Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий

Основная идея статьи – в случае с открытием неевклидовой геометрии Бойяи и Лобачевским мы имеем дело со сферой неведения, а средство проникновения в эту сферу в данном случае – рефлексивная симметрия (3, с. 165 - 171). М.А. Розов отмечает, что невозможен целенаправленный поиск неведомых явлений; неведение открывается только побочным образом. На вопрос – что должен делать ученый для обнаружения новых видов животных или каких-то новых, неведомых явлений – М.А. Розов отвечает – продолжать делать то, что он делал и до этого, т.е. работать в рамках уже существующих программ. Именно это последнее и происходит, как мы увидим дальше, в случае открытия неевклидовой геометрии – Лобачевский (и Бойяи) сначала решал традиционную для геометрии задачу – доказательство пятого постулата Евклида. Однако затем он понял, что решил совсем другую задачу – обнаружил “новый мир” - геометрию, совсем непохожую на евклидову. Интрига здесь заключается в том, что и Лобачевский, и Бойяи включились в решение давно поставленной задачи, и шли при этом тем же самым путем, каким шли и их предшественники. Вопрос состоит в том, что же привело их к открытию нового мира? Чего не сделали их предшественники, многие из которых реально доказали ряд теорем новой геометрии, но не считаются (и справедливо) ее творцами?

1. 
   Теория параллельных линий Евклида основывается, во-первых, на определении параллельных линий и, во-вторых, на особом постулате. Первой книге “Начал” предпосланы двадцать три определения, относящихся к первичным, по мнению Евклида, математическим понятиям. Евклид даёт определение точке, линии, прямой, поверхности, плоскости и т.д. Наконец он доходит до последнего двадцать третьего определения, согласно которому две прямые, расположенные в одной плоскости и никогда между собой не встречающиеся, называются параллельными. В 27 и 28 предложениях первой книги Евклид даёт доказательство некоторых достаточных условий, при которых две прямые были бы параллельны. В частности, из этих предложений вытекает, что две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, никогда не встретятся, как бы далеко мы их не продолжили. Отсюда легко видеть, что если мы из некоторой точки опустим перпендикуляр к прямой, а также проведём через неё же другую прямую, под прямым углом к этому перпендикуляру, то две эти прямые будут параллельны. Поэтому через точку, лежащую вне прямой всегда можно провести прямую параллельную данной (предложение 31). Но будет ли такая прямая единственной? Утверждение её единственности является одной из эквивалентных формулировок пятого постулата Евклида. Смысл этого постулата заключается в отрицании существования прямой линии, параллельной данной и вместе с тем, находящейся не под прямым, а под тупым или острым углом к соответствующему перпендикуляру.
   

Многочисленные попытки доказательства пятого постулата не прекращались со времён античности вплоть до первой четверти 19-го века. Выдающиеся геометры и простые любители геометрии сломали на этом поприще не мало копий. Но общий результат был плачевен. Чаще всего попытки доказать постулат страдали одним очень серьёзным недостатком: явно или неявно они опирались на допущения, эквивалентные доказываемому постулату. В подобную ошибку, к примеру, впадали в античности - неоплатоник Прокл, в средние века - азербайджанский математик Насир-Эддин, в новое время - знаменитый французский геометр Лежандр. Наибольший интерес, с точки зрения предыстории неевклидовой геометрии, представляют попытки доказательства пятого постулата, предпринятые в первой половине 18-го столетия иезуитом Саккери в Италии, а во второй половине того же столетия - философом и математиком Ламбертом в Германии.

Покажем, что дело не в “простом удлинении” рассуждений, а в ином их осознании – таком, которое не было осуществлено предшественниками Лобачевского – Саккери, Ламбертом и другими, доказавшими много теорем неевклидовой геометрии, но не ставшими, тем не менее, ее творцами. Для этого обратимся к некоторым представлениям гносеологической концепции М.А. Розова, в частности к его анализу механизмов научных новаций. В качестве таких механизмов им были рассмотрены рефлексивно-симметричные преобразования. Эти преобразования тесно связаны с явлением рефлексивной симметрии, которое подробно разбирается во многих его работах (см., например, 3; 9; 10). При определении рефлексии М.А. Розов идет по пути задания ее функций в рамках научного знания, т.е. говорит о рефлексирующих системах (3, с. 153 - 164). Это такие системы, которые могут оценивать собственное состояние и, на основе этого инициировать его изменение. Так, рефлектирующей системой является человек, когда своим вниманием он запускает механизмы изменения содержания собственного мышления, изменяя тем самым состояние своего сознания. Изменения состояний могут как отражаться, так и не отражаться на поведении системы. Нас будет интересовать главным образом тот случай, когда рефлексия ведёт к изменению поведения человека, изменению характера его деятельности.

У мыслящих субъектов надо строго различать действия и деятельность. Деятельность - это действия с фиксированной целью. Поэтому деятельность есть продукт рефлексии. Ведь рефлексия подразумевает оценку ситуации (в той мере, в какой эта ситуация отражается в мышлении) и, как следствие, может вызывать целенаправленное изменение поведения. При этом одни и те же действия могут означать разную деятельность. Рассмотрим пример, проанализированный М.А. Розовым(9, с.225). Допустим, человек подходит к окну и опускает шторы. Может быть, он хочет, чтобы яркое солнце не слепило ему глаза; может быть, его волнует то, что он виден из улицы или из окон соседнего дома; может быть, он боится, что в комнате скоро станет слишком жарко и т.п. Осознавая свои действия различным образом, он осуществляет всякий раз иную деятельность. Сами действия остаются инвариантом. Связанные же с ними виды деятельности М.А. Розов называет попарно симметричными (там же). При этом он исходит из следующих представлений. Используя понятие рефлексии в его узком значении, связанном только с целеполаганием, М.А. Розов предлагает называть рефлексивными такие преобразования одной деятельности в другую, которые инициируются различными осознаниями наших целевых установок (или, другими словами, сменой нашей рефлексивной позиции) (см. 10, с. 88). Если в результате таких преобразований ничего не меняется, кроме самой целевой установки (рефлексивной позиции), то М.А. Розов называет их рефлексивно-симметричными (см. 3, с.167 – 171; 9, с.222 - 237; 10, с.87 -90). Поэтому рефлексивно-симметричными будут называться и такие два акта деятельности, которые отличаются друг от друга только осознанием результата и взаимно друг в друга преобразуются путём изменения нашей рефлексивной позиции (9, с. 225).

Какое всё это имеет отношение к математике? Покажем, что самое прямое. Действительно, жизнь бодрствующего – это всегда направленность на что-то, как на цель или средство, на важное или не важное, на интересное или безразличное и т.д. Не являются, конечно, исключением и математики. Так же как и другим людям, им свойственна не только та или иная интенциональная направленность на различные виды деятельности, но и способность переключаться с одной деятельности на другую. Какой же должен быть характер этих “переключений”, чтобы можно было обеспечить своеобразные эстафеты от одних математических теорий к другим? Предположим, что, осуществляя некоторые действия, мы рассматриваем результат “А” как основной, а результат “Б” как побочный. Смена рефлексивной позиции может заключаться в том, что “А” и “Б” меняются местами, т.е. “Б” становится основным продуктом, ради которого осуществляются действия, а “А” переходит в разряд побочных результатов (9, с. 225). Если теперь примем, что “Б” – группа Галуа, а “А” –уравнения выше пятой степени, то смена рефлексивной позиции будет тождественна смене референции знания. Здесь мы имеем дело с рефлексивной симметрией: действительно, деятельность Галуа можно описать двумя попарно симметричными способами: как решение проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах (введение понятия “группы” в этом случае – побочный результат) и как введение им в математику понятия группы (а вопрос о разрешимости уравнений в радикалах – уходит в тень). Фактически изменение рефлексивной позиции было осуществлено не Галуа, жизнь которого оказалась очень коротка, а другими математиками 19 века. Но нам важен сам гносеологический механизм, способный привести к изменению направленности математической деятельности. А этим механизмом здесь является рефлексивно-симметричное преобразование. С помощью этих преобразований оказываются возможными переключения с одной математической деятельности на другую, позволяющие сохранять, через общие им понятия, преемственность между старыми и новыми математическими программами.

О механизмах можно говорить, поскольку переходы от одной математической теории к другой не связаны с субъективным произволом. Так как эти переходы не носят логического характера, то, видимо, оправданно говорить здесь о гносеологических механизмах развития математики. Остаётся вопрос, что запускает такие механизмы? Какие причины могут привести к столь резкой смене направленности математической деятельности?

3. В деятельности Лобачевского мы встречаем рефлексивно-симметричное преобразование в самом чистом виде. Выполняя работу по опровержению гипотезы острого угла, учёные в то же время незаметно для себя открывали новую математическую теорию. Поставленная цель (опровергнуть гипотезу острого угла) оказалась недостижимой, но полученные при попытке её достижения результаты оказались значимыми в совершенно ином контексте – Лобачевский (а также Бойяи и Гаусс) открыли принципиально новую геометрию, существование которой невозможно было предположить в рамках традиционных математических программ.

