В. Н. Садовский и В. К. Финн Перевод с английского Д. Г. Лахути Общая редакция и вступительная статья

Логические связки языка L_e являются J-определимыми в смысле [29], т.е. формулы L_e выразимы через суперпозиции J-атомарных формул и логических связок. Формулу будем называть J-атомарной, если она имеет вид

Jp(T, =>,• Г₂), J,(T, =*,- Т₂) или J_f(Ti =»,- Г₂),

где Т\, TI — термы 1-го и 2-го сорта, соответственно, г = 1,2, a v — (z/,n), где i/ G {l,-l,0,r}, n G JV.

Если у? — формула логики высказываний, то J„(p и J^, J/y> определяются следующим образом:

если v[(p] — v j _ f £, если v[(p] = t если i/[(f>] ^ i/, *Ф ~~ \ /, если z/[^j = /,

i, если z/[
v[

Содержательно это можно пояснить следующим образом. J-формула языка L_e либо логически истинна, либо логически ложна, а ее подформулы, являющиеся квазиформулами, имеют истинностные значения одного из четырех типов: 1, -1, 0, т (типы фактических истинностных значений).

Для формализации правдоподобных выводов необходимо использовать некоторое расширение языка логики предикатов 1-го порядка [13], [30], [31]. Для этого строится язык L_e, содержащий L_e в качестве подъязыка.

При поиске эмпирических зависимостей требуется установить сходство или различие на конечном, но заранее неопределенном множестве подтверждающих или опровергающих гипотезу примеров. Число этих примеров &, следовательно, является переменной величиной (& мы называем параметром эмпирической индукции). Это обстоятельство требует расширить язык логики предикатов первого порядка посредством «формул переменной длины»⁵, содержащих кванторы по кортежам переменной длины. Для представления таких «кванторов переменной длины» можно ввести просто обычные

Таким образом, имеется три вида логических формул: формулы конечной и постоянной длины, формулы конечной, но переменной длины, и формулы бесконечной длины.

Эпистемология синтеза познавательных процедур 387

кванторы по натуральным числам и функциям, определенные на конечном начальном отрезке натурального ряда [30].

По сравнению с двузначной логикой в многозначных логиках изменяется понятие тавтологии. В связи с этим вводится понятие выделенного истинностного значения. Пусть Vd — множество выделенных истинностных значений многозначной логики, тогда формулу <р называют тавтологией, если для любой оценки i/, z/[y>] E V_d.

Имеется несколько различных, но естественных вариантов выбора Vd'.

где V; - {{i/,n)|n E N}, a i/ G {1,0, -1}.

Вариант cVd = {t}öVQ соответствует формализации теории конфликта. Вариант с Vd = {t} U V\ соответствует квазиаксиоматической теории (QAT) «позитивного действия», когда интересны лишь позитивные факты и гипотезы о позитивных фактах и их причинах, а вариант с Vd = {t} U V\ U V-\ соответствует QAT, в которой рассматриваются как позитивные факты и гипотезы об их причинах, так и негативные факты и гипотезы об их причинах. Этот случай выражает «симметричность» позитивных и негативных причин, а, следовательно, и «симметричность» фактической истины и фактической лжи, вынуждающими условиями которых являются (-f)-причины и (-)-причины, соответственно.

Случай с Vd — {t} U FI U F_ i U VQ соответствует QAT такой, что в ней принимаются в качестве интересных сведения об определенных фактах и гипотезах, невыделенными истинностными значениями являются истинностные значения из множества {/} U V_T, относящиеся к логически ложным и неопределенным высказываниям.

В [32] обсуждалась идея о том, что многозначные логики можно использовать как формализованные семантики⁶, если их истинностные значения (в том числе и выделенные) имеют осмысленную интерпретацию.

Рассматриваемые в настоящей статье бесконечнозначные логики имеют процедурную семантику — такую, что в ней истинностные значения порождаются посредством правил правдоподобного вывода (1-го и 2-го рода), упомянутых ранее в качестве средств JSM-рассуждений. Далее будут охарактеризованы эти правила, порождающие гипотезы как некоторые высказывания, имеющие истинностные значения, определенные этими правилами. В силу этого обстоятельства можно говорить о конструктивном порождении истинностных значений в процессе JSM-рассуждения.

Средствами языка L_e определяются предикаты M£_n(V, W, k) и M^n(V,W,fe), представляющие, соответственно, формализации сходства на позитивных примерах ((-h)-примерах) и на негативных примерах ((—)-примерах). Существование таких примеров обусловлено природой мира

Эта мысль принадлежит проф. Д. Л. Бочвару.

13*

388

Переменная V представляет сходство объектов, обладающих множеством свойств W (для (-h)-примеров), и сходство объектов, не обладающих множеством свойств W (для ( —)-примеров).

(±)-примеры мира W^ представляются элементарными формулами

J(\,n}(C =>i А) и J(_i₅„)(C =>i А), соответственно, где n G N. Если n = О,

^т° J(v$)(C =^i А) представляют факты из W^; если n > 0, то они представляют гипотезы, полученные посредством JSM-рассуждения, которое является средством автоматического порождения гипотез.

Предикаты M£_n(V, W,fc), где а Е {+,-}, выражают идеи индуктивного метода сходства Дж. С. Милля [18] и таблиц присутствия или отсутствия свойств вещей Ф. Бэкона [19]. Параметр k, где k G N, есть переменная, выражающая неизвестное число примеров изучаемого эффекта (в силу этого обстоятельства определяемые далее предикаты выражаются формулами переменной длины, т.е. формулами, содержащими переменное число сходных примеров).

Итак, M«£n(V, W, k), называемый предикатом простого положительного сходства, выражает следующие условия (1)-(5):

(1) Ma,n(V, W, k) выражает локальное сходство (+) -примеров J(i_)n)(#i=>i t/;), i = l,..., k, где k — переменная, k ^ 2.

(2) локальное сходство для рассматриваемой булевской структуры данных выражается посредством следующей подформулы переменной длины:

(Z_} П ... П Z_k) = V&V ± 0 .

(3) Подформула V (X = Z i) выражает условие исчерпываемое™ рас-

t=i

сматриваемых всех сходных (+)-примеров из мира W^\ содержащих под-объект V⁷.

(5) Подформула VU(j^^(X =>\ U) —* U C F) выражает условие максимальности множества сврйств Y, которыми обладает объект X.

Введем теперь, в качестве примера, формальное определение предиката положительного сходства, являющегося средством формального уточнения индуктивного метода сходства Дж. С. Милля [18]:

Это условие аналогично Дж. Маккарти—В. Лифшица.

понятию очерчивания в теории немонотонных рассуждений

Эпистемология синтеза познавательных процедур

389

n... nz_k = v)&v^0&

& V (X = 2

t=i

Отметим, что подформулы VWj((z ^ «/&! < *,j ^ Л) -> Z, ^ Zy) и fc ^ 2 выражают, соответственно, что все рассматриваемые (+)-примеры имеют различные объекты (#,-) и что минимальное число таких примеров равно 2 (последнее обстоятельство делает возможным применить операцию нахождения сходства объектов, а, следовательно, совершить познавательный акт).

Идея познающего субъекта уточняется посредством формализации класса правдоподобных рассуждений, которые являются средством приобретения нового знания. Класс правдоподобных рассуждений характеризуется правилами правдоподобного вывода и соответствующей организацией их применения.

Формализуемый класс правдоподобных рассуждений, соответствующих миру W^ (точнее — мирам типа W^), основан на применимости критерия достаточного основания (он соответствует эмпирическому принципу доверия А. С. Есенина-Вольпина [9], [10]) и формализуемости принципа фальсифицируемости К. Р. Поппера [6]. В силу этих принципов принятие гипотезы, являющейся результатом рассуждения, означает, что имеются аргументы, вынуждающие ее принять, и отсутствуют аргументы, вынуждающие ее отвергнуть. Аргументы, вынуждающие принять (+) -гипотезу, порождаются посредством предиката M£_n(V,W), a аргументы, вынуждающие отвергнуть (-h)-гипотезу (т.е. ее контраргументы), порождаются посредством предиката отрицательного сходства M_a~_n(V^r, W) [21]. Очевидно, что соответствующие сходства порождаются посредством сравнения ( — )-примеров.

