І. Бүтін сандар жиынында шешілетін теңдеулердің теориясы

Теңдеудің оң жағы және сол жағы болады. Мысалы: 4х +17 = 19 теңдеуіндегі (4х +17) – теңдеудің сол жағы, ал 19 оң жағы. Теңдеудегі алгебралық қосылғыштардың әрқайсысы оның мүшелері деп аталады. Мұндағы 4х – белгісізі бар мүше, 7, 9 – бос мүшелер.

Теңдеумен берілген мысалдар мен есептерді шығарғанда, ондағы әріппен берілген белгісіздің немесе айнымалының сан мәнін табамыз. Демек, теңдеудің түбірін табамыз.

Белгісіз санның немесе айнымалының теңдеуді тура санды теңдікке айналдырытын мәні теңдеудің түбірі деп аталады.

Теңдеудің шешімі дегеніміз – оның түбірлерін табу немесе түбірлерінің жоқ екенін дәлелдеу. Теңдеулерді шешкенде, кейде түбірлері бірдей болатын теңдеулерді мәндес теңдеулер деп айтады. Мысалы, 2х = 10 теңдеуі мен 3х = 15 және 3х –х = 2,5 ∙ 4 теңдеулері мәндес теңдеулер, түбірлері бірдей х = 5.

Ескеретін жағдай, кейде теңдеулердің түбірі болмайды. Түбірлері болмайтын теңдеулерде мәндес теңдеулер болып саналады.

Теңдеу - әрпі бар теңдік болғандықтан, теңдеудің қасиеттерін теңдіктің қасиеттеріне сүйеніп дәлелдейміз.

Теңдеудің 1 – қасиеті.

Теңдеудің екі жағына да бірдей санды немесе әріпті өрнекті қосқанда (азайтқанда) теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.

1 – мысал. x + 23 =40

x = 17 – теңдеудің түбірі.

Мысалдарда теңдеулердің бұл қасиетін қолдану нәтижесінде 23 саны теңдеудің сол жағынан қарама – қарсы таңбамен оң жағына көшіріледі,

онда теңдеулердің 1 – қасиеті бойынша: теңдеудегі қосылғыштың таңбасын қарама – қарсыға өзгертіп, оны теңдеудің бір жағынан екінші жағына көшіргенде теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.

Теңдеуге мұндай түрлендіруді енгізген ХI ғасырдағы Орта Азия ғалымы Мұхамед бен Мұса аль Хорезми. “Алгебра” атауы оның “Китаб аль - джебрд валь - мукабала” атты шығармасынан алынған.

Теңдеудің 2 – қасиеті.

Теңдеудің екі жағын да нөлден өзге бірдей санға көбейткенде немесе бөлгенде теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.