ғылымның мақсаты- ішкі дүние құбылыстарының түсіндірілуі. Адамдарды ежелгі заманнан ғаламшар, яғни аспан әлемі қызықтырады. Ғасырлар бойы астрономиялық білімдер қалыптасады. ХІІІғ.Альфансо Х КАстильскийдің новигаторлар мектебінде аспан денелерінің қозғалуларының болжам кестесі жасалды. Бұл кестелерде жерді күн жүйесіндегі ғаламшарлар және күн айналады делінген. 200 жылдан кейін кестелер жарық көрді және 100 деген жылдар бойы қолданыста болды. Бірақ, Николай Коперник күннің «жылуын» тоқтатты. Коперник күнді ғаламшардың ортасына қойып, бір ғаламшардың күнді айну уақытын және орналасуын анықтады. Сонымен қатар, ғаламшарлар қозғалысының картасын жасап, ғаламшарлардың ертеде, қазіргі және болашақтағы орналасу орнын анықтады. Коперник адамзат тарихында үлкен жаңалық және өзінен соң үлкен еңбек қалдырды. Оның жарыққа шығуын көп күтті, онда ол (70 жаста болған) қатты науқастанып, жартылай тартылып қалды.

Ең бірінші басылған кітап оған 1543 жылдың мамырында жіберілді. Ол оны көріп, қолына ұстады, дәл сол түні ол қайтыс болды. 200 жыл көлемінде Николай Коперниктің «Об вращений небесных сфер» кітабы шіркеудің рұқсат етілмеген кітаптар тізімінде болды.(Тек 1830 жылы бұл тізімнен сызылды).

Асторномия үшін сол уақытта Тихо Браге деген –ұлы аспан жұлдыздарын қараушы пайда болды. Оның нақты қараулары және өлшеулері кеплер мен одан кейінгі Ньютонның ашуларына септігін тигізді.

Даттық астронам Тихо Браге (1546-601) 40 жыл қараудан кейін сол жылдардағы барлық атақты ғаламшарлардың қозғалу кестесін жасады. Бұл кестені ұзақ уақыт көлемінде қолданды, бірақ олар белгіленген сәт уақытындағы ғаламшарлардың орналасу мөлшерінің сипатталуын көрсетті. Ғаламшарлардың жай және сонымен бірге жалпылама формада қозғалу заңын табу қажет болады. Тихо Браге ақыл есі дұрыс кезінде, өлерінің алдында өз жанына ен жақындарын жинап оларға өзінің еңбектерін сақтауын және өзінің оқушыларының бірі Иоганн Кеплерге өз кестесін түзетуді және басып шығаруды сеніп тапсырды.

Неміс астрономы және математигі Иоганн Кеплері Тихо Брагенің кестесін анализдей отырып, оларды формулада «жинауға» тырысты және т.б. Осындай математикалық ережелерді кестеде келтірілген ғаламшарлардың белгілі уақыт аралығында координаталарын табуға тырысты. Ол үшін ең бірінші ғаламшарлардың қай траекторияда қозғалатынын түсіну керек болды. Ең алғашқы Николай Коперник, Тихо Браге және Иоганн Кеплерлердің осы траекториялар болып шеңбер болады деп ойлауған болжаулары өзін - өзі ақтамайды. Сондықтан Кеплер траекториясының қозғалуы эллипс фигуралар болады деп ойлайды, олар келесі қатынаспен анықталады:

АС+ВС=AC’+BC’

А және В нүктелері эллипстің фокустары деп аталады, АВ арақашықтығы –үлкен және кіші жарты өстеріне сәйкес минимум және максимум қашықтығы фокустан эллипске дейінгі эксцентриситет. Егер А және В нүктелері сәйкес келсе, эллипстің шеңберге айналатыны түсінікті.

Бұл болжам келесі ғаламшарлардың қозғалыс заңын біріктіруге мүмкіндік береді:

1. 
   Кеплердің бірінші заңы ғаламшарлар орбитасының шынайы пішінін анықтайды: күн тұратын фокустың бірінде әрбір ғаламшар эллипс бойынша қозғалады;
   
2. 
   Кеплердің екініші заңы орбита бойынша ғаламшардың теңсіз қозғалуын орнатады: күннен ғаламшарға дейінгі жүргізілген радиус – вектор бір уақыт аралығындағы ауданды сипаттайды.
   
