Ф со пгу 18. 2/06 Қазақстан Республикасының Ғылым және Білім министрлігі

1. Салмағы бар схемалар жиынын құрастыру;

2. Шекаралық шартты тексеру әдісі арқылы берілген есепті шешу;

3. Сұлбалардың байланыстарын табу.

Мысал 4.1.

Теңдеуді шешу

Алдындағыдай тікбұрышында торын қараймыз.

Осы торда жоғарыда қарастырылған

орталық-айырымдылық сұлба бойынша ішкі түйіндерде дифференциалды есепті жуықтатамыз.

Шекаралық шарттарды бағытталған айырымдылықтар арқылы бірінші рет көмегімен жуықтатамыз:

Нәтижесінде САТЖ алынды, N₁+1)(N₂+1)-4 теңдеуі бар

Ескерту. Пауссон (Лаппас) теңдеуін жуықтатуда пайда болатын САТЖ-ін шешуге арналған қарапайым итерация әдісі өте баяу жинақтылығымен ерекшеленеді. Бұл кемшілік жүйедегі теңдеу саны үлкейген кезде ұсақ торларды пайдаланғанда елеулі бола алады.

1. Айқындалмаған сұлба бойынша бірөлшемді толқынды теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

2. Айқындалмаған сұлба бойынша жылуөткізгішті бірөлшемді теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

3. Айқындалған сұлба бойынша жылуөткізгішті бірөлшемді теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

Есепті белгісіздік жағдайында қарастыру.Белгісіздік стахостикалық болды. Математикалық моделді құрамыз. Бұл математикалық модель аналитикалық болып табылады. Қарастырылып жатқан есептерде қарастырылатын процестердің марковский болуы талап етілді. Тәжірибе жүзінде бұл үнемі орындала бермейді.

Аналитикалық моделдер қоланыла алынбайтын жағдайда статистикалық моделдерді жасайды. Статистикалық моделдеу әдісін қарастырады.

Статистикалық моделдерді имитационды деп атауға болады. Олар кездейсоқ процесті ДК арқылы моделдейді.

Монте-Карло әдісі статистикалық моделдеу әдісі болып табылады.

Монте-Карло әдісі- бұл кездейсоқ шамаларды моделдеу арқылы сандық есептерді шешу әдісі.

Монте-Карло әдісінің шығуы

Монте-карло әдісінің туылған күні болып 1948 жыл есептеледі, оны шағарушылары деп Дж. Нейман және С. Улам математиктерді есептейді.

Әдістің теориялық негізі ертеден белгілі. Бірақ-та ЭЕМ пайда болғанға дейін бұл әдіс кең пайдаланған жоқ.

Әдістің атауы өзінің ойын үйлерімен атақты Монако княждығындағы Монте-Карло қаласының атауынан шыққан. Кездейсоқ шамаларды алудың қарапайым механикалық аспаптарының бірі рулетка болып табылады. «Монте-Карло әдісі рулетка ойынында жеңіске жетуге көмектесе ме?» деген сұрақ туындайды. Жоқ, көмектеспейді. Және онымен айналыспайды да.

Әдістің идеясы

Әдістің идеясы өте қарапайым және келесіден тұрады.

Процесті аналитикалық аппарат арқылы суреттеудің орнына өзінің құрамы кездейсоқтық пен кездейсоқ нәтижеден тұратын арнайы ұйымдастырылған процедура көмегімен кездейсоқ құбылыстың ұтысы өткізіледі. Кездейсоқ процесті жүзеге асыру әр кезде әртүрлі болады, яғни қарастырылып отырған процестің әртүрлі нәтижелерін аламыз. Бұл көптеген жүзеге асыруларды математикалық статистиканың қарапайым әдістерімен өңделіне алатын жасанды түрде алынған статистикалық материал ретінде пайдалануға болады. Мұндай өңдеуден кейін жағдайдың ықтималдығын, математикалық күту, т.б. алуға болады.

Монте-Карло әдісі кез келген ықтималды есеп шығарыла алады, бірақ ол аналитикалық есептен қиын болмай, процедура қарапайым түрде ойнатылған кезде ғана ақталынған болып есептелінеді..

Мысалы

Нысана бойынша 3 белгісіз оқ атылады, олардың 1/2 ықтималмен нысанаға тиеді. Тым болмағанда бір оқ тиюдің ықтималдығын табу қажет.

Р(k >= 1) = P(1)+P(2)+P(3) = 1-P(k < 1)

P(0) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8

P(k >= 1) = 1-1/8 = 7/8

Бұл есепті ойын арқылы – статистикалық моделдеу арқылы шешуге болады. Үш атудың орнына 3 тиын лақтырамыз, герб – нысанаға тию деп, решка – нысанаға тимеу деп есептейміз. Тәжірибе егер тиынның біреуі гербке түссе, сәтті деп саналады. Көптеген тәжірибе жасап, сәтті жағдайдың ортақ санын есептеп, N (өткізілген тәжірибе саны)- санына бөлеміз. Осылайша, олар жағдайдың жиілігін алды, ал ол тәжірибенің көп санында ықтималдыққа жақын.

