§16 Решение показательных уравнений и неравенств

тельные числа, то уравнение равносильно уравнению

_a f ( х)

(1)

f (х) log_c a (х) log_c b (2)

Доказательство. Если

a и

x x<sub>0

a</sub> f ( х₀ )

— решение уравнения (1), то

b ^{( х0 )} . Но из равенства положи-

тельных чисел вытекает и равенство их логарифмов. П о-

этому

log

_a f ( х₀ )

log

^{b ( х0 )} , и значит

f (х ) log a b .

c c 0 c

Следовательно, x является решением уравнения (2). Таким

образом, всякое решение уравнения (1) является решением уравнения (2).

Покажем, что и всякое решение уравнения (2) удовлетворяет

уравнению (1). Если x есть решение уравнения (2), т. е.

f (х₀ ) log_c a

b , то

_c f ( х₀ )log_c a

, так как при

данном основании ^c и равных показателях степени значения показательной функции равны. Из последнего равенства вы-

текает, что

_(clog_c a ₎ ^{f x}₀

откуда

_a f ( х₀ )

и, значит,

x₀ — решение уравнения (1). Теорема доказана.

Частным случаем доказанной теоремы является утвержде-

ние: Если ^a — отличное от 1 положительное число, то уравнение

_a f ( х)

равносильно уравнению

f (х) (х) .

Этот частный случай вытекает из теоремы 1 при a b c.

Общего метода решения показательных уравнений не суще- ствует. Однако среди показательных уравнений можно выде- лить несколько групп, уравнения каждой из которых решаются одним и тем же приёмом.

где a

0, a 1.

a^x (3)

При b 0 уравнение (3) не имеет решений, так как при действи-

тельных значениях x степень a^x не может быть отрицатель-

ным числом или равняться нулю. При b уравнение (3) имеет

единственное решение x

log_a b .

Пример. Уравнение 3^x имеет единственное решение
Вторая группа. Показательные уравнения вида

_a ( х)

b . (4)

a — элементарная алгебраическая функция.

Введением нового неизвестного u уравнение (4) непо-

средственно сводится к простейшему показательному уравне-

нию a^u

b , которое имеет решение только тогда, когда b

0. 
   . Если
   

b 0 , то ^u

и, значит, (х) log_a b

Решив это уравнение, найдём решения уравнения (4).

Замечание. Если числа ^a и b в уравнениях (3) и (4) можно запи-

сать в виде степеней одного и того же числа

c, c

т. е. если

a^x c^m , b cⁿ , то уравнения (3) и (4) можно записать так:


Третья группа. Показательные уравнения вида

_a f ( х)

b ^{( х)} , (5)

где ^a и b — отличные от 1 положительные числа, a

- элементарные алгебраические функции.

По теореме 1 уравнение (5) равносильно уравнению

f (х) и

^{f (х) log}_c ^{a (х) log}_c ^b . (6)

Решение уравнения (5) сводится, таким образом, к решению урав- нения (6).

то уравнение (5) можно записать так:

_c pf ( х)

_cq ( х) _{, и}

решение его сведётся к решению равносильного ему уравнения

pf (х)

Показательные неравенства

При решении неравенств, содержащих неизвестное в показате- лях степени, надлежит руководствоваться общими свойствами не- равенств и свойствами монотонности показательной функции.

Теорема 2. Если a

1, то неравенство a ^{f ( х)}

(7)

равносильно неравенству
f (х)
( 8 ) .

Теорема 3. Если 0

a 1, то неравенство

_a f ( х)

7. 
   равносильно неравенству
   

f (х)

(9) .

Доказательство этих теорем ввиду его простоты опуска-

ем.

§17 Решение логарифмических уравнений и неравенств

Логарифмические уравнения

Определение 1. Уравнение, в котором неизвестное содержится под знаками логарифмов или в основаниях логарифмов, называется логариф- мическим.

^{Теорема 1. Уравнение} log_a f (х)

(1)

равносильно системе
g(х)

а также системе

f (х)

f (х)

0,

0,

g(х)

(3)
(2)

f (х)

Доказательство. Пусть

g(х).

x x₀
— решение уравнения (1), т. е.

log_a f (х₀ ) log_a g(х₀ ) .

Используя область определения и монотонность логарифмической функции, имеем:

— решение систем (2) и (3).

Пусть теперь

x₁ — решение системы (2), т. е.

откуда следует, что

x₁ — решение уравнения (1).

Аналогично этому можно показать, что если

x₂ — решение сис-

темы (3), то оно тоже является решением уравнения (1). Теорема до- казана.

Теорема 2. Уравнение ^log_{a ( х )} ^{f (х) log}_{a ( х )} ^{g(х) (4)}

равносильно каждой из систем

(5)

(6)

Доказьшается аналогично теореме 1.


2
Пример. Решить уравнение log (x³

x 1
6) log (4x²


2
x 1
x) .

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Уравнение этой системы

x³ 6 0,

x² 1 0,

x² 1 1,

x³ 6 4x²

x³ 4x²

x.

x 6 0
имеет три корня:

x₁ 1, x₂

2, x₃

³ . Число

x₁ 1

не удовлетворяет условию

x² 1 0 . Числа

^x₂ и

^x₃ являются решениями этой системы,

а следовательно, и исходного уравнения.

Ответ: ^x₁ ^{2, x}₂ ³ .

log_a

f (х) log_a g(х) log_a h(х),

a 0, a

1 (7) ,

равносильно системе
(8)

log_a h(х),

которая в свою очередь равносильна системе
(9)
Доказательство. Первые два неравенства в системе (8) задают область определения левой части уравнения (7), а уравнение системы

7. 
   является следствием уравнения (7). Если уравнение
   

log_a ( f (х)g(х)) log_a h(х)

имеет решения, не являющиеся реше-

ниями уравнения (7), то они удовлетворяют обоим неравенствам

f (х) 0, g(х) 0 . С учётом первых двух неравенств системы

(8) заключаем, что эта система равносильна уравнению (7). (Требова-

ние h(х) будет выполняться автоматически.)

По теореме 2 уравнение системы (8) равносильно уравнению сис- темы (9), поэтому она равносильна системе (9).

Пример. Решить уравнение lg(х

6) lg(х

3) 1.

Решение. Это уравнение равносильно системе

Логарифмические неравенства

Определение 2. Неравенство, в котором неизвестное содержится под знаками логарифмов или в основаниях логарифмов, называ- ется логарифмическим.

Теорема 4. Неравенство

log_a f (х) log_a g(х) (10)

при a равносильно системе неравенств

а при 0

— системе неравенств

(11) ,

(12)

Доказательство легко провести по аналогии с доказательст- вом теоремы 1; при решении вопроса о том, меняется или не меняется знак неравенства при потенцировании или логарифми- ровании, следует учитывать характер монотонности логариф- мической функции: при a она монотонно возрастающая (то есть большему значению агрумента соответствует и большее значе-

ние функции), а при 0 — монотонно убывающая (большему

значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Заметим, что в системе (11) условие

f (х) 0

выполняется автома-

тически, а в системе (12) условие ски.

g(х) 0

выполняется автоматиче-

Эту теорему можно использовать также и при решении не-

равенств, содержащих в основании логарифма неизвестное (см. ниже пример б) ).

Примеры. Решить неравенства:

а) log x log (х 1) log (2х 6); б) log x ² 2 .

3 3 3 x ₉

Решение: