Iv акселерометры глава IV акселерометры осевой акселерометр прямого преобразования

4.1. Осевой акселерометр прямого преобразования

4.1.1. Уравнения движения чувствительного элемента

С помощью анизотропного травления формируется симметричная лунка с наклоном граней 54°44', ориентированных в семействе четырех плоскостей (111). Собственно чувствительным элементом (ЧЭ) является пластина (чувствительная масса) с размерами а_т, b_т, с_т. Толщина упругого элемента с_п, являющегося подвесом чувствительной массы, мо­жет быть задана по времени травления. Упругий подвес может быть сформирован в виде четырех симметрично расположенных перемычек (см. также рис. 1.13).

Для обеспечения жидкостного или газового демпфирования ЧЭ необходимо предусмотреть возможность перетекания демпфирующей среды в направлении оси у. Если подвесом являются перемычки, то перетекание жидкости или газа, заполняющих объем акселеро­метра, обеспечивается зазором по периметру пластины. Если упругим подвесом является сплошная мембранная перемычка, должны быть предусмотрены отверстия, либо другие конструктивные меры. Для вывода уравнений движения воспользуемся рис.4.2.



Рис. 4.2. К выводу уравнений движения чувствительного элемента акселерометра: а, б — положение центра масс; в — положение пластины; г — системы координат

Предполагается, что центр масс (т.С) ЧЭ (пластины) смещен в плоскости xz относительно геометрического центра (т.О) на величины l_x, l_z (рис. 4.2.а). Центр масс находится в плоскости симметрии пластины (рис.4.2.б). При действии сил mU и mg (m — масса пласти­ны), обусловленных измеряемым ускорением «U» и ускорением g силы тяжести, переме­щение пластины определяется линейной у и угловой α координатами (рис.4.2.в).

Текущее положение чувствительной массы (пластины) определено следующим образом (рис. 4.2.г). С корпусом акселерометра связана система координат XYZ, начало кото­рой (т.О) совпадает с центром симметрии пластины. Оси X₁ и Z₁ системы координат X₁Y₁Z₁ параллельны соответственно осям X и Z, а оси Y₁ и Y совпадают. Перемещение OO₁ =у определяет новое положение центра симметрии пластины. Положение центра масс плас­тины (т.С) определяется в плоскости O₁X₁Z₁ координатами l_x, l_z. Оси системы координат x₂y₂z₂ параллельны соответствующим осям системы X₁Y₁Z₁. Положение системы коорди­нат х₃Уз²з относительно системы координат x₂y₂z₂ определено углом β, а положение сис­темы координат xyz относительно системы x₃y₃z₃ определено углом α. Таким образом, положение пластины в системе координат XYZ, может быть определено координатой у и углами α, β. Предполагается, что корпус акселерометра подвержен пространственной вибрации, которая определена виброперемещениями x_B,y_B,z_B вдоль соответствующих осей системы XYZ.

Уравнения движения акселерометра, т.е. его чувствительной массы (пластины) получим с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода:

(4.1)

Выражение, определяющее кинетическую энергию пластины, имеет вид:

(4.2)

где: J_x, J_z — главные центральные моменты инерции пластины относительно осей Cx и Cy;

_с, _с, _c — линейные скорости центра масс (ЦМ) пластины в направлении осей X, Y,

Z, соответственно.

Линейные скорости ЦМ пластины:

В соответствии с рис. 4.2.г имеем:

(4.3)

В качестве примера получим уравнение движения по координате у. Вычислим следую­щие производные:

Имея в виду, что обобщенные координаты α, β, у — малые величины, будем полагать: sinα≈ α, sin β ≈ β, cos α ≈ cosβ ≈ 1. Кроме того, будем пренебрегать произведениями и квадрата­ми малых величин, а также величинами, имеющими еще более высокий порядок «малости».

С учетом сказанного, уравнение движения акселерометра по линейной координате имеет вид:

(4.4)

Поступая аналогичным образом, получим уравнения движения акселерометра по угло­вым координатам:

(4.5)

(4.6)

(4.7)

где:— моменты инерции чувствительной массы (пластины)

относительно осей O₁Z₁ и O₁X₁ соответственно.

Воспользуемся известными результатами [15, 16, 18] и запишем выражения для коэффициентов демпфирования:

— чувствительная масса в форме прямоугольника (а_m ≠ b_m)

(4.8)

где:

μ — динамический коэффициент вязкости демпфирующей среды; h — размер, определяющий толщину демпфирующей среды.

— чувствительная масса в форме квадрата (а_т = b_т)

(4.9)

где:

Для определения жесткостей упругого подвеса будем полагать, что он выполнен в виде четырех упругих балок толщиной c_n, шириной b_п и длиной l. Так как плоскость пластины (чувствительная масса) ориентирована в кристаллографической плоскости (100), поперечные сечения упругих балок (b_п × с_п) будут ориентированы в кристаллографической плоскости (ПО). Воспользуемся справочными данными* и для определения жесткостей запишем сле­дующие выражения:

(4.10)

Вычислим коэффициенты демпфирования чувствительного элемента, который имеет

форму прямоугольника со сторонами а_т =9000· 10^-6м, b_т =10000 10^-6J м; зазор h = 20· 10^-6 м · Полагаем, что демпфирующей средой является воздух, для которого при

t = 20°C— μ = 1,7∙10^-5 Н∙с/м².

Воспользуемся формулами (4.8) и получим:

Полагаем, что упругий подвес выполнен в виде четырех балок с размерами: b_п = 400· 10^-6 м, c_n = 25· 10^-6 м, l = 2000· 10^-6м.

Имеем:

Выполним вычисления по формулам (4.10) и получим:

Следует подчеркнуть, что вычисления по формулам (4.8, 4.9, 4.10), как и по другим, приведенным в различных источниках, не дают точных результатов. Во всех случаях, когда это возможно, необходимо экспериментальное уточнение используемых формул.

Более того, даже физические константы E и G не являются неизменными и зависят, например, от степени нарушения структур монокристалла, вызванного металлизацией, эпитаксией и другими технологическими операциями.

Из системы (4.7) следует, что перекрестные связи между уравнениями обусловлены несовпадением геометрического центра пластины с её центром масс и что измерение ускоре­ния «U» «зашумлено» вибрационными ускорениями.

Если l_x = 1_z = 0 ,тο система (4.7) распадается на независимые уравнения:

(4.11)

(4.12)

Значения жесткостей получены в предыдущем примере:

Заметим вначале, что линейная перегрузка _, а вибрационная п_b =_b /g=40

Воспользуемся выражениями (4.12) и получим:

Из вычислений следует, что при вибрационной перегрузке превышающей линейную, возможна ситуация, когда постоянное смещение в направлении измерительной оси меньше ам­плитуды вибрационной составляющей перемещения. При одновременном действии линей­ного и вибрационного ускорений возможны достаточно большие угловые колебания ЧЭ.

4.1.2. Передаточные функции чувствительного элемента

Уравнения вида (4.11) неоднократно исследовались [8, 13, 43, 63]. Не останавливаясь здесь на известных результатах этих исследований, запишем только передаточные функции, характеризующие изменение обобщенных координат чувствительного элемента от действия внешних сил. Применим форму записи d/dt=s), введем обозначения:

и получим:

(4.13)

(4.14)

Пример 3.

Вычислим значения передаточной функции (4.13). Воспользуемся данными предыдущих примеров:

Размеры кремниевой пластины: а_т = ∙10 ^-3 м, b_т =10^-2 м, с_т = 35 · 10^-5 м. Плотность кремния: ρ = 2,33 кг/см³ = 2,33 · 10^-3 кг/м³.

Вычислим массу пластины: т_п= ρа_т b_т с_т = 0,075 · 10^-3 кг.

В предыдущем примере было принято значение чувствительной массы т = 0,2 · 10^-3 кг. Чтобы обеспечить это значение, необходимо на пластине разместить дополнительную массу т_д=т-т_п= 0,125·10^-3кг . Допустим, что эта масса изготовлена из стали плотностью ρ = 7,8 · 10^-3 кг/м³. Объем, занимаемый этой массой V = 16 мм³, что соответствует кубу с

длиной грани а_k = 2,5 ∙10 ^-3 м.

Моменты инерции пластины относительно осей x, z (рис.4.1) равны:

Полагаем, что дополнительная масса расположена в геометрическом центре поверхности пластины и вычислим ее моменты инерции относительно осей x, z:

Числовые значения параметров (4.14) могут быть изменены соответствующим подбором размеров пластины и упругих элементов. Эффективным конструктивным приемом изменения степени демпфирования, помимо изменения демпфирующей среды (воздух, азот, водород, масло и т.д.), является выполнение в пластине специальных отверстий, которые могут быть названы — перфорационными отверстиями (ПО) (рис.4.3). Прибли­женно можно считать, что коэффициенты демпфирования уменьшаются пропорциональ­но площади ПО.

Выполним анализ влияния перекрестных связей, обусловленных смещением центра масс ЧЭ, на его динамику. Перепишем систему уравнений (4.7

где:

(415)

(415)


(4.15)


(4.16)

Будем полагать, что параметры ЧЭ и линейной вибрации таковы, что в двух последних уравнениях системы (4.15) в правых частях первые составляющие, по крайней мере, на два порядка больше остальных, которые исключим из дальнейшего рассмотрения.

