Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық

Птолемейдің жасаған талқылауы.

Птолемей II ғасырдың алғашқы жартысында өзінше Евклидтің бесінші постулатын дәлелдеуге әкеп соғатын былайша талқылауды ұсынған.
Параллель түзулер жағдайында ішкі тұстас бұрыштардың қосындысына қатысты мынадай үш логикалық ұйғару жасауға болады. 1) параллель түзулер жағдайында тұстас ішкі бұрыш- тардың қосындысы 2d-дaн артық; 2) бұл қосынды 2d-дaн кем; 3) бұл қосынды 2d-ге тең. Бұл ұйғарулардың біріншісі келіссіз, сондықтан ол алынбайды.

4. 
   сурет
   

Егер бірінші ұйғаруды алатын болсақ, онда

  

• 
  2d
  

^{және сонымен бірге}  ^|   ^|  2d ^{, ал бұдан}      ^|   ^|  4d

болады. Ал
   ^|  2d ^,
   ^|  2d
олай болса, мынадай

^{келіссіз қатыс шығады:} 4d  4d
Екінші ұйғарудың да мүмкін еместігі дәл осылайша дәлелденеді. Үшінші ұйғаруды алу ғана қалады. Ал одан тікелей Евклидтің бесінші постулатының дұрыстығы келіп шығады.
Алайда Птолемейдің жасаған талқылауының сенімділігіне, айқындығына қарамастан, оның талқылауы қанағаттанарлық емес: ол мүмкін болатын ұйғарулардың бәрін қарастырмады, сондықтан да бірінші және екінші ұйғаруларды жоққа шығара отырып, осы үшінші ұйғарудың дұрыстығы жөнінде қорытынды жасауға әлі де болса жеткілікті негіз жоқ. Əлі де болса параллель түзулер мен қиюшыдан жасалған ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы қиюшының бір жағында 2d-дaн артық, екінші жағында 2d-дaн кем болады деп ұйғаруға болар еді. Ал сол жолмен мұндай ұйғаруды жоққа шығаруға болмас еді.