Монте-Карле әдісі көптеген кездейсоқ факторлар болатын кездейсоқ процестерді моделдеу кезінде пайдаланылады.

Келесі заң бойынша бөлінген кездейсоқ шама таңдалынады:

Диск (рулетка) орнатылады. Диск айналады және кенеттен тоқтайды және қозғалмайтын тіл көрсеткенсан таңдалынады.

Сандар реті 20389320...

Кездейсоқ сандардың кестесі жасалынады, олардың белгілі сандары таңдалынады (400).Кездейсоқ сандардың жақсы кестесін құру оңай емес: кез келген шынайы физикалық аспап шынайы бөлуден біршама өзегешеленетін бөлінуі бар кездейсоқ шамаларды жасап шығарады.

Кездейсоқ сандардың генераторы

Кез келегн механикалық аспап ЭЕМ үшін тым ақырын болады. Сондықтан кездейсоқ сандардың генераторы ретінде электронды шамдардағы (сур. 8) шу жиі қолданылады: егер кейбір уақыт аралығында шу деңгейі жұп санының берілген босағасынан асып кетсе, онда бірлік жазылады*).

Бір қарағанда бұл өте қолайлы тәсіл. Мұндай генераторлардың m параллелді жұмыс жасасын, үнемі жұмыс жасап, кездейсоқ нөлдер мен бірліктерді арнайы ұяшықтардың барлық екілік разрядтарына жіберіп отырсын. Әрбір такт – бір m разрядты сан. Есептеудің кез келген сәтінде осы ұяшыққа жүгініп, интервалға бірқалыпты бөлінген кездейсоқ шаманың мәнін алуға болады (0,1) . Әрине, бұл мән m- разрядт екілік бөлшек түрінде жазылған жуықтатылған мән.


0,а1,а2,...аm, мұнда шаманың әрқайсысы ai

бөлінген кездейсоқ шаманы жасайды.

Әйтсе де, бұл әдіс те жетіспеушіліктен бос емес. Біріншіден, шығарылатын сандардың «сапасын» тексеру қиын. Тексерулерді мерзімді жүргізіп тұру қажет, өйткені қандай да болмасын ақаулардан бөліну дрейфі пайда болуы мүмкін ( яғни, нөлдер мен бірліктер қандай да болмасын разрядтарда бірдей жиі пайда бола бермейді). Екіншіден, әдетте ЭЕМ есептеулер кездейсоқ жаңылысуды болдырмау үшін екі рет өткізіледі. Бірақ егер сол кездейсоқ сандарды есептеу барысында сақтап отырмаса, қалпына келтіруге болмайды. Ал оларды сақтап отырсақ, біз кестелер жағдайына қайта келеміз.

Осындай типті бергіш, сөзсіз, Монте-Карло әдісімен есептерді шешуге арналған арнайы ЭЕМ шығарылған кезде пайдалы болады. Ал кездейсоқ сандар көмегіменесептеулер сирек жүргізілетін әмбебап ЭЕМ үшін арнайы құрылғыны ұстау және пайдалану экономды емес. Псевдокездейсоқ сандарды пайдаланған жақсы.

Тапсырма:

1. Монте-карло әдісінің мәнісі.

2. Әдістің компьютерлік жүзеге асырылуы.

5. Әдебиеттер тізімі

Негізгі:

1 .Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.Э. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. Том 1, изд. 2-е, стереотипное, М.,1975.

4. Ермаков СМ., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. Изд. 2-е. М.: Наука, 1982.

5. Соболь И.М.. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

6. Соболь И.М.. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

8. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.:Наука, 1989.

9. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука. 1986.

10. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 1. М.: Наука, 1976, Т. 2. М.: Наука, 1977.

11.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

12.Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы, введение в теорию. М: Наука, 1977.

13. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М., 1980 – 520 с. с илл.

14. Габассов Р. Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. – Минск: Наука и техника, 1974.

15. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. – Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1977

1.Шакенов К.К. Методы Монте-Карло и их приложения. Алматы: КазГУ,1993.

2. Дробышевич В.И., Дымников В.П., Ривин Г.С. Задачи по вычислительной математике. М.: Наука, 1980.

3.Копченова Н.В., Марон И.А., Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972.

4.Черкасова М.П. Сборник задач по численным методам. Минск: Высшая школа, 1967.

5.ВазовВ., Дж.Форсайт. Разностные методы решения дифференциальных

уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.

6.Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных

систем уравнений со многими неизвестными. М.: Наука, 1975.

7.Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981.

8.Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир, 1983.

9.Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. Л.: ЛГУ, 1988.