Аксиоматический метод
жүктеу/скачать 111 Kb.
|
|
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД 1. Аксиоматический метод в математике. 2. Пример аксиоматизации. 3. Общие понятия, связанные с аксиоматическим методом в математике. 4. Формальные аксиоматические теории. 5. Аксиоматика и математические конструкции. 1. Аксиоматический метод в математике. Поскольку математика изучает формы и отношения, отвлекаясь от их содержания, все математические доказательства проводятся путем логического рассуждения. Но если теорема А выводится из теоремы В, а теорема В — из теоремы Сит. д., то получается «бесконечное возвращение назад». Такая же ситуация возникает при попытке давать определения новым понятиям, основываясь на ранее введенных понятиях. Чтобы избежать такого «бесконечного возвращения назад», применяют следующий метод: некоторые понятия и связывающие их отношения считают неопределяемыми, исходными, а все дальнейшие понятия и их свойства выводят из исходных путем точных определений и логических рассуждений. Подобный стиль построения научных дисциплин получил название аксиоматического метода. Как уже говорилось выше, первой дошедшей до нас попыткой такого изложения математической дисциплины была книга Евклида «Начала». В настоящее время аксиоматический метод стал одним из основных при построении математических моделей действительности. Как пишут наиболее верные приверженцы этого метода — группа авторов Н. Бурбаки, «аксиоматический метод берет за точку опоры убеждение в том, что если математика не является нанизыванием силлогизмов в направлении, избранном наугад, то она тем более не является более или менее хитрым искусством, состоящим из произвольных сближений, в котором господствует одна техническая ловкость. Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению «неожиданной помощи», которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию». Далее они пишут: «В доказательствах какой-либо теории аксиоматика стремится разъединить главные пружины фигурирующих там рассуждений; затем, беря каждое из соответствующих положений изолированно и возводя его в общий принцип, она выводит из них следствия; наконец, возвращаясь к изученной теории, она снова комбинирует предварительно выделенные составные элементы и изучает, как они взаимодействуют между собой», [14]. Такой метод приводит к тому, что свойства и отношения, казавшиеся совершенно различными, оказываются лишь различными формами одних и тех же свойств и отношений, имеющих место в абстрактной системе, воплощениями которой являются данные конкретные системы. Это позволяет получать из каждой теоремы о соответствующей абстрактной системе ряд теорем, касающихся различных моделей этой системы. жүктеу/скачать 111 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|