И Гаусс, и Лобачевский, и Бойяи начинали свои исследования с попыток опровержения гипотезы острого угла. Но, как мы постараемся показать, мнение о том, что для открытия новой геометрии им понадобилось лишь “удлинить доказательные рассуждения” от противного и осознать значение “диковинной конструкции” - слишком упрощенно. Многие теоремы, полученные в результате простых рассуждений от противного, вошли в состав геометрии Лобачевского-Бойяи, но они не были тем центром, вокруг которого она кристаллизировалась. Саккери и Ламберт, которые, как мы упоминали выше, впервые дали развёрнутые попытки доказательства постулата о параллельных с помощью опровержения гипотезы острого угла, не смогли осуществить рефлексивно-симметричные преобразования своей деятельности в сторону создания новой математической теории не только в силу каких-либо субъективных причин, но и по вполне объективным обстоятельствам. Новая теория вовсе не “вывелась” внутри старой, как птенец из яйца, в результате рассуждений от противного, а лишь использовала эти рассуждения, как строительный материал для построения своего здания. Саккери и Ламберт заблудились, идя по дорожке этих рассуждений. Чтобы мог сработать механизм рефлексивной симметрии, необходимо было не просто механически удлинять цепочки выводов, а натолкнуться на вполне определённые результаты, оставшиеся для них неизвестными. Рассмотрим это более подробно.

Итальянский математик иезуит Саккери издал в 1733 году замечательную работу "Евклид, очищенный от всех пятен; опыт установления самых первых начал всей геометрии". Она пользовалась определённым успехом у современников, но ко времени Лобачевского была практически забыта. Вопрос о постулате о параллельных занимал в этой книге одно из центральных мест. Саккери первым в истории математики приходит к мысли, что для доказательства постулата о параллельных достаточно опровергнуть гипотезу острого угла. Этой гипотезе он посвящает обширное исследование, занимающее более 80 страниц. После ряда подготовительных рассуждений, которые Саккери проводит с безупречной строгостью, он показывает, что при гипотезе острого угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую. Саккери пришёл к тем геометрическим образам, с которых, столетие спустя, начнёт развёртывать свою геометрическую систему Лобачевский (как известно, Лобачевский не был знаком с работами Саккери). Но поглощённый своей задачей опровержения гипотезы острого угла, Саккери, теоремой XXXI, внезапно обрывает “тонкую нить безупречных рассуждений”, делая из полученных положений вывод о противоречивости такой геометрической конструкции. Саккери допускает элементарную ошибку, связанную с некорректными утверждениями о бесконечно удалённой точке. Очевидно, чувствуя слабость этих утверждений, он пытается дать ещё одно опровержение гипотезы острого угла, но снова впадает в ошибку, на этот раз связанную с весьма характерной для 18 века неточностью применения метода бесконечно-малых (более подробный анализ ошибок Саккери можно найти в статье С.А. Яновской - 11, с. 59 - 64). Заканчивая свои рассуждения, итальянский математик не смог скрыть своего удивления по поводу тех усилий, которые ему пришлось предпринять, прежде чем, как ему казалось, опровергнуть рассматриваемую гипотезу. Если гипотеза тупого угла опровергалась довольно просто ("при гипотезе тупого угла дело ясно, как свет божий" (цит. по 7, с. 147)), то опровергнуть гипотезу острого угла удаётся только с помощью длинной цепи тончайших рассуждений.

Итак, Саккери выводит из сделанного допущения около 40 теорем, из которых два приводят к кажущемуся противоречию с предыдущими предложениями. Оставшиеся же теоремы, по существу, являются утверждениями геометрии Лобачевского - Бойяи. И, тем не менее, никто из исследователей работ Саккери и не пытается говорить, что итальянский математик, пусть сам того и не сознавая, открыл новую геометрическую систему. В лучшем случае речь идёт о предвосхищении начал неевклидовой геометрии. Заключается ли дело здесь лишь в том, что Саккери запутался и не продолжил цепочку выводов? Анализ исследований И.Г. Ламберта, шедшего по стопам Саккери, заставляет в этом сильно сомневаться.

Немецкий философ и математик И.Г. Ламберт в середине шестидесятых годов 18 века занимался Евклидом и заинтересовался теорией параллельных линий. Уже после его смерти, в литературном архиве Ламберта была найдена посвящённая этому вопросу статья. Она никогда им не публиковалась, т.к. те результаты, к которым немецкий философ в ней пришёл, видимо, не могли его удовлетворить (7, с. 148). Ламберт в своей работе так же очень подробно останавливается на гипотезе острого угла. При этой гипотезе сумма углов в треугольнике меньше двух прямых. Разница между двумя прямыми углами и суммой углов в треугольнике называется дефектом треугольника. Ламберт показывает, что величина дефекта треугольника пропорциональна его площади. А отсюда прямо вытекает, что существует треугольник с предельной, самой большой площадью, т.е. площадь треугольника не может быть сколь угодно велика. Более того, из этого следует, что должна существовать абсолютная единица длины, определяемая чисто геометрически, без помощи эталона. Её можно было бы определить, например, с помощью высоты предельного равнобедренного треугольника, которая больше высоты всякого другого равнобедренного треугольника. Подобия и пропорциональности фигур тогда не существовало бы вовсе. Ни одна фигура не могла бы быть представлена иначе, как в абсолютной своей величине. Указывая ряд абсурдных утверждений, к которым приводит гипотеза острого угла, Ламберт сохраняет достаточную ясность мышления, чтобы заметить, что все они не дают логического доказательства, не вступают в противоречие ни сами с собой, ни с какими-либо предложениями абсолютной геометрии. Его поражает стройность выводов, но он не может понять её причины. Перед Ламбертом предстало богатство, с которым он не знал, что делать и поэтому был вынужден прервать свои исследования. Ламберт не впал в заблуждение по поводу полученных результатов, подобно Саккери, но не смог и продвинуться дальше. Он останавливается примерно на том же рубеже, что и Саккери. "Простое удлинение доказательных рассуждений" завело его в тот же тупик, что и итальянского математика. Им обоим чего-то не хватало для продвижения вперёд. Разумеется, они оба не сознавали действительного смысла своих действий по выводу следствий из гипотезы острого угла, не осуществляли над своей деятельностью никаких рефлексивно-симметричных преобразований (как пишет В.Ф. Каган, - "авторы были беспомощны перед полученными ими результатами"(2, с. 254)), но даже и те учёные, которые такие преобразования осуществляли, не обязательно продвигались много дальше. Речь здесь идёт в первую очередь о корреспонденте Гаусса Фердинанде Швейкарте.

Правовед по образованию, Швейкарт на досуге охотно занимался математикой. Идя по пути Саккери и Ламберта, по пути планомерного вывода всех следствий из гипотезы острого угла, Швейкарт также пришёл к исходным положениям гиперболической геометрии. Но в отличие от них, он, как это видно из его заметки, предназначенной для Гаусса (см. 7, с. 470 - 471), прямо признавал и существование иной, неевклидовой геометрии. По Швейкарту, существует двоякая геометрия: геометрия в узком смысле слова и звёздная (астральная). Треугольники последней геометрии имеют ту особенность, что сумма трёх их углов не равна двум прямым. Далее он упоминает примерно те же положения астральной геометрии, что мы находим и у Ламберта. Швейкарт осознал, что он имеет дело с новой геометрической системой, но это вовсе не помогло ему продвинуться сколько-нибудь существенно дальше Саккери и Ламберта. Швейкарт сообщил о своих исследованиях своему племяннику Тауринусу, молодому математику. Тауринус так же не смог ничего сделать для развития астральной геометрии. Свои усилия он направил на опровержение гипотезы острого угла, получив при этом некоторые новые результаты, впрочем, непринципиального характера. Поэтому Тауринус может быть поставлен в один ряд с Саккери и Ламбертом. Лишь "на берегах Волги и в глуши Венгрии в двадцатых годах XIX столетия получил новое и неожиданное решение вопрос, который более чем за 2000 лет перед этим был поставлен учёными Афин и Александрии" (1, с. 124). Что же позволило Лобачевскому и Бойяи пройти до конца по тому пути, по которому шли, хотели они того или не хотели, Саккери, Ламберт, Швейкарт и Тауринус?

4. Даже такой выдающийся знаток творчества Лобачевского, как В.Ф. Каган, описывает создание русским математиком неевклидовой геометрии в выражениях, не слишком отличающихся, по сути, от стандартной точки зрения, прозвучавшей в словах А.Г. Барабашева в приведённой выше цитате. Так, В.Ф. Каган пишет: "Гений Лобачевского сказался в том, что он не поддался … предубеждению; напротив, смело развивая следствия, вытекающие из отрицания пятого постулата, он создал новую геометрическую систему … Он имел решимость отказаться от связующей силы сложившихся геометрических представлений …" (7, с. 152). Но откуда смелость и решимость при движении в никуда? Откуда воля продолжать движение? Несомненно, в самом начале работы над проблемой постулата о параллельных перед Лобачевским предстали те же разрозненные диковинные результаты, которые мы находим, например, в сочинении Ламберта. Значит, был какой-то момент, когда эти странные результаты оказались осознаны им как часть единого целого, новой теоретической системы. При этом речь не может идти о некотором случайном осознании, как это, скорее всего, было в случае Швейкарта. Лобачевский увидел реальные контуры новой геометрии, новой целостности. Возможно, здесь уместно применить представление о переключении гештальта, которое Т. Кун использовал в своей трактовке научных революций.

Психологи пользовались представлением о переключении гештальта, главным образом, в опытах, связанных с изменением зрительного восприятия. Томас Кун пришёл к выводу, что нечто, подобное этим переключениям, происходит в сознании учёных после научных революций. Их восприятие научной картины мира изменяется так, что одна целостность сменяется другой (4, с. 151 - 180). Сдвиг восприятия, сдвиг научного видения возникает в результате научных открытий. Но и сами эти открытия нередко требуют такого сдвига. Так, Аристотель и Галилей рассматривали одни и те же факты, но под разным углом зрения. То же самое можно сказать и о Саккери и Лобачевском. Что изменило точку зрения Лобачевского и позволило ему продолжить движение в столь необычном направлении?

На пути Лобачевского к его замечательному открытию можно выделить несколько этапов. Начало серьёзных размышлений русского математика, относящихся к основаниям геометрии, по-видимому, почти совпадает с началом его педагогической деятельности. До нас дошли записи лекций по элементарной геометрии, читанные Лобачевским студентам Казанского университета с 1815 по 1817 год (так называемые "Записки Темникова"). Каждый год при изложении своего курса, Лобачевский давал различные способы обоснования теории параллельных линий. В то время интерес к теории параллельных был особенно высок. Это было связано, главным образом, с выходящими тогда неоднократными переизданиями знаменитого учебника геометрии Лежандра. В этих переизданиях Лежандр предпринял многочисленные попытки дать доказательство пятого постулата Евклида. Но, в конце концов, они оказывались недостаточными. Неудивительно, что Лобачевский тоже попытался испробовать свои силы на этом поприще. В курсе 1815 года Лобачевский дал оригинальное, в духе Лежандра, доказательство постулата о параллельных. Но уже к следующему году он в нём разочаровался и попробовал изложить теорию параллельных с помощью переосмысления самого понятия параллельности. При этом он исходил из понятия о направлении, как основном, и пытался определить параллельные линии, как простирающиеся в одном направлении. Но и это его не удовлетворило, и в 1817 году он дал ещё одно доказательство, основанное, на этот раз, на рассмотрении бесконечных частей плоскости. Таким образом, Лобачевский постепенно разочаровался не только в своих попытках доказательства постулата о параллельных, но и, видимо, в попытках его доказательства вообще. К этому надо прибавить ещё одно немаловажное обстоятельство: Лобачевский не только занимался обоснованием теории параллельных, но он стал размышлять и об основаниях геометрии в целом.

В тех же тетрадях лекций по геометрии, в которых мы встречаем различные попытки доказательства пятого постулата Евклида, мы находим и различные попытки обоснования геометрии (1, с. 134 - 136). Лобачевский пытался дать себе отчёт в тех первичных понятиях, из которых исходит геометрия. Так, в одной из тетрадей геометрия определяется как наука о пространстве: "геометрическое тело есть часть полного пространства, простирающаяся во все стороны, но вместе с тем ограниченная". Поверхность есть граница тела, граница поверхности есть линия, граница линии - точка. Далее Лобачевский делает попытку определить свойства пространства. В другой тетради он уже избегает слова "пространство", но вводит вместо него понятие "протяжение". Именно протяжения, по мнению Лобачевского, составляют предмет геометрии. Соответственно, протяжение одного измерения называется в геометрии линией, а протяжение двух измерений - поверхностью. Связь же между протяжениями различных измерений устанавливается движением. Линия происходит от движения точки, поверхность - от движения линии, а тело - от движения поверхности. Наконец, в третьей тетради Лобачевский вместо понятия "протяжение" вводит, как основное, понятие "прикосновение тел". Через прикосновение двух тел Лобачевский определяет поверхность, линию, точку. И такой подход к основаниям геометрии оказался у Лобачевского окончательным. Его он проводит во всех своих зрелых работах. Этот подход наиболее соответствует тем гносеологическим установкам, которых Лобачевский придерживался в отношении геометрии. Для него геометрия - опытная наука. И он стремится рассматривать её как учёный-эмпирик. Основными понятиями геометрии не могут быть ни пространство, ни протяжение, ни поверхность, ни линия и т.п., потому что они существуют только в воображении. Ясное же понятие, по мнению Лобачевского, может быть соединено только с теми словами, которым можно указать прямые референты в реальном мире. Поэтому в предисловии к "Новым началам геометрии…" (12) он формулирует следующую точку зрения: "В природе нет ни прямых, ни кривых линий, нет плоскостей и кривых поверхностей, в ней находим одни тела, так что всё прочее создано нашим воображением, существует только в теории". Лобачевский считает, что с помощью чувств мы познаём в природе одни только тела. Это факт, от которого нельзя отвернуться, и поэтому он предлагает считать основным объектом геометрии тело, а основными отношениями между телами - их прикосновение. Все остальные понятия должны быть определены через эти основные.

Таким образом, главным злом в основаниях геометрии Лобачевский, в конце концов, стал считать "темноту", "отвлечённость" начальных геометрических абстракций и направил свои усилия на то, чтобы возвратиться от них к тем понятиям, которые "непосредственно соединены с представлениями тел в нашем уме, к которым наше воображение приучено, которые можно поверять в природе прямо, не прибегая наперёд к другим, искусственным и посторонним" (12, с. ).

Возвратимся теперь к постулату о параллельных. Вдумываясь всё более и более в начальные понятия геометрии, Лобачевский начал, по-видимому, отчётливо сознавать, что неудачи в доказательстве пятого постулата не случайны. Он пришёл к выводу, что в самих понятиях, с которыми имеет дело геометрия, ещё не заключается той истины, которую хотим доказать (12, с. 147). Поэтому Лобачевский начинает “Пангеометрию” следующими словами: “Понятия, на которых основывают начала геометрии, недостаточны, чтоб отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трёх углов прямолинейного треугольника равна двум прямым ... Недостаточность начальных понятий для доказательства приведённой теоремы принудила геометров допускать вспомогательные положения, которые как ни просты кажутся, тем не менее произвольны и, следовательно, допущены быть не могут” (13, с. 137). Итак, постулат Евклида не обоснован ни логически, ни эмпирически! Возможно, что опыты Лобачевского по тотальному эмпирическому обоснованию геометрии были реакцией русского математика на то странное обстоятельство, что все попытки строго логического доказательства постулата о параллельных терпели неизбежный крах. Но положительного результата, в этом отношении, не дали и они. Постепенно Лобачевский понял ограниченность эмпирического метода в геометрии. Поскольку геометрические свойства пространства зависят от физических свойств тел и могут, следовательно, меняться с изменением этих физических свойств, то ничего не стоит, как стал считать русский математик, и аргументация к тому, что следствия из евклидовой теории параллельных совпадают с результатами самых точных измерений. Ведь “за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений” (12) может быть действительной совсем иная геометрия. Поэтому по-прежнему оставались две возможности – гипотеза прямого и гипотеза острого угла. Хотя, может быть, Лобачевский и более, чем кто-либо, ясно сознавал, что они обе произвольны и необоснованны. Пойти дальше Саккери и Ламберта гениальный русский математик смог лишь после одного неожиданного открытия.

Впервые новая теория параллельных была публично изложена Лобачевским 11 февраля 1826 года в докладе, прочитанном на заседании физико-математического отделения Казанского университета. Текст доклада до нас не дошёл, но известно, что все его основные идеи вошли в первое сочинение Лобачевского по геометрии, напечатанное при его жизни - “О началах геометрии” (1830). В этой работе, как Саккери и Ламберт, Лобачевский рассматривает следствия гипотезы острого угла. Но в основном лишь постольку, поскольку это необходимо ему для обоснования удивительного открытия: геометрия, возникающая при принятии гипотезы острого угла, заключает в себя собственно евклидову геометрию как частный случай! “Другое предположение и одно, которое до сих пор допускали Геометры, - пишет Лобачевский, - заключается также в этом общем (гипотезе острого угла – М.В.), с тем ограничением, что линии должно рассматривать бесконечно малыми ...” (14, с. 199). Поэтому геометрия Евклида является предельным случаем новой геометрической системы. Итак, работа в рамках обоснования евклидовой геометрии привела к результату, который прямо показывает на то, что мы вышли за рамки этой геометрии. Мы работаем уже в какой-то иной математической программе. Таким образом, существовала некоторая поворотная точка, после которой стало абсолютно ясно, что, развивая гипотезу острого, угла мы имеем дело уже не со странными разрозненными фактами, а с фрагментами иной геометрии. После этого почти с необходимостью должно было произойти, говоря языком психологии, переключение гештальта. Должен был сработать механизм рефлексивно-симметричных преобразований.

Для того, чтобы рассмотреть этот вопрос подробнее, обратимся ещё к одной работе Лобачевского. Речь идёт о небольшой работе “Геометрические исследования по теории параллельных линий” (1840). В ней в наиболее ясной и логически совершенной форме гениальным русским математиком были изложены идеи новой геометрии. По выражению В.Ф. Кагана, она является “одним из наиболее блестящих перлов математической литературы” (7, с. 277). Именно по ней Гаусс, а вслед за ним и другие западные математики познакомились с творчеством Лобачевского.

По содержанию “Геометрические исследования ...” можно разбить на три основные части. В первой части (главы I-V) Лобачевский даёт перечень некоторых положений абсолютной геометрии, которые он будет в дальнейшем использовать. После этого он встаёт на точку зрения гипотезы острого угла и выводит из неё ряд следствий. Во второй части (главы VI-VIII) он после необходимых подготовительных предложений вводит понятия о предельной линии и предельной поверхности и доказывает теорему, что геометрия предельной поверхности формально совпадает с евклидовой планиметрией. Наконец, в третьей части (главы IX-XI) Лобачевский излагает неевклидову тригонометрию. Неевклидова тригонометрия завершает синтетическое развёртывание новой геометрической системы. “После этого, - пишет Лобачевский, - всё прочее в геометрии будет уже аналитикой” (14, с. 260). Таким образом, переход от первой части, развивающей новую геометрию до уровня Саккери и Ламберта, к третьей части, в которой выводятся ключевые формулы неевклидовой тригонометрии, предполагает вторую часть, в которой впервые появляются геометрические образы, которых не существует в евклидовой геометрии – предельные линии и поверхности. Именно с этими образами связано то “возрождение евклидовой планиметрии в недрах неевклидовой геометрии, к которому с различных точек зрения пришли все (курсив мой – М.В.) творцы неевклидовой геометрии” и которое “составляет наиболее важный момент в её развитии” (2, с.405).

Нам сложно по изданным геометрическим работам Лобачевского в точности судить о том, как он пришёл к открытию предельных поверхностей. А каких-либо набросков его геометрической системы, могущих осветить интересующий нас вопрос, по-видимому, не сохранилось. Зато до нас дошли многочисленные рукописные тетради Бойяи (см.1, с. 120 - 121). Из них видно, что ещё в 1820 году он пришел к мысли рассматривать круг с бесконечно большим радиусом и поставил теорию параллельных линий в связь с вопросом, является ли этот круг (т.е. предел, к которому стремятся круги при увеличении радиуса до бесконечности) прямой или же иной линией. Видимо он считал, что какая-то из этих альтернатив ведёт к опровержению гипотезы острого угла. Должно было пройти три года, прежде чем эта гениальная мысль позволила ему начать обработку “неевклидовой геометрии” и ещё два года для того, чтобы закончить её. Как и Бойяи, Лобачевский, по всей видимости, пришёл к идее предельной линии и предельной поверхности, пытаясь отыскать те следствия гипотезы острого угла, которые могли бы её опровергнуть. Попробуем на интуитивном уровне реконструировать возможный ход рассуждений.

Возьмём некоторую совокупность параллельных прямых линий собственно евклидовой геометрии. Проведём линию, к которой все эти параллельные будут расположены под прямым углом (ортогонально). Эта линия будет называться ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Очевидно, что ортогональной траекторией пучка параллельных прямых в евклидовой плоскости является прямая линия. Это логическое следствие пятого постулата Евклида. Действительно, проведём прямую линию ортогонально одной из линий пучка параллельных, тогда, в силу пятого постулата, она будет ортогональна всем этим линиям. А так как к одной точке нельзя опустить два различных перпендикуляра, то прямая линия будет единственной ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Если П – постулат о параллельных, а А – утверждение об ортогональности прямой линии пучку параллельных прямых, то в собственно евклидовой геометрии истинна следующая формула: П > А. Но что будет ортогональной траекторией пучка параллельных прямых при принятии гипотезы острого угла (т.е. при ¬П )? В этом случае параллельные прямые неограниченно сближаются. Поэтому их можно представить, как сходящиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда пучок таких параллельных можно рассматривать как радиусы окружности с бесконечно удалённым центром. Несомненно этот образ посещал Бойяи в 1820 году. Но обратимся снова к собственно евклидовой геометрии. Рассмотрим в ней окружность и пучок прямых линий, проходящих через её центр. Эти прямые будут ортогональны окружности. Она будет для них ортогональной траекторией. Будем теперь рассматривать окружность всё большего и большего радиуса. При радиусе окружности, стремящемся к бесконечности, любая конечная её дуга будет сколь угодно близко приближаться к соответствующему отрезку прямой линии, т.е. дуги как бы “выпрямляются”, их кривизна может быть сделана меньше любой заданной величины. В этом смысле говорят, что в евклидовой плоскости с увеличением радиуса окружность неограниченно приближается к прямой линии. Такая прямая будет называться предельной линией. Поэтому предельной линией называют и ортогональную траекторию пучка параллельных прямых неевклидовой геометрии. Но будет ли она прямой линией и здесь? Положительный ответ на этот вопрос приводит к опровержению гипотезы острого угла. Действительно, в этом случае было бы справедливо, что ¬П > А. Но из А следует П. Если пучок параллельных линий в евклидовой плоскости ортогонален некоторой прямой, то любая прямая, которая не была бы ей ортогональна, в то же время не будет параллельна ни одной линии из этого пучка. Она пересечёт его, что эквивалентно пятому постулату Евклида. Тогда получается, что ¬П > А > П. И цель многовековых усилий достигнута.

Если это и был замысел Бойяи, то он потерпел крушение. Предельной линией пучка параллельных прямых в случае принятия гипотезы острого угла является не прямая линия, но некоторая кривая – орицикл, как её называет Лобачевский. Но здесь основателей неевклидовой геометрии и ждало неожиданное открытие. Если предельную линию – орицикл вращать вокруг одной из её осей, то получается своеобразная поверхность, которую Лобачевский называет предельной сферой или просто предельной поверхностью. Оказалось, что в пространстве Лобачевского предельная поверхность несёт на себе двумерную евклидову геометрию! Когда мы отказываемся от евклидовой геометрии на плоскости, она не прекращает своего существования. И хотя она не выполняется на гиперболической плоскости (плоскости пространства Лобачевского), но она переходит на другую поверхность – на предельную поверхность. Сумма углов треугольника на предельной поверхности всегда равна двум прямым. На ней будет справедливо каждое предложение евклидовой планиметрии, если под прямой разуметь предельную линию.

Итак, на некотором частном фрагменте геометрии, возникающей при принятии гипотезы острого угла, справедлив пятый постулат Евклида! Отсюда и вытекает, что новая геометрическая система является более общей, по сравнению с собственно евклидовой геометрией, и включает её в себя, как частный случай. Так впервые был осуществлён радикальный выход из евклидовой программы развития геометрии. До этого тень александрийского математика неотступно висела почти над каждым творческим усилием европейских геометров. После этого стало почти неизбежным переосмысление всего геометрического материала, полученного с помощью вывода следствий из гипотезы острого угла. Стало почти неизбежным переключение гештальта и рефлексивно-симметричные преобразования. Но замечательно и то, что открытие предельных поверхностей придало не только психологическую уверенность первооткрывателям новой геометрии, но и ключ к её дальнейшему развитию.

Вместе с восстановлением евклидовой геометрии в неевклидовом пространстве сохраняются и все средства евклидовой планиметрии и прежде всего её тригонометрия. С древности существовал известный приём для построения тригонометрии сферы. В евклидовом пространстве мы, исходя от плоскости, надлежащей проекцией её на сферу, получаем сферическую тригонометрию. Подобным образом действует в нашем случае и Лобачевский. Проектируя “предельные треугольники” на плоскость, он приходит к тригонометрии прямолинейного треугольника в гиперболической плоскости. Именно после этого “всё прочее в геометрии стало уже аналитикой”. Располагая тригонометрией гиперболической плоскости, Лобачевский получил возможность построить в своей “воображаемой геометрии” аналитическую геометрию, дифференциальную геометрию, вести интегральные вычисления – довести созданную им геометрию до тех высот, до которых в течении трёх тысячелетий поднималась классическая геометрия Евклида (2, с. 276 - 277).

Если учесть, что Гаусс в его письме отцу Иоанна Бойяи Вольфангу Бойяи от 6 марта 1832 года прямо пишет о том, что он уже давно не просто пришёл к тем же результатам, что и его сын, но и тем же самым путём (1, с. 121), то можно со всей ответственностью утверждать, что существовала вполне однозначная, жёсткая логика открытия гиперболической геометрии, хотя это и не была логика математического вывода.