Можно — аналогично определенному ранее предикату положительного сходства — сформулировать предикат отрицательного сходства, выражающий симметричность (it)-причин, используя замену (-f)-примеров в М^_П(У, W, k) на (-)-примеры. Однако имеет смысл внести в предикат отрицательного сходства Mä,n(V,W,k) некоторые изменения, отражающие специфику отрицательных причинно-следственных зависимостей, несимметричных с положительными. _

Предикаты M£„(V, W,k)(a G {+,-}), где k — параметр (k £ N), выражающий неопределенное (конечное) число сходных (±)-примеров, определяются посредством формул переменной длины в языке L_e.

390

С помощью предикатов (+)- и ( — )-сходства можно следующим образом корректно определить правила правдоподобного вывода (п. п. в.) 1-го рода 1И, где а = {+,-,0,т}:

~v„)(V=>₂WO,M+(l

(1^Н)-

(!<<)) )^J(^r>")'

(jO-))*^»)¹

Как мы уже говорили, в JS M-рассуждении правила 1-го рода порождают гипотезы вида Jfa_n+i)(V =»2 W), где i/ G {1, -1,0, т}. Эти утверждения являются гипотезами о предполагаемых (+)-причинах или (-)-причинах, если v - ±1. В случае, если г/ = 0, т J^_n+\)(V =>2 W) выражают утверждения о фактической противоречивости гипотезы или, соответственно, о ее неопределенности в следующем состоянии знаний о мире W^\ представленном на шаге п+ \.

Начальное состояние знаний о мире W^ состоит в задании множества фактов вида J^o) (С =>_{ А),где1/£ {1,-1Дт} (т. е. номер состояния W^ n = 0), и знаний вида J(_r?o)(C =>2 А), т.е. предположений о неопределенности наших сведений о причинах имеющихся в W^ фактов.

Правила 2-го рода, о которых идет речь ранее, реализуют предсказание, порождая гипотезы вида J^_n+\^(C =>\ А) для случаев неопределенности

в п-ом состоянии W^ (т.е. для посылок J(_T,_n)(C =h A)).

Существенно отметить, что эти правила являются правилами вывода по аналогии на основе полученного посредством правил 1-го рода гипотетического знания о (±) -причинах.

Правила вывода 2-го рода формулируются с помощью предикатов Щ(У,ИО,где(МЕ{+,-Дт}.

Предикат Un(V, W, k) содержит подформулы, выражающие условия

О)'-(З)':

(l)' объект V содержит позитивные причины Х\,...,Хь для множеств свойств Y\,..., Y_k, а множество свойств W покрывается множествами

у,,...,п.

(2V исчерпываются все включенные в V причины множества свойств W'.

(3)' V не содержит отрицательных причин Z для любого подмножества свойств U множества W.

Процесс JSM-рассуждения начинается с применения п. п. в. 1-го рода к начальному состоянию мира W^ SQ, результатом которого является мно-

Эпистемология синтеза познавательных процедур 391

жество гипотез Г], имеющих вид J(_Vj\)(C ^2 А), где v E {l, -1,0, r}. SQ есть множество всех фактов мира W^ вида J{_1?0)(Cj =ï\ Aj), J(-\$)(Ci =>\ AJ) где С,- E Л' и AJ С £/(²), и фактов вида J(_T,o)(Cj ^2 Aj). Ясно, что С; есть объекты из W^\ а Cj — их подобъекты.

