7 класс Группа "профи"("Ш")
Для самостоятельного решения
жүктеу/скачать 471 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Принцип узких мест. Подсчет углов
- Подсчет углов
- Для самостоятельного решения
- Китайская теорема об остатках
Для самостоятельного решенияЗад18. Докажите, что игра в гекс не может закончится вничью. Зад19. Клетки шахматной доски nn раскрашены в синий и желтый цвета. Докажите, что ферзь может выбрать цвет так, что он мог гулять по всем клеткам этого цвета, не наступая на клетки другого цвета (перепрыгивать можно!). Зад20. Шах разбил свой квадратный одноэтажный дворец на 64 одинаковые квадратные комнаты, разделил комнаты на квартиры (проделав двери в некоторых перегородках между комнатами) и в каждой квартире поселил по жене. Жены могут ходить по всем комнатам своей квартиры, не заходя к другим. Известно однако, что в каждой комнате есть стенка, общая с какой-нибудь другой квартирой. Какое наименьшее число жен может быть у шаха? Принцип узких мест. Подсчет угловУпр1. а) Можно ли натуральные числа от 1 до 99 выписать в строку так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вычитается меньшее) была не меньше 50? б) Тот же вопрос для чисел от 1 до 100? Зад2. В противоположных углах квадратного пруда со стороной 10 м сидели два гуся. Поплавав по пруду, они оказались в двух других противоположных углах. Докажите, что в некоторый момент расстояние между кончиками их клювов было ровно 12 м. Зад3. а) Найдутся ли два последовательных шестизначных номера, сумма цифр каждого из которых делится на 11? б) Найдите наименьшую пару последовательных натуральных чисел, чтобы сумма цифр каждого делилась на 11. Зад4. Легко распилить кубик 333 на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если части разрешается перекладывать и пилить по несколько частей сразу? Зад5. Где-то на поле 1010 для игры в "Морской бой" стоит корабль 14. За какое наименьшее число выстрелов можно в него наверняка попасть? Зад6. Выпуклый n-угольник разрезан диагоналями на части. Докажите, что в каждой части не более n сторон. Подсчет угловЗад7. Можно ли разрезать квадрат на равнобедренные треугольники с углом 40 при основании? Зад8. Можно ли разрезать квадрат на прямоугольники так, чтобы каждый граничил (по отрезку) не менее чем с шестью другими? Зад9. Шахматную доску 99 раскрасили в шахматном порядке, после чего выпилили из нее все угловые клетки и все примыкающие к краю клетки того же цвета. На какое наименьшее число прямоугольников можно разрезать оставшуюся фигуру, если разрешается резать а) только по границам клеток; б) как угодно? Зад10. Можно ли разрезать квадрат на равнобедренные треугольники с углом 75 при основании? Для самостоятельного решенияЗад11. Пьяный шахматный король не в состоянии сделать два шага подряд в одном направлении. Он таки умудрился обойти доску 55, побывав на каждой клетке ровно по одному разу и вернувшись в исходную клетку. а) Как это ему удалось? б) Докажите, что его путь (т.е. ломаная, содержащая центры клеток) – самопересекающийся. Зад12. Многоугольник можно разрезать на 100 прямоугольников, но нельзя на 99. Докажите, что его нельзя разрезать на 100 треугольников. Зад13. Фанерный многоугольник разбит линиями разметки на прямоугольники. Пила может делать только прямые разрезы от края исходного многоугольника или отпавшей части. Докажите, что многоугольник можно пропилить по всем линиям разметки. Зад14. Прямоугольник разрезан на прямоугольные треугольники, которые граничат только целыми сторонами катет к гипотенузе. Докажите, что отношение длинной стороны прямоугольника к короткой не менее 2. Китайская теорема об остаткахОпределение. Пусть m – натуральное число. Количество чисел, взаимно простых с m и меньших m, обозначается (m). Функция (m) называется функцией Эйлера. Упр1. Вычислите a) (1); б) (6); в) (25). Зад2. Докажите, что если p – простое число, то (pn)=pn-1(p-1). Зад3. Сколько чисел, меньших 300, делятся а) на 2 и 3; б) на 2, 3 и 5? Зад4. а) Пусть a чисел удовлетворяют какому-то свойству 1, b чисел удовлетворяют свойству 2, и c чисел удовлетворяют обоим свойствам сразу. Тогда количество чисел, удовлетворяющих хотя бы одному из этих свойств, равно a+b–c. б) Пусть a1 чисел удовлетворяют первому свойству, a2 чисел удовлетворяют второму свойству, a3 чисел удовлетворяют третьему свойству, a12 удовлетворяют свойствам 1 и 2, a13 удовлетворяют свойствам 1 и 3, a23 удовлетворяют свойствам 2 и 3, и a123 удовлетворяют всем трем свойствам. Тогда количество чисел, удовлетворяющих хотя бы одному из этих свойств, равно a1+a2+a3–a12–a13–a23+ a123. Теорема 5. (Формула включения и исключения) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для нахождения количества чисел, удовлетворяющих хотя бы одному из n свойств, если для каждого набора этих свойств известно количество чисел, удовлетворяющих одновременно всем свойствам из этого набора. Зад6. а) Пусть n=pq, где p, q – различные простые числа. Докажите, что (n)=  ;
б) Пусть n=pqr, где p, q, r – различные простые числа. Докажите, что (n)= в) Упростите выражение для (n) в пунктах а) и б). Зад7. Докажите, что в условиях предыдущей задачи а) (pq)=(p)(q); б) (pqr)=(p)(q)(r). Верно ли это, если p, q, r – не простые, а попарно взаимно простые числа? Упр8. Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 5, 7 соответственно остатки 1, 2, 4, 6. Зад9. Пусть даны n попарно взаимно простых чисел m1, m2, …, mn; n чисел r1, r2, …, rn таких, что  при всех i = 1, 2, …, n и m=m1m2…mn.
9-1. Если  ,  ,  и  для всех i = 1, 2, …, n, то N1=N2.
9-2. Количество различных наборов чисел r1, r2, …, rn таких, что , равно m.
9-3. (Китайская теорема об остатках) Существует единственное число N такое, что  и  для всех i = 1, 2, …, n.
9-4. N взаимно просто с m N взаимно просто с mi для всех i = 1, 2, …, n. 9-5. Докажите, что (m)= (m1)(m2)… (mn). Теорема 10. Если m=   … , то (m)=m(1- )(1- )…(1- ).
Зад11. Генерал построил солдат в колонну по 4, но при этом солдат Иванов остался лишним. Тогда генерал построил солдат в колонну по 5. И снова Иванов остался лишним. Когда же и в колонне по 6 Иванов оказался лишним, генерал посулил ему наряд вне очереди, после чего в колонне по 7 Иванов нашел себе место и никого лишнего не осталось. Сколько солдат могло быть у генерала? жүктеу/скачать 471 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
.