Математиканы оқытудың теориясы
жүктеу/скачать 5.94 Mb. Pdf көрінісі
|
| Ь>с, онда а>с» немесе ((а < Ь), (Ь <
< с) ой ңорытуын келтіруге болады. Осы к л а с қ а қү р ам ы н д а тең д іктер д ің қ а т ы н а с т а р ы ж ә н е т р а н з и т и в т і ң а с и е т т і б іл д ір е т ін ((х = у ), (у = г)) -> (х = г) теңдігі ж әне ((аКЬ), (ЬЕс)) -» (аКпс) ф о р м у л а л а р ы м е н ө р н е к т е л е т ін ой ң о р ы ту л а р к ір е д і. М ысалы, а = 2Ъ ж әне Ь = 2с, онда а = 4с. Егер ой қоры тулар бір п айы м ны ң нәтиж есінде ж асал- са, онда ол жай ой ңорыту, ал егер екі пайы м ны ң негізін- де ж асалса, онда си ллогизм деп аталады . Ой қоры туларда қ о р ы т ы н д ы н ы ң а қ и ң а т т ы ғ ы с іл т е м е л е р д ің а ң и қ а т - т ы ғы н ан ж ән е сіл те м е л ер мен л о г и к а л ы қ ам ал д ар д ы қ о л д ан у б ар ы сы н д а о й л а у з а ң д а р ы н ы ң (т е п е -т е ң д ік , қ ар ам а-ң ай ш ы л ы қ , ү ш ін ш ін ің болмау ж әне ж е т к іл ік т і негіздеу) дүрыс ңолданы луы на тәуелді болады. Б ір ін ш і заң немесе теп е-тең д ік заң ы үғы м мен оны белгілейтін м атем ати к ал ы қ термин немесе символ ара- сындағы бірмәнді сәй к естіктің болуын талап етеді. Қа- рам а-қ ай ш ы л ы қ заң ы о бъ ектін ің қандай да бір қасиеті бойы нш а бір к л а с қ а ж ат а ты н д ы ғ ы н немесе ол к л а с қ а ж а тп а й ты н д ы ғы н б іл д ір ед і. С онды қтан м ы н а е к і сөй- лемнің бірі ақи қат: «тс саны — иррационал сан» ж әне «я — рационал сан»; «Т іктөртбүры ш параллелограм м » ж әне «Тіктөртбүры ш — параллелограм м емес»; «Д иагональ- д ары п е р п е н д и к у л я р п а р а л л е л о г р а м м — ромб» ж эн е «Д иагональдары перпендикуляр параллелограмм — ромб емес»; «у = созх — ж үп ф ункция» ж эне «у = созх — так; ф ункция». Қ арам а-қай ш ы лы қ заңы тікелей ой қоры тулар кезінде ж ән е т е о р ем ал ар д ы к е р і ж о р у әд ісім ен д әл ел д еген д е қолданы лады . Ойлаудың үш інш ісінің болмау заңы ны ң мәні мынада: қарасты ры лы п оты рған объектіге қандай да бір ңасиет тиісті немесе ти істі емес. Б асқ а еш қандай үш ін ш і ж ағ- дайдың болуы туралы сөз ж оқ. М ысалы, натурал сандарды қ а р а с т ы р а о т ы р ы п , о н ы ң ж ү п нем есе таң б о л аты н ы туралы сөз етуге болады, басқа үш інш і ж ағдайды ң болуы мүмкін емес. Ж азы ң ты қтағы екі түзу не қиы лы саты н, не 129 қиылы спайтын түзулер болады; үш бүрыш ты тік бүрышына қ ар ай тік б ү р ы ш ты үш бүры ш немесе тік б ү р ы ш ты емес үш бүры ш деп аж ы ратуга болады. О йлауды ң ж е т к іл ік т і негіздеу заңы түж ы ры м далған әрбір пайы м ны ң ақиңатты гы ны ң негізделуінің ңаж еттігін ң а н а ғ а т т а н д ы р у д ы к ө з д е й д і. Н е г і з д е у — о б ъ е к т и в т і аң и қатты дүрыс бейнелеп түрганды ғы н а көз ж еткізу. Ж е т к іл ік т і негіздеу, е к ін ш ід ен , бүры н дүры сты ғы дәлелденген пайы мға сүйеніп ж аң а пайы мны ң аңиңаттығы ж өнінде қоры ты нды ш ы гару болып табылады . Ж е ткіл ік ті н е гізд еу д ің бүл е к ін ш і ж о л ы д ә л ел д еу л ер ж ү р г ізу д ің негізін қалайды . Т ікелей ой қоры тулар мектеп м атем ати ка курсы ндағы тура, кері, қарам а-қарсы , қарам а-қарсы ға кері теоремалар алуда ңолданы лады . 