Не термодинамика

(2) жəне (3) ықтималдықтарды салыстырсақ

f ( ²) f ( ²) f ( ²) 

f ( ²   ²   ²)

x y z

x y z

(4)

одан ƒ(²) функциясының түрiн анықтауға болады. (4)-шi теңдеудi ƒ(²) функциясының мынадай түрi қанағаттандырады:

f ( ^{2 3 })  A e ,
1 1 1


f ( ^{2 3 })  A e ,

f ( ^{2 3 })  A e
2 ² 2

x ^y z

x y z

cонда
f ( ²   ²   ²)  A e^{ (} 2 ^ 2 ^ 2 ⁾

x y z

x y z

Егер жылдамдықтың _x құраушысы - ^ тен ^ -ке дейiнгi мəндер қабылдайтын болса нормалау шарты

 ¹ 

 ²

x
 f ( ² ) d

 ^x

 A³  e



^x d_x  1

Бұл интеграл жинақталған болуы үшiн exp терiс мəнге ие болуы керек. Сондықтан

1

f ( ^{2 3 })  A e
2

x

^x жəне

1

f ( ²)  A e^ 2

(5)

^A3 тұрақтысын нормалау шартынан анықтаймыз:

1 ₁

A³ 



x
_{ e} ²





d_x

A 

, бұдан

Жылдамдықтың Ох осiне құраушысының орнына молекула жылдамдығының проекциясын кез келген ^l бағытында қарастыруға болады.

Сонда

e
f ( ² 

_e ²

z
(6)

Сурет 2. Максвелл үлестiруi.

I-жылдамдық құраушылары бойынша. II-

жылдамдық модулi бойынша

Бұл 1860 жылы қорытып шығарылған Максвеллдiң жылдамдықтар бойынша үлестiруi.

Максвелл үлестiруi 2-шi суретте көрсетiлген (I сызық). Бұл үлестiру тек идеал газдар үшiн ғана емес, кез келген классикалық статистикаға бағынатын бөлшектер үшiн де дұрыс болады.

(6)-шы өрнек молекуланың жылдамдық құраушысы

_e белгiлi бiр ℓ бағытында _e+d_e мəнiне ие болу ықтималдығын көрсетедi.

dw( )  A e^- 2  ² d   sin

0 0

d d  4

Ae^ 2  ² d
(7)

Молекуланың жылдамдығының модулiнiң үлестiру функциясы
f ()  4A ²e^ 2


(8)

А – тұрақтысының мəнiн пайдалансақ
f ()  4

 ²e

 ²

(9)

Бұл үлестiру де Масквелл үлестiруi болады, оның графигi 2-шi суретте II- сызықпен көрсетiлген.

(6) жəне (9)- шы өрнектер газдағы молекуланың қозғалысы жайында толық мағлұмат бередi. Тəжірибелік есептерде бiр молекуланың емес, _e жəне _е +d_е жылдамдық интервалында бiрнеше молекулалардың үлестiруi қарастырылады. Егер молекулалар саны N болса, онда

жылдамдықтары _e жəне _e +d_e аралығында болатын молекулалар саны:

dn() = n()d = Ndw() = Nƒ()d

6. 
   жəне (9) теңдеулерден ықтималдық dw()-ны алмастырсақ, жылдамдықтың құраушылары
   

үшiн

dn( )  N
^ _e ² _d 2

жылдамдық модулi үшiн:

e
dn()  N  4 



 ²

e
_e ² _d

(10)


(11)

Бөлшектер саны n() тек барлық бөлшектер санына нормаланады. ƒ() жəне n()

функцияларының арасындағы байланыс

_{f () } dn() _ n()

Nd N

§3. Максвеллдiң жылдамдық бойынша үлестiруiнiң абсолют температурамен байланысы

Өткен тақырыпта бiз əртүрлi жағдайдағы түрлi газдар үшiн - параметрi белгiсiз Максвелл үлестiруiн қарастырдық. Температура өскенде молекулалардың жылдамдығы артады, яғни үлестiруде жоғары жылдамдықтағы молекулалардың үлесi ұлғаяды. Жылдамдықтар үлестiруiндегi

2 m_z

(12)

бұл өрнектi күш импульсы арқылы жазсақ (қабырғаның молекулаға əсер ету күшi)
Ft  2 m_z

(13)

Уақыт бiрлiгi iшiнде қабырғаның молекулалармен соқтығысу нəтижесiнде алатын жалпы импульсi аудан бiрлiгiне түсiрiлген газдың P қысымы болады.