3. 
   Кеплердің үшінші заңы ғаламшардан күнге дейінгі арақашықтық және күннің айналасында ғаламшарлардың айналу аралығына тәуелді екендігі орнатады. Барлық ғаламшарлардың үлкен жарты осьтегі ұзындықтары куб қатынастары периодтың қозғалу квадратты үшін бірдей.
   

Кеплердің жаңа заңдары ғаламшарлардың қозғаласын дәл сипаттасада, олар жалпылама бола алмайды. Олар барлық аспан денелерінің жалпы қозғалу заңының қасиеттеріне ие болып, Кеплердің барлық заңдарындағы жай формаға айналды. Анығында жаңа түсінік немесе бірнеше түсінікті осы формула көмегімен жинақтайды.

Қорытынды: ғаламшарлар қозғалысының дәл сипатталуы үшін жаңа түсінік керек болады. Ғаламшарлар қозғалысының қаралу жазбаларында заңды біріктіруде олар ерекшеленген болып кездеспейді. Осындай түсініктердің бірі өзіміз көрген эллипс түсінігі болады.

Сол кезде атақты математик және физик Галилео Галилей (1564-1642) жылдары бірнеше ашуларды жасады, солардың атақтысы - математика тілінде әртүрлі табиғи құбылдыстарды негізгі ғылымилығын танып білуді енгізуі. Галилео Галилей бірнеше жылдардан кейін Исаак Ньютонның ғаламшарлардың қозғалу заңы шығарған нақты дәлелдемелер мен ойларды жүйелендіріп жинақтады. Галилей Пифагор мен Архимед әдістерінде қарастырылған жаңа тәжірибелерді өңдеді: тәжірибе жүзінде алынған білім математикалық модель абстрактісінің көмегімен жүйеленеді. Галилей «ұзындық», «көлем», «жылдамдық», «күш», заттың және түйсіктің алғашқы сапа реті нақты анықталады. Ал «түс», «дәм», «иіс», «музыканы есту қабілеті» сияқты түсініктерді ғылыми емес түсініктер қараушы жоқ болғанда олар жоқ болып кетеді. Бірақ оған (түсін) ғаламшарлардың қозғалыс траекториясын анықтаған түсініктер мен формулаларды таба алмайды (мүмкін ол өз алдына мұндай мақсат қоймаған шығар).

Сол жылы Галилео Галилей қайтыс болған, бізге белгілі бұл есепті шешкен Исаак Ньютон (1642-1727) дүниеге келді. Ньютон бұған «тартылыс» деп дәл түсінік тапты. Ол Кеплер сияқты , бүкіл аспан денелері бір – біріне тартылады деген болжауды айтты. «Күш» және «масса» түсініктерін қолданып, Ньютон өзінің тартылыс заңын: «Бүкіл денелер бір – біріне күшпен, олардың арасындағы квадрат пропорционалына тура» деп біріктірді. Математикалық есептеулерінің көрсетілуінше, Кеплер заңдары Ньютонның тартылыс заңының жай саласы болып табылады.

Берілген жағдайда бұл заңның физикалық жағы бізді аз қызықтырады, бізге оның формуласына назар аудару қажет. Тихо Браге кестесі сияқты, кеплер заңдары сияқты, Ньютон заңдары ғаламшарлар қозғалысын сипаттайды. Бірақ, заңдардың кестеден айырмашылығы онда әртүрлі түсініктер кіреді. Бұл сипаттауға үлкен нақтылық және барлық жалпылама беру үшін қажет.

Кеплер және Ньютон ғаламшарлардың қозғалыс сипатын салыстыруын толық және жәл етіп ұсынды. Бірақ Кеплер бұған дейін таныс түсініктер қолданды (эллипс, оның «фокустары», «жарты осьтер»), Ньютон жаңа түсінік енгізді – «тартылыс», «күш» және «масса» түсініктері. Ньютонға дейін белгілі болды, бірақ ол бұларға дәл ұғым енгізді. Кеплер және Ньютон ғаламшарлар күн жүйесінің қозғалысының моделін құрды. Бірақ әртүрлітәжірибе, білім, қызығушылық күште олар әртүрлі көзкараста бірдей құбылысқа қарады. Әрқайсысы өзінің нақты ғаламшар қозғалысында белгілері, құрылған модельдің негізін құрады.

Бір объекттіге оқыту көзқарасы көп болуы мүмкін. Сол объектінің көп моделін құрастыруға болады. Объект қиынырақ болса, онда әртүрлі модельдерді көбірек құруға болады.

Бірақ олардың белгілерін ерекшелеу, талдау және оларды жарты жұмысқа біріктіру, оларды қалай болса да анықтап білу қажет. Ең белгілі әдіс- бір тілде кодтап жазу (сөйлеп, схема тілінде, ғылым тілдерінде, математика тілінде және т.б.). Басқа тәсілі – объектінің кішірейтілген (үлкейтілген) көшірмесін жазу қажет. Басқа да әдістерді тауып алуға болады, сол белгілерді басты модель анықтауға тиіс.
Имитациялық модельдеу

Имитациялық модельдеу – жақсы жабдықтармен шынайы тәжірибенің жүргізілу орнына математикалық модельдеу көмегімен тәжірибелер жүргізеді.

Айталық, қалада хайуанаттар бағы бар және түн ортасында одан қолтырауын қашып кетті. Ол өзінің қайда бару керектігін білмей, сондықтан бір қиылысқа жеткеннен кейін ол кездейсоқ бағытты таңдады. Сонымен ол 5 сағат адасып жүрді, ол 1 сағатта бір кварталды жүріп өтті деп санайық. Таңғы сағат 5 –те қаланың ішінде қозғалыс басталады және қолтырауын біржерде тығылып қалды. Сол уақытта хайуанаттар бағынан жоғалып кеткенін білді және іздеуге шара салды. Егер де қолтырауын тура жүре берсе, онда ол 5 кварталдан кетіп қалушы еді, бірақ ол кездейсоқ жағдайда бағыт таңдады. Қалайша ол алысқа кеткені туралы сұралынады.

Бұл сұраққа жауап алу үшін, негізінде табиғи тәжірибені қоюға болар еді. Хайуанаттар бағынан 25- 30 қолтырауындарды алып, оларды шығарып және қайда баратынын көруге болар еді. Бірақ бұл қолайсыз, бұл жауап үшін жасанды тәжірибе жасайық.

Сонымен, хайуанаттар бағанан қолтырауын қайда барды, солтүстікке ме, оңтүстікке ме, батыс, шығысқа ма? Оны анықтау үшін кездейсоқ таңдауды алайық. Тиынды лақтырып көруге болады, басында олар былайша шешіп алды, егер «бүркіт» түссе, бағыты – солтүстік, ал «қырғи» түссе- оңтүстік. Кубикті лақтырғанға жеңіл, сондай бағыттылығы да.

Кездейсоқ биіктік – математикалық түсінік, жай процесстерде кездеспейді. Сондықтан біз басқасы емес тек қолтырауынды қарастырамыз, мысалы итті қарастырсақ - үйге қашады, ал қасқыр орманға жүгіреді, яғни белгілі бір баратын бағыттары болады.

Кездейсоқ биіктікке жақындау болатын сандар лотореяда ұтқан тәрізді. Осыған сәйкес бірдей номерленген шарлар барабанға орнатылып, араластырылады, содан кейін кез – келген бірі таңдалынып алынады. Егер шарлардың номері 00 мен 99 арасында болса, онда кездейсоқ екілік сандардың таблицасын құруға болады.

Келесі мысалды қарастырсақ, рулеткада 0 мен 9 аралығындағы сандар орналасқан, дискіні араластырғанда стрелканың бағыты қай санға түсетіні кездейсоқ. m- разрядты кездейсоқ сандар алу үшін рулетка қайта қозғалысқа келтіріледі. Дұрыс болғанда әртүрлі жағдайларда орналасады (рулетка). Сондықтан белгілі бір сан барлық басқа санға келмеуі мүмкін және p=0,1. Осылайша сандар (0, 9) интервалында бірдей орналасады. Егер бұл сандарды жазықтыққа орнатып байқасақ, онда оларды белгіленген нүктелер жазықтықта бірдей таралған.