37845 саны ны ң 9-ға бөлінетінін немесе бөлінбейтінін а н ы қ т а у к е р е к болсы н. Ол ү ш ін н а ту р а л сан н ы ң 9-ға б ө л ін гіш тікқаси етін ескетү сір ем із. «Егернатурал санның циф рлары ны ң қосы нды сы ны ң мәні 9-ға еселік болса, ол сан 9-ға бөлінеді. 37845 саны цифрлары ның ңосындысының мәні болатын 27 саны 9-ға еселік, олай болса 37845 саны 9-ға бөлінеді». Осы сияңты пайы м даулар нәтиж есінде ой қоры ту д е д у к т и вт ік ой цорыту делінеді. Д ед у кти втік ой қоры ту процесіндегі наңты деректер ж а л п ы ер еж ел ер ге к е л т ір іл іп , ол ж а л п ы ереж елерден б ер іл ген н аң т ы д е р е к т е м е л е р ге қ а т ы с т ы қ о р ы т ы н д ы ш ы ғары лады . Кез келген дедуктивтік ой қорыту кемінде екі пайы мны ң салдары болады. Д едуктивтік ой қорыту кезінде сілтем елер дүрыс болып, л о ги кал ы қ ереж елер сақталса, онда салдар да дүрыс болады. Д едуктивтік ой қорытудың қү р ы л ы м ы ж ән е л о ги к ал ы қ ереж елердің саңталуы ны ң міндеттілігі мен сілтемелерге сүйеніп қорытынды шығаруға итермелейтін ң аж еттіл ік м атериалды қ дүниенің заттары мен ңүбылыстары арасындағы тегінің оның түрлеріне және олардың ерекш еліктеріне, ж алп ы н ы ң ж екеге қаты насы на байланы сты ңүры лады . Қ андай да бір тектік үғы мға тиісті ңасиеттер, белгілер н ем есе е р е к ш е л ік т е р сол т е к т і ү ғ ы м ғ а т и іс т і т ү р л ік үғы м дарды ң барлы ғы на ж әне оларды ң әрңайсы сы на да тән болады. М ысалы, параллелограмм үғы м ы ны ң барлың 130 ңасиеттері, оның түрлері болып табылатын тіктөртбүры ш қа да тән. Демек, ж еке ж әне дербес ж ағдай ларды ң ж ал п ы ға келтірілуі дедуктивтік ойлаудың негізін қалай ды . 5.3. Д әлелдеудің қ ү р ы л ы м ы ж әне түрлері. Д әлелдеуге үйрету А д ам зат ө зін ің өм ір т ә ж ір и б е с ін д е ң о р ш а ғ а н орта туралы бір-бірімен п ік ір алм асы п оты рады . Әрбір адам ң а н д а й да бір ө н д ір іс т ік , ғы л ы м и н ем есе к ү н д е л ік т і түрмыстың мәселелер бойынша өз ойын білдіру кезінде осы мәселелер туралы түсінігі барын сенімді түрде ж еткізуге тыры сады. А йтаты н ойы мен пікірін негіздей білу ж әне нақты дәлел келтіре алу адам ойы ны ң ең м аңы зды қасиеті болып табылады. Ү лы шығыс ғалымы әл-Фараби (8 70—950) Аристотельдің ш ы ғар м алар ы н а берген түсін іктем елерін д е дәлелдеуді логиканы ң негізі деп атап көрсеткен екен. Л о г и к а н ы ң н е г із г і м а ң с а т т а р ы н ы ң б ір і д ә л е л д е у үғы м ы на наңты м ағы на беру болып табылады . Д әлелдеу логи кан ы ң бір ны саны ж әне аңиңат түж ы - ры мдарды (ти ян ақтаулард ы ) келтіре оты ры п ңандай да бір түж ы ры м ды негіздеу процесін суреттейді. П айымдаулар (нәтиж елер немесе түж ы рымдар), дүрыс- ты ғы еш ңандай дау туғы збайты н үғы м дар адам дарды ң күн делікті тәж ірибесінде м ы ңдаған ж ы лдар бойы ж инаң- т а л ғ а н . Д ә л е л д е у л е р д ің т и я н а қ т ы п а й ы м д а у л а р ы әр ғы лы м да әр түрлі. М атем атикада ондай п айы м дауларға аксиомалар жатады. Дәлелдеу м атем атикалы қ әдістің өзегі болып табылады. Ал барлы қ ғы лы м дарда қолданы латы н дәлелдеудің үлгісі — м атем атикалы ң дәлелдеу. Сонымен, д элелд еу деген ім із — аң и ң ат ж ән е ңарас- тырылып отырған пайымдаумен байланысқан түжырымдар арқы лы ңандай да бір түж ы ры м ны ң аңиңатты ғы н негіз- деудегі л о ги к а л ы қ тәсілд ер д ің ж и ы н ты ғы . Кез келген дәлелдеудің қүры лы м ы үш бөлімнен түрады: 1) тезис (дәлелдеуді қаж ет ететін пайым); 2) аргументтер (тезисті дәлелдеу кезінде қолданы латы н аңиқат пайымдар); 131 3) дем онстрациялау немесе дәлелдеудің формасы (тезис пен аргум енттер арасы ндағы логикалы ң байланыс тәсілі). А ргумент ретінде м ы налар қолданы лады : • ңарасты ры латы н сү р аққа қаты сты талданы п, дәлел- деу бары сы нда салм аңты негіз болатын бірлік ф актілер (статисти калы ң м әлім еттер, куәгерлердің дәлелдері, экс- перим енттің немесе бақы лауды ң нәтиж елері ж әне т.б.); • әр ғы лы м да берілетін үғы м дарды ң аны қтам асы ; • аксиомалар (дәлелдеусіз қабылданатын пайымдаулар) мен постулаттар (қандай да бір ғы лы м и теория аясы нда а қ и қ а т ретін де ң аб ы лд ан аты н п ай ы м д ау л ар . О ларды ң ңүралдары дәлелденбейтін болса да, басты рөл аксиом аға тиесілі); • ғы лы м заң д ары (қ аж етті, м аң ы зды , түраң ты , қай- т а л а н а т ы н қ а т ы н а с т а р , қ ү б ы л ы с та р ар асы н д ағы б ай ланы стар) ж әне теоремалар. Т үж ы ры м ды дәлелдеу барысында дәлелдеменің м ы н а дай ереж елерін саңтау қаж ет: 1) тезис л о ги к ал ы қ түрғы дан ан ы қталған дәл, нақты пайы м болып, дәлелдеудің дүрыс не бүрыс екенін көрсету барысында өзгеріссіз қалпы н сақтайды ; 2) аргум енттердің ақ и қ ат, тезистің дүры сты ғы н негіз- дейтін дәлелдер бір-біріне қарам а-қ ай ш ы лы ң сы з болуы қаж ет; 3) ар гу м ен ттер д ің а қ и ң а т ты ғы тези стен тәу елсіз өз алды на дәлелденуі; 4) тезис аяң талған әрі оның ой қоры туларды ң ж алп ы ер еж ел ер і бойы нш а аргум енттерден л о ги к ал ы ң немесе қо сал қы дәлелдеудің ереж елеріне сәйкес алы н уы , яғн и оның дәлелдеуі толы қ болуы қаж ет. Егер осы ереж елер оры ндалмаса, онда дәлелдеуде не месе теріске ш ы ғаруда логи калы қ қателер пайда болады. Б арлы ң дәлелдеулер тура ж әне ңосалқы дәлелдеулер деп екі түрге бөлінеді. Есепті тура дәлелдеу дегенім із л о ги к ал ы ң ереж елер бойы нш а тезис ш ы ғаты н дай наңты аргум енттерді табу болып табылады . Мысалы, төртбүрыштардың бүрыш тарының ңосындысы 360°-қатең екенін дәлелдеукерек. Қандай түжырымдардан тезис ш ы гаруга болады? Төртбүрыш тың диагоналі оны екі үш бүрыш ңабөледі. Демек, төртбүрыштың бүрыш тарының қосындысы екі үшбүрыштың бүрыштарының қосындысына 132 тең. Ү ш бүры ш ты ң б үры ш тары н ы ң қосы н ды сы 180°-қа тең екені белгілі. Осы қ ағи д ал ар д ан төртбүры ш тарды ң бүры ш тары ны ң ңосындысы 360°-ңа тең деген қоры ты нды аламы з. Қ осалқы дәлелдеу тези стерд ің а қ и қ а т т ы ғ ы н береді, яғни антитезистің, тезиске қарам а-қарсы тезистің қатесін көрсетеді. Қ осалқы дәлелдеуде дәлелденетін қағи дан ы ң терістігі қолданы лады , яғни ол кері ж ору арқы лы дәлелдеу болып табылады. М ысалы, мынадай тривиалды тезистің қосалқы дәлел- демесін беру керек: «Квадрат ш еңбер болмайды». Мүнда «Квадрат шеңбер болады» деген антитезис алы нады . Бүл т ү ж ы р ы м н ы ң ж а л ға н ек ен ін кө р сету қ и ы н емес. Осы м ақсатта одан салдар ш ы ғары лады . Егер ол салдарларды ң ең болм ағанда біреуі ж ал ған болса, онда тү ж ы р ы м н ы ң өзі де ж алған . Дербес ж ағдай да «Квадратты ң бүры ш тары болмайды» деген салдар ж а л ға н . Ал ан ти тези с ж ал ған болғандыңтан, тезис ақи қат болуы керек. Ж асанды талдау бары сында мүндай дәлелдеу сенім дірек болады. Осыған байланысты терістіліктің қисындылығын көрсетуіне ңарай ңосалңы дәлелдеудің бірнеше түрін бөліп алуға болады. 1. Ф акт ілерге царам а-цайш ы салдар. А н ти тези стің ж алған екенін көп ж ағдайда ф актілер мен одан ш ы ғаты н салдарды ңарапайым салыстыру арқы лы көрсетуге болады. М ысалы, емделуш інің гриппен (түмаумен) ауырмайтынын корсету үш ін дәрігер былай түж ы ры м дайды . Егер расында да т ү м ау болса, онда а д а м н ы ң басы а у ы р а д ы , қ ы зу ы көтеріледі ж әне т.б. Мүндай ж ағдай лар ж оқ. Сондыңтан түмауды ң болмағаны. 2. Іиікі қарама-қайіиы салдар. Қ арам а-қай ш ы лы қты ң ло ги кал ы қ заңы бойынш а бір-біріне ңарам а-қарсы түжы - рымдарды ң біреуі ж алған . Сондықтан, егер қандай да бір ү й ға р ы м н ы ң сал д ар ы н ы ң ар асы н д а т ү ж ы р ы м тер іске ш ы гары лса, онда бірден бүл үйғары м ж алған деп айтуға болады. Осыған мысал ретінде ж ай сандар қатары ш ексіз деген Е в к л и д тің бел гіл і д әл ел д еу ін к е л тір у ге болады. Ж ай сандар — өзіне ж әне бірге бөлінетін бірден арты қ н а т у р а л с а н д а р . 1-ден ү л к е н б а р л ы қ б ү тін с а н д а р ғ а ж іктеліне алатын алғаш қы элементтер ж ай сандар болады. Бүдан ж ай сандар қатары 2; 3; 5; 7; 11; 13; ... ш ексіз деп 133 ү й ға р у ға болады . Осы тези сті д әл ел д еу ү ш ін ү й ғар ы м бүл емес деп алай ы қ. Егер ж ай сандар қатары ш ектелсе, он да со ң ғы ж а й сан А са н ы бар б о л ад ы . Е н д і к е л е с і жүктеу/скачать 5.94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|