Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық
МЕКТЕП ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫНДАҒЫ АКСИОМАЛАР
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- МЕКТЕП ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫНДАҒЫ АКСИОМАТИКАЛЫҚ ӘДІС
МЕКТЕП ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫНДАҒЫ АКСИОМАЛАРЖоспары: Мектеп геометрия курсындағы аксиоматикалық әдіс. Мектеп геометрия курсындағы А.В.Погорелов аксиомалар жүйесі. Мектеп геометрия курсындағы Л.С.Атанасян аксиомалар жүйесі. МЕКТЕП ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫНДАҒЫ АКСИОМАТИКАЛЫҚ ӘДІСОрта мектеп бағдарламасындағы геометрия аксиоматика- лық әдіс негізінде құрылған. Евклид бұл әдісті тұңғыш рет өзінің атақты «Негіздемелер» атты трактатасында енгізді. Бұл аксиомалар 2000 жыл көлемінде қарастырылып, толықтырылды. Бастапқыда Евклидтің аксиомалар жүйесі даулы, нақты емес екені дәлелденді. Сол дауды тудырушылардың бірі атақты математик Давид Гильберт болды. Д.Гильберт евклид аксиоматикаларына сондай-ақ, жалпы математикаға да маңызды өзгерістер енгізді. Бұл жұмыстың мақсаты Гильберт аксиомаларын және кез келген мектеп оқулығындағы аксиомаларды салыстыру болып табылады. Біз мектеп бағдарламасындағы А.В. Погорелов геометрия оқулығын қарастырамыз. Сонымен қатар, бізге мына сұрақтың жауабы маңызды: неге мұғалімдерге Давид Гильберт аксиоматикасын білуі керек, мектеп геометрия курсында бағдарламаға сәйкес оқулықтағы аксиомалар жеткілікті емес пе? Аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы, үйлесімділігі, дұрыстығы – біреуі екіншісін теріске шығаратын, яғни, қандайда бір екі сөйлемнің бірігуін қарама-қайшылыққа шығармаудан тұратын аксиома жүйелерінің қасиеті дедуктивті. Интуициалық ойлаудың пікірлерін қоса алғанда, формальды теорияның ауқымды класы үшін, аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы, берілген теорияда ең болмағанда бір дәлелденбейтін сөйлемнің бар болуымен тең. Аз ойлауға негізделгендіктен өте әлсіз дедуктивті жүйелерде интуициалық қағида орын алмайды, бірақ әлсіз қағида шынайы болса, онда, аксиомалар жүйесінің қайшылық- сыздығы шынайы (жоққа шығарылмайтын) сөйлемдердің бар болуымен пара-пар (тепе-тең). Атап өтілген тұжырымдардың бұдан да әлсіз жүйелері үшін (оң логиканың әртүрлі түрлендірулері), екіншісінен өзгелері мағынасын жоғалтады: және оны қайшылықсыздықтың анықтамасы ретінде қабылдайды. Қайшылықсыздық, берілген жүйені кейбір мазмұнды жағдайларды сипаттау үшін қарастыру, сол жағдайдың бар болуына кепілдік бермейді. Бірақ кез келген қайшылықсыздық аксиомалар жүйелері үшін үлгісін (модель) көрсетуге болады (тар предикаттарды есептеудің толықтығы туралы Гелден теоремасы), және сондай- ақ, тіпті кез келген шексіз қуатты (Лёвенгейма – Сколема теоремасы), онда математика және логикаға негізделген «классикалық» бағыттағы өкілдер үшін қайшылықсыздық аксиомалар жүйесі болып табылады, яғни, абстракты (дерексіз) объектілерін жинақтарының бар болу шарты жеткілікті аксиомаларымен сипатталған. Сипатталған теориядағы жағдайдың өзі, осы теориядан тыс жатыр, жоғарыда берілген түсініктемелерден ішкі (синтак- систік) қайшылықсыздық аксиомалар жүйесі оның сыртқы (семантикалық) қайшылықсыздық аксиомалар жүйесімен тығыз байланысты, берілген теориядағы тұжырымдардың дәлелдеусіз болуы, оның нақтылығын айқындайтын факторларды жоққа шығарумен аяқталады. Осындай байланыстылыққа қарамастан, синтаксикалық және семантикалық қ.а.ж. , «жұпыны» логикалық теориялар үшін пара-пар. Мысалы: пікірлерді есептеу; дегенмен ішкі қайшылықсыздық теориясы сыртқы теорияға қарағанда күштірек. «Ақиқаттылық» теориясының қандайда бір нақты бейнесінің орнын өзгеше бір дедуктивті теорияның алуы мүмкін, шығып отырған теорияның сыртқы қайшылықсыздығын оның салыстырмалы түрдегі қайшылықсыздығы деп түсінуге болады, ал семантикалық ережелерге қатысты аударма ұғымдардың нұсқауы, өрнек және бастапқы теория интерпретациясын (модель) бере отырып, екінші теориядан біріншісінің тұжырымдалуы, мұндағы қайшылықсыздықтың салыстырмалы дәлелі бола алады екен. Мұндай дәлелдеулердің моделдерін құрудың көзі классикалық математикада көптеген теориялардың жиынтығы болып табылады. Алайда, теориядан антиномдар (парадоксов, противоречий) жиынтығы ашылғаннан кейін, интерпретация әдістерінен түбегейлі айырмашылығы бар, жаңа қажеттіліктен қайшылықсыздық аксиомалар жүйелерінің дәлелдеу әдістері туындады (кейбір мағынада абсолютті). Осындай қажеттіліктер қайшылықсыздық аксиомалар жүйесінің сыртқы және ішкі түсініктерінің сәйкес келмеуінен туындайды. Қайшылықсыздық аксиомалар жүйесінің абсолютті дәлелдемесін талап ете отырып, тек қана жиын теориясы үшін (Қ.А.Ж-ң нақты теорияларын таза теория-моделдік ортадағы проблемаларды азайту...) немесе формальды арифметика үшін: классикалық математиканың бір бөлімінің негізі ретінде теория- жиынтығы құрылуына байланысты осы аралықты таңдауға болады. Неміс математигі Д. Гильбертте (1862—1943) осындай жолды таңдаушылардың бірі, кең ауқымды бағдарлама ұсынып, дәлелдейтін теорияны орындалу барысында формализациялап алғаннан кейін, алынған формальды жүйені (есептеу) синтаксикалық қайшылықсыздыққа ақырғы амалдарды қолдану арқылы зерттеу, яғни, теоретика-жиынтығын абстракциясында күдік тудырмайтындай мағынада болуы тиіс. Мұндай абсолютті дәлелдеулер математикада қайшылық- сыздық теориясының мағыналы негізін құрады. Бірақ 1931 жылы австралия математигі К.Гедель Гильберт бағдарламасының арифметикадағы натурал сандарға қатысты орындалмайтындығын дәлелдеді (және жиын теориясына қатысты да). Қайшылықсыз арифметикалық формальды жүйеде міндетті түрде шешілмейтін (дәлелденбейтін және шындыққа жанаспайтын) бір сөйлемнің табылатындығын сондықтан, қ.а.ж. талаптар арифметикамен оның толықтығының үйлесімсіз екендігін көрсетті. Ал, бұл Гильберт бағдарламасының толығымен жүзеге аспайтындығын ғана көрсетіп қоймай, аксиоматикалық әдістің белгілі бір мөлшерде шектеулі екендігінің куәсі.
жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|