Бұл p қысымды молекулалардың əртүрлi _z жылдамдық пен қабырғаға түсiретiн - dp(_z)

қысымдарының қосындысы ретiнде қарастыруға болады.

dp(_z) қысымын есептеу үшiн жылдамдықтары _z жəне _z + d_z аралығында жатып, қабырғаның аудан бiрлiгiмен соқтығысатын молекулалар санын dn(_z) анықтау қажет. (сурет 3.)


z

z
Газдың 1см³ көлемiнде n₀ молекула болсын сонда 1см³ көлемдегi жылдамдықтары _z жəне _z+d_z аралығында жататын молекулалар саны

dn ₀

(_z

)  n₀

_e  ² _d
(14)

Сурет 3. Уақыт бiрлiгi iшiнде молекулалардың қабырғамен соқтығу- лар санын есептеу.

Уақыт бiрлiгiнде қабырғаның 1см² ауданымен соқтығысатын жылдамдығы _z молекулалар ауданы 1см²,

биiктiгi _z-тiң сан мəнiне тең болатын цилиндр iшiне орналасады

dn(_z

)  _z

• 
  dn₀ (_z
  

)  _z

• 
  n₀
  

^ _e ² _d


z
_ z
(15)

Бұл молекулалардың қабырғаға түсiретiн қысымы
dp(_z )  2m_z dn(_z )

(16)

толық қысым
P   dp   2m_zdn(_z )

Қабырғамен соқтығыстан молекулалардың жылдамдығы -0 ден + аралығында өзгеретiн жағдайды қарастырайық



P   2 m_z n₀

0

_e ² _d

 2mn₀



   ²

₀ z

 e^ 2 d

_ mn₀


z
2

z

z
(17)

z
Алынған нəтиженi идеал газдың бiр молi үшiн жазылған Клапейрон - Менделеев теңдеуiмен салыстырайық

бұдан
n  ^N0 ,

0 _V

R  kN₀ ,
мұнда ^N0

_{P } RT

V

- Авагадро саны, V-жүйенiң көлемi, R – универсал газ

тұрақтысы, k – Больцман тұрақтысы. Сонда
mn₀

2

_ kN₀T V

 kTn₀

бұдан Максвелл үлестiруiнiң - параметрi мен абсолют температураның арасындағы байланыс

  ^m

2kT

(18)

Максвелл үлестiруiне осы мəндi қойсақ

e
f ( ²) 

_ m ²

_e 2kT

(19)

немесе

f ()  4

 ² e

_ m ²

2kT


(20)

Əр түрлi температуралардағы Максвелл сызықтары 4,5-шi суреттерде келтiрiлген.
ƒ(_e ƒ()






⁰  ⁰ _e

Сурет 4. Температура өзгергенде жылдам-дықтар құраушысы бойынша Максвелл функциясының өзгеруi

Сурет 5. Жылдамдық модулiнiң үлестiруiнiң температура бойынша өзгерiсi

dw(p_x ) 

• 
  Px ²
  

_{ e} 2mkT _dpx

жəне

dw( p)  4



 p² e

_p 2

2mkT _dp

бұдан импульстiң құраушысы мен модулiнiң үлестiруi

_p 2

• 
  e
  

e
f (P² ) 

f ( p)  4

_{ e} 2mkTm



 p²  e

_p 2

2mkT _dp

m ²
(21)


(22)

Ендi (21)- шi теңдеудегi жылдамдық орнына кинетикалық энергия

E  жəне

2

dE  md енгiзсек

dw(E)  4

• 
  E
  

e ^kT dE

жəне энергия скаляр шама болғандықтан, энергияның Максвелл үлестiруi бiреу ғана болады.




f (E) 


(23)

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: