Динамическая иерархичность (эмерджентность)

Этот принцип описывает возникновение нового качества системы по горизонтали, то есть на одном уровне, когда медленное изменение управляющих параметров мегауровня приводит к бифуркации, неустойчивости системы на макро­уровне и перестройке его структуры. Все знают метаморфозы воды (пар–жидкость–лед), происходящие при строго определенных темпе­ратурах фазовых переходов, бифуркационных температурах – критиче­ских значениях управляющих параметров. Качественно опи­сания взаимодействия мега- и макроуровней привычны, но и необъяс­нимы. Лишь во второй половине XX века осмыслили необходимость включения в описание третьего – микроуровня. И с по­мощью языка уже трех (мега-, макро- и микро-) уровней удалось описать процесс исчезновения старых и рождения новых состояний в точке бифуркации, где коллективные переменные, параметры порядка мак­роуровня возвращают свои степени свободы в хаос микроуровня, раство­ряясь в нем и увеличивая его хаотизацию. И только потом, в непосредственном про­цессе взаимодействия мега- и микроуровней, рождаются новые параметры порядка обновленного макроуровня.

Аналогичный взгляд на становление существовал в культуре всегда. Он представлялся, в современных терминах, креативной деятельностной триадой: Способ действия + Предмет действия = Результат действия, и закреплен в самих грамматических структурах языка; в корнях двуполой асимметрии человека как биологиче­ского вида; в образах божественного семейства древних религий.

В синергетике креативная триада представлена как процесс самоорга­низации, рождения параметров порядка, структур из хаоса микроуровня: «управляющие сверхмедленные параметры верхнего мегауровня» + «короткоживущие переменные низшего микроуровня» = «параметры порядка, структурообразующие долгоживущие кол­лективные переменные нового макроуровня».

Мгновение между прошлым и будущим – точка бифуркации на ме-гауровне, на макро и микроуровне является целой кризисной эпохой пере­мен-трансформаций. Именно здесь происходит выбор, точнее, эволюцион­ный отбор альтернатив развития макроуровня, которому уделяется особое внимание в теории динамического хаоса.

Описанный В.Г. Будановым процесс есть самоорганизация в режиме становления, и он отличается от самоорганизации в режиме бытия, то есть от процессов поддержания гомеостаза стабильной диссипативной структуры. Таким образом, явление самоорганизации прин­ципиально по-разному проявляется в фазах бытия и становления.

С другой стороны, проблема интерпретации – это распо­знавание образов. Грубо говоря, мы видим и слышим в первую очередь то, что хо­тим воспринять. Вспомните игру фантазии при разглядывании причудливых форм облаков, при испытаниях на креативность с помощью тестов Роршаха. Наука – это тоже игра. Люди всегда приводят аргу­менты и объяснения из набора актуальных парадигм, которым следуют, и опираются на авторитеты, которым верят.

Наблюдаемость понимается В.Г. Будановым как открытый комплекс­ный эпистемологический принцип, включение которого делает систему принци­пов синергетики открытой к пополнению философско-методологическими и системными интерпретациями. Вместе с шестью другими принципами синергетики он позволяет замкнуть герменевтический круг постнеклассического познания сложной реальности и корректно поставить дальнейшие во­просы понимания, описания, интерпретации.

Синергетика изучает в основном два типа структур: диссипативные и эволюционные. Ранее уже шла речь о так называемых диссипативных структурах, возникающих в процессах самоорганизации, для осуществления которых необходим рассеивающий (диссипативный) фактор. Диссипативные структуры как бы «живут» (в системном смысле) за счет использования отторгнутой энергии внешней среды для собственных нужд.

Другой тип структур – эволюционирующие (нестационарные структуры), возникают за счет активности нелинейных источников энергии. Здесь структура – это локализованный в определенных участках среды процесс, имеющий определенную геометрическую форму и способный развиваться, трансформироваться или же переноситься в среде с сохранением формы. Подобные структуры изучаются российской синергети-ческой школой. Фактически оба типа структур являются различными этапами развития процессов в открытых нелинейных средах.

При исследованиях сложных нелинейных систем можно выделить два различных подхода в зависимости от того, на что в первую очередь направлено внимание исследователя: на возможные сценарии прохождения точки бифуркации без детализации хаотического поведения в этот момент или непосредственно на поведение системы в хаосе (позиции «метанаблюдателя» и «наблюдателя»). Первый подход строится на модели структурно- устойчивой системы с единственной кризисной точкой – точкой бифуркации, практически всегда находящейся в состоянии гомеостаза. Это взгляд наблюдателя извне. В арсенале синергетических методов такая ситуация описывается с помощью теории катастроф.

В другом случае – это взгляд на процесс самоорганизации изнутри, когда наблюдатель включен в систему и его наблюдение за нестабильной системой, диалог с ней вносят неконтролируемые возмущения. Соответствующий аппарат развивается на базе теории динамического, или детерминированного хаоса.

Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию многих явлений. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе.

Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью – ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления. Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям.

Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной его зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям. Эти ошибки могут возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях.

Дополнительные неточности в результат исследований и расчетов могут вносить самые на первый взгляд, незаметные факторы воздействия на систему, которые появляются в период ее существования с начального момента до появления фактического и окончательного результата. При этом факторы воздействия могут быть как экзогенные (внешние), так и эндогенные (внутренние).

Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем – будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные, в том числе, незнанием всех факторов и условий. Малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия.

Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса – эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости.

Отсюда еще один важный вывод теории хаоса – достоверность прогнозов со временем быстро падает.

Часто говорят, что хаос является высокой формой порядка, однако, более правильно считать хаос другой формой порядка. В любой динамической системе неизбежно за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если определить хаос как беспорядок, то в таком беспорядке действительно обнаружится особенная форма порядка.

В целом теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем.

Понятие хаоса относится к так называемой теории динамических систем. Динамическая система в этой теории характеризуется: состоянием (существенной информацией о системе) и динамикой (правилами, описывающими эволюцию системы во времени).

Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине ХХ века, благодаря работам Э. Лоренца из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта.

Основные понятия в теории хаоса – аттракторы и фракталы.

. Фрактальные структуры выглядят одинаково в разных пространственных масштабах, и по виду отдельного фрагмента можно сделать заключение о строении всего объекта. Однако этим свойством обладают многие обычные структуры, поэтому для фракталов принципиальным является вторая особенность: изменение их характеристик (масса, плотность, площадь поверхности, модуль упругости и т.д.) с изменением размера фрактального объекта или пространственного масштаба, в котором этот объект рассматривают, имеет степенную зависимость, а показатель степени, большей частью – дробное число. Иными словами, для таких объектов ряд соотношений, установленных для привычных одно-, дву- или трехмерных систем, сохраняется в предположении, что их геометрическая размерность не является целым числом.

Странные математические объекты – «математические монстры» — привлекли внимание ученых уже в позапрошлом веке. В 1883 году Г. Кантор описал множество, которое теперь называют множество Кантора или пыль Кантора.

Рассмотрим отрезок единичной длины. Разделим его на три части и удалим из него открытую среднюю треть, оставив ее концевые точки. Получим два отрезка длиной по 1/3 каждый. Удалим среднюю треть из каждого отрезка и будем повторять эту процедуру с вновь получен­ными отрезками до бесконечности (рисунок 14). Полученное в бесконечном пределе множество называется множеством Кантора и обладает рядом необычных свойств. Это множество имеет мощность континуума, в то же самое время его мера равна нулю. Каждый из фрагментов множества Кантора выглядит, как все множество в целом. Говорят, что множество Кантора самоподобно.

Рисунок 14 - Этапы построения множества Кантора

В 1904 году Ф.-Х. фон Кох рассмотрел необычную кривую. Часто ее приводят в курсе математического анализа как пример непрерывной, но недиф­ференцируемой кривой. Рассмотрим отрезок единичной длины. Удалим из него среднюю треть и дополним двумя отрезками длиной 1/3. Отрезок превратился в ломанную из 4 звеньев. Применим ту же самую операцию к каждому из отрезков ломанной. Будем повторять эту процедуру бесконеч­ное число раз (рисунок 15). Можно построить снежинку или остров Кох, используя в качестве начального объекта, равносторонний треугольник. Легко понять, что такая снежинка или остров будут иметь бесконечный периметр, но ограниченную конечную площадь.

В 1915 году В. Серпинский (Серпиньский) придумал несколько ин­тересных конструкций, названных в последствии его именем. Прокладка или салфетка Серпинского получается из равностороннего треугольника.

Проведем в треугольнике средние линии и удалим ограниченную ими центральную часть треугольника. Повторим процедуру по отношению к каждому из полученных треугольников и так до бесконечности (рисунок 16). Подобным же образом можно получить ковер Серпинского, используя в качестве исходного объекта квадрат. Можно построить и трехмерные ана­логи этих объектов. Их часто называют губками.

Рисунок 15 – Этапы построения кривой Кох

Рисунок 16 – Этапы построения прокладки Серпинского

Рисунок 18 – Множество Мандельброта

Множество физических объектов, как выяснилось в недавнем про­шлом, имеет фракталоподобную структуру. Однако в отличие от математических (регулярных) фракталов большинство физических – так называемые нерегулярные фракталы. Первые – плод воображения – на каждом этапе масштабиро­вания в точности повторяют объект в целом. Нерегулярные фракталы – продукт природы или деятельности человека. На каждом уровне мас­штаба структура фрактала подобна, но не идентична объекту в целом. Понятно, что в отличие от математических у естественных фракталов подобие сохраняется в широком, но конечном диапазоне масштабов.

Типичные природные фракталы – деревья, реки, облака, береговая линия.

Фракталами являются дендриты (от греч. дендрон – дерево). Дендритоподобные структуры возникают в различных областях физики, напри­мер, при кристаллизации металлов. Дендритоподобную структуру имеет обыкновенная снежинка.

К фрактальным структурам можно отнести также так называемые аэрогели – твердые тела, состоящие из связанных между собой мик­рочастиц, составляющих жесткий каркас, который занимает лишь малую часть общего объема. Особенность аэрогелей – огромный размер внут­ренних пор и различная их величина, перекликается с одним из опреде­лений фрактала: фрактал – это объект, имеющий в себе пустоты любого раз­мера.

Размерность самоподобия можно проследить на ряде примеров.

Если разделить единичный отрезок на N равных частей длиной

Найдем размерность самоподобия множества Кантора. Чтобы постро­ить множество Кантора единичной длины нужно взять 2 множества дли­ной 1/3, следовательно

Чтобы найти размерность самоподобия салфетки Серпинского заме­тим, что одна салфетка состоит из 3 салфеток с размером стороны 1/2. Тогда

то есть прокладка Серпинского занимает промежуточное положение меж­ду линией и фигурой.

В случае кривой Кох требуется 4 кривых длиной 1/3, чтобы соста­вить исходную кривую, таким образом, размерность самоподобия равна

.
Все рассмотренные выше самоподобные объекты имели дробную раз­мерность. Однако дробность не является общим свойством всех самоподобных объек­тов. В 1890 году Д. Пеано построил непрерывную функцию, отображающую отрезок на квадрат. График этой функции – линия, це­ликом заполняющая квадрат, называется кривой Пеано. Ее размер­ность– 2.

Логика существования нецелых измерений очень простая. Так, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, трехмерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения. Вот для измерения таких неправильных, фрактальных фигур и было введено понятие фрактальное измерение. Пример: скомкайте лист бумаги в комок. С точки зрения классической Евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше двух, но меньше трех. Это плохо укладывается в Евклидову геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая станет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2,5, то есть иметь фрактальную размерность около 2,5.

Использование представлений о фракталах позволило значительно повысить уровень понимания как структурной организации различных физико-химических систем, так и закономерностей протекания в них разнообразных процессов. Одновременно с этим были пересмотрены многие установленные ранее закономерности изменения физико-химических параметров в зависимости от изменения их пространственно-временных характеристик.

Новый взгляд на структурную организацию привычных объектов стимулировал постановку оригинальных экспериментов, а также развитие принципиально новых теоретических моделей. Это вызвало широкий поток исследований, направленных на поиск, создание и изучение структур с фрактальными свойствами.

Объектами фрактальной геометрии естественно являются и нерегулярные фракталы, алгоритмы построения которых не очевидны, и рандомизированные фракталы с вероятностными механизмами формирования. Например, броуновский случайный процесс – это фрактальное множество, но физически наблюдаемое броуновское движение – это природный фрактал. У естественных фракталов обычно наблюдается статистическое самоподобие при изменении масштаба или подобие в топологическом смысле. Введены в обиход также самоаффинные фракталы. Это более широкий класс объектов. При этом в ходе построения сжатие фрагментов, в общем, не одинаково в различных направлениях. В частности, меняются углы, и увидеть фрактальность непросто. Отличаются здесь и размерности, полученные различными способами. Известны мультифракталы с целым набором размерностей. С помощью современных методов физических исследований эта классификация непрерывно расширяется, открываются новые природные фракталы и развивается техника их анализа. Можно сказать, что фрактал связан с хаосом как результат с процессом.

Масштабная инвариантность фрактала не позволяет измерить его и локализовать в пространстве. Какую бы малую окрестность точки мы не взяли, в ней есть копия всего фрактала, точнее, в ней бесконечно много копий. Образно говоря, как бы старательно не затачивался карандаш для обозначения начальной точки на идеально фрактальной области, динамика дальнейшего развития может оказаться любой из принципиально возможных во всей этой области, а тонкая структура фрактала может быть следствием и причиной сложного хаотического поведения.

Очевидно, что в случае реальных тел число инвариантных объектов не мо­жет быть бесконечным: оно ограничено сверху его размерами, а снизу — размерами молекул, атомов или час­тиц. Таким образом, фракталов в ис­тинном смысле этого слова, в природе не существует, но зато известно огром­ное число объектов, представляющих собой незавершенные фракталы и по­этому характеризующихся самоподоби­ем в достаточно широком интервале масштабов. И если характерный масштаб некоторого воздействия на такие приближенно фрактальные объек­ты попадает в интервал масштабов, в котором система самоподобна, то ее отклик на это воздействие будет точно таким же, как от аналогичного матема­тического фрактала.

Теория фракталов дает математический аппарат для описания сложных самоподобных структур. На­пример, чтобы исчерпывающе описать снежинку в рамках традиционной Евк­лидовой геометрии, необходимо задать координаты каждой ее точки в про­странстве. Из-за этого число уравне­ний, которые необходимо решить, что­бы рассчитать поведение снежинки в каком-либо физическом процессе, ока­зывается настолько большим, что за­дача окажется непосильной даже супер­современному компьютеру. Вместе с тем для описания снежинки с помощью фрактальной геометрии требуется за­дать всего лишь три параметра – ее фрактальную размерность, размер пер­вичного блока и линейный размер сне­жинки в целом, — в результате чего ее поведение становится вполне предска­зуемым.

На первый взгляд может показаться, что никакого отношения к химии фракталы не имеют: действи­тельно, химия занимается превраще­ниями молекул, которые редко име­ют фрактальное строение. Однако оказывается, что практически любая достаточно крупная химическая час­тица (полимерная молекула, дисперсный агрегат и т.п.) обладает фрак­тальным строением.

Очень важными для понимания фрактальных структур являются представления о самом механизме их формирования. Для его опи­сания удобно исполь­зовать компьютерное моделирование, позволяющее легко задать и наглядно интерпретировать динамику процесса.

Каким образом можно описать рост фрактального агрегата? Очевидно, что первичные частицы-«мономеры» совершают случайные блуждания в пространстве и слипают­ся при столкновениях. Одна из первых компьютерных моделей такой агрега­ции была реализована Т. Виттеном и Л. Сандером в 1981 году. Она относи­тельно проста: в центре экрана мони­тора фиксируется точка – зародыш будущего агрегата; затем на краю эк­рана возникает мономер, который со­вершает случайные блуждания до тех пор, пока не окажется по соседству с зародышем. В этом случае мономер прилипает к зародышу, образуя клас­тер, а с края экрана начинает блужда­ния следующий мономер. Характерной особеннос­тью полученного кластера как раз и служит самоподобие: глядя на фраг­мент кластера, невозможно определить масштаб – его самая маленькая веточ­ка выглядит точно так же, как и самая большая. Разумеется, если повторить весь процесс сначала, получившийся кластер будет внешне несколько отли­чаться от предыдущего; однако все та­кие кластеры обладают уникальным общим свойством — одинаковой фрак­тальной размерностью, равной 1,71. От­метим, что в данном случае рассмат­ривается агрегация в двухмерном Евк­лидовом пространстве; фрактальная размерность частиц, выросших по мо­дели Виттена–Сандера в трехмерном пространстве, равна 2,50.

С кинетической точки зрения лими­тирующей стадией модели Виттена–Сандера служит диффузия мономеров, поскольку частица прилипает к класте­ру при каждом столкновении (то есть скорость слипания заметно превыша­ет скорость диффузии). Поэтому в ли­тературе эту модель часто называют моделью DLA (аббревиатура от англий­ского diffusion limited aggregation), а в русскоязычной литературе встречается термин ОДА (ограниченная диффузией агрегация).

Диффузионно-контролируемый рост агрега­тов, как видно, рассматривается как детерминистический процесс движения межфазного фронта за счет диффузионного осаждения частиц. Аналитический расчет роста кластера сводится к решению уравнения Лапласа с соответствующими граничными условиями. Отме­тим, что аналогичными уравнениями описываются процессы электрохимического осаждения, движения вязкой жидкости в пористых средах и пробой диэлектриков. Численное решение полученных уравнений показывает, что движение фронта сопровождается развитием возмущений на первона­чально гладкой поверхности. Это приводит к формированию дендритной структуры.

Если же необходимо про­анализировать процессы, кинетика ко­торых определяется химическим взаи­модействием, то предполагают, что ве­роятность прилипания мономера к кла­стеру при столкновении не равна еди­нице. Эта группа моделей получила сокращенное обозначение RLA (reaction limited aggregation) – агрегация, лимитируемая реакцией. Очевидно, что если частицы слипаются лишь после не­скольких столкновений, мономер име­ет возможность проникнуть более глу­боко внутрь кластера и поэтому фор­мирующиеся агрегаты должны быть более плотными, чем в случае модели Виттена-Сандера.

Обращает на себя внимание тот факт, что во всех этих моделях никак не рас­сматривается возможное взаимодей­ствие кластеров между собой. Учет пос­леднего возможен в рамках так назы­ваемого «кластер-кластерного» меха­низма роста. Эта модель строится так: первоначально экран как бы засеива­ется мономерами (это весьма удобно, так как позволяет варьировать концентрацию исходных частиц), кото­рые затем совершают случайные блуждания и слипаются друг с другом при столкновениях (воз­можно, с некоторой вероятнос­тью, меньшей единицы). Обра­зующиеся при этом агрегаты продолжают случайные блужда­ния и также могут прилипать при столкновениях как к другим аг­регатам, так и к мономерам. Аг­регаты, растущие по кластер-кластерному механизму, получа­ются более рыхлыми, чем их аналоги, выращенные по моделям «моно­мер – кластер», потому что реагирую­щими частицами могут служить сами аг­регаты, плотность которых заведомо меньше плотности исходных мономе­ров. Результаты компьютерного моде­лирования по различным моделям ро­ста изображены на рисунке 19.

В чем заключается причина того, что при компьютерном моделировании об­разуются фрактальные агрегаты и поче­му рост протуберанцев преобладает над образованием ровной поверхнос­ти? Наглядный ответ на эти вопросы представлен на рисунке 20. Представим себе ровную поверхность, на которую на­правлен поток случайно блуждающих частиц, прилипающих к ней при столк­новении. Если поверхность идеально гладкая, а частицы бесконечно малы, то и растущий фронт останется ровным. Однако лишь только возникнет неболь­шой дефект структуры за счет присое­динения хотя бы одной частицы, имею­щей конечный размер, как вероятность прилипания в этом месте следующих частиц станет существенно больше, чем к остальной поверхности. Это является следствием того, что к гладкой поверхности могут прилипать только частицы, двигающи­еся по направлению к ней (рисунок 20 а), в то время как с выступом могут сталки­ваться еще и частицы, двигающиеся вдоль поверхности, а иногда и от нее (рисунок 20 б).

моделировании процессов агрегации по различным алгоритмам

Компьютерные модели роста частиц выглядят весьма разумными, однако, их соответствие действительности всегда требует проверки реальным экспери­ментом. Но, по меньшей мере, качественное согласие результатов компьютерного моделирования с экс­периментом вполне очевидно.

Таким образом, основное противоречие, которое стремится разрешить синер­гетика, задается оппозицией порядок-хаос. Абсолютный порядок и абсолютный беспорядок одинаково гро­зят гибелью. Выходит, что при всем стремлении к упорядоче­нию какая-то доля хаоса для жизни необходима. И синергетика как раз раскрывает, восстанавливает эту позитивную роль хаоса. Спокойные периоды сменяются напряженными крити-ческими состояниями, когда решается, ка­ким будет дальнейший путь. В такие моменты определяющую роль играет не порядок, а хаос. И без этой неупорядоченной, некон­тролируемой, случайной компоненты были бы невозможны каче­ственные изменения, переходы в существенно новые состояния.