So = Г₀ U АО, где Г₀ — множество всех фактов вида J{i/,o)(Q =h -A«)» а АО — множество всех фактов вида J(_r,o)(Cj =>2 Aj). SQ будем называть базисным знанием о мире W^.

Применение п. п. в. 1-го рода к SQ означает, что из посылок ^J(T,o)(Cj ^2 Aj), M_eyCj,Aj)ébM~₀(Cj,Aj) или из посылок J(_r,o)(Cj =>2 AJ), -^M+_Q(Cj,Aj)&M-fl(Cj,Aj), или из посылок J(_r,o)(Cj ^2 Aj), M+o(Cj, AJ)&M~Q(CJ, AJ), или из посылок J(_r,o)(Cj ^2 Aj), ^Af+₀(Cj, Aj)& -*M~Q(CJ,AJ), следует, соответственно, заключение J(\^(Cj =$2 Aj) или

J(-l,l)(Cj =>2 Aj), ИЛИ J(0,1)(C; ^>2 -Aj)' ^И ^(r,!)^' ^2 Aj).

Базисом JSM-рассуждения является применение п. п. в. 1-го рода к SQ и п. п. в. 2-го рода к S\, где S\ есть результат применения п. п. в. 1-го рода к SQ. Очевидно, что Si = Г₀ U А_ь где AI = (I⁽⁺⁾)[^o] U (I^)[5₀] U (K°))[So] U (I^)[^ol).

(I^))[5o] означает результат применения п. п. в. 1-го рода, где а Е {-h,-,0,т}, к начальному состоянию знаний о мире SQ (сокращенно: О-состоянию).

Сформулируем теперь рекурсивную процедуру, образующую первый этап JSM-рассуждения. Посредством 5_т будем обозначать m-состояние знаний о мире W^ (m - 0,1,...); посредством Г_т и А_т будем обозначать, соответственно, множества всех формул вида J(i/,_m)(C_t- =>i Ai), J(^_m)(Cj =>2 AJ), порожденные за т шагов, т.е. за m применений п.п.в. 1-го или 2-го рода, v E {!,-!,О,т}. (I) и (II) обозначают п.п.в. 1-го и 2-го рода, соответственно.

Применение п.п.в. 1-го рода к Г_г U A_; означает, что применяются H⁺)),(l(~)),(l(°)) и (1^). Аналогичное имеет место и для п.п.в. 2-го рода. Очевидно, что посылками (F) и (II^е7), где a E {-h,-,0,т} являются факты или гипотезы из I\ U Aj(J(„_)m)(C =>л А), где z/ E {l,-l,0,r}, h = 1,2. J(v,m}(C =>л А) является фактом, если m = 0, и гипотезой, если m > 0).

Таким образом, (1)[Г, U А_;] = (1⁽⁺⁾)[^г* ^{и A}jl ^и (^[Ъ ^и А?1 ^и

Аналогично: (II) [Г,- U Aj] = \J (IF) [Г^ U A_;].

<7

Первый этап JSM-рассуждения состоит в последовательном применении п.п.в. 1-го и 2-го рода, базисом которого является их применение к состояниям 5о и S]. При этом последовательно порождаются состояния

392

В. К. Финн

Легко понять, что в силу конечности 5о найдется n такое, что S_n+2 = 5„+з- Иначе говоря, наступит стабилизация итеративного процесса, что означает окончание первого этапа JS M-рассуждения — выдвижения гипотез. Вторым же этапом J S M-рассуждения будет ^принятие порожденных гипотез.

Пусть W^(±"> характеризуется следующими аксиомами каузальной полноты (АКП):

=*iY)

Y)&Z С X&Z ± 0))

Y)

Y)&Z С

Здесь (л) (номер шага «бесконечность») вводится из формальных соображений для удобства определения кванторов на бесконечных областях, a {z/, ш) обозначают «предельные истинностные значения», v G {l, -1,0, r}.

(АКТ!/*' принадлежат квазиаксиоматической теории (КАТ), соответствующей W^.

Мир W^ такой, что в нем всегда выполняются (АКП/ , будем называть