Запишем систему (4.15) в операторной форме (4.17)

(4.18)

(4.19) (4.20)

Уравнение (4.16) в операторной форме:

где:

Δ, ∆_у, Δ_β, Δ_α — определители, получаемые из системы (4.17) в соответствии с прави­лом Крамера.

Подставим (4.20) в (4.19) и получим:

откуда:

(4.21)

Запишем выражения для определителей:

(4.22)

Раскроем определители (4.22) и получим:

(4.23)

где:







(4.24)

где:

где:


где:

Запишем выражение для передаточной функции:

(4.25)

(4.26) (4.27)

где:

Из передаточной функции (4.27) при s = 0 следует выражение для чувствительности к линейным ускорениям:

(4.28)

Очевидно, чувствительность по отношению к виброускорению _b также может быть рассчитана по формуле (4.28).

Пример 4.

Примем значения параметров ЧЭ из предыдущих примеров и вычислим значения коэффициентов многочленов в передаточной функции (4.27).

Имеем:

Выполним вычисления с точностью до второго знака после запятой и получим:

Воспользуемся формулой (4.28) и получим у_с/(и-g) = 0,13∙10∙^-6[c²]. Предположим U=0, g = 9,81 м/с², и получим смещение у_с = 1,25∙10^-6 м.

Из выражения (4.28) следует, что если выполняются равенства G_a = Gp, l_x=I_z, то

угловые жесткости на чувствительность к линейным ускорениям не влияют. Заметим, что для принятых значений величин параметров ЧЭ и вычислениях с точностью до второго знака после запятой, влияние угловой жесткости подвеса на чувствительность незаметно.

Устойчивость ЧЭ может быть исследована с помощью критерия Гурвица. Для характе­ристического уравнения ∆ = 0 (см. выражение 4.23) составим квадратную матрицу (табли­цу) коэффициентов:

Критерий устойчивости сводится к тому, что при а₆ > 0 должны быть больше нуля все шесть определителей Гурвица:

(4.29)

Получение конкретных выражений для соотношений коэффициентов, характеризую­щих устойчивость, не представляет трудностей.

Порядок передаточной функции (4.27), имея в виду числовые значения коэффициентов, может быть снижен.

Пример 5.

Воспользуемся значениями коэффициентов передаточной функции из предыдущего примера и запишем ее в виде:

Имея в виду порядок значений коэффициентов, передаточную функцию запишем в при­ближенной форме:

Из полученных результатов следует, что возможно такое сочетание значений парамет­ров ЧЭ, особенно при сильном демпфировании, при котором ЧЭ можно рассматривать как «усилительное» звено с большим запаздыванием по фазе.

4.1.3. Передаточная функция акселерометра

На рис.4.4. в соответствии с уравнениями (4.15, 4.16) приведена структурная схема ЧЭ акселерометра. Если параметры ЧЭ позволяют пренебречь перекрестными связями, то структурная схема распадается на три независимые канала по координатам у, β и α (показаны толстыми линиями).

Рис.4.4. Структурная схема ЧЭ акселерометра

Измерение перемещений чувствительного элемента акселерометра чаще всего выпол­няется дифференциальным преобразователем емкостного типа. При этом роль среднего электрода выполняет подвижная пластина (чувствительная масса) акселерометра. Емкости дифференциального измерителя определяются по известным формулам (см. 3.15):

где:
(система СИ);

ε — диэлектрическая проницаемость среды между электродами (ε = 1,00058+1,00061; воздух, азот),

S — взаимная площадь перекрытия электродов [м²];

h₀ ,Δ_h — начальное значение и изменение зазора между электродами [м].

Измерительные цепи микромеханических акселерометров прямого преобразования, как правило, реализуются на дискретно-аналоговых схемах. Их выбор обусловлен необходи­мостью совместимости с ЧЭ по массогабаритным и метрологическим характеристикам. Один из вариантов измерительной цепи акселерометра показан на рис.4.5.



Рис. 4.5. Измерительная цепь акселерометра

Емкости C₁ и C₂, включенные последователю, составляют два плеча мостовой схемы, а роль двух других плеч выполняют двупольные источники питания ±U_оп. Опорное напряжение к емкостному мосту поступает через ключевую схему Кл1÷Кл4, управляемую специальным тактовым генератором. Выходное напряжение AU с измерительного моста поступает на инвертирующий повторитель с большим входным сопротивлением на операционном усилите­ле ОУ1. Получим выражение для определения ∆U. На рис.4.6, а показана схема измерительного моста, а на рис.4.6 б — эквивалентная схема, на которой обозначены: R — внутреннее сопротивление источника опорного напряжения; Х_с1 = 1/(С₁ω), Х_с2 = 1/(С₂ω) — сопротивления емкостей (ω — частота тактового генератора); I₁,I₂ — токи в ветвях мостовой схемы.

α — схема включений, б — эквивалентная схема

Если выбрать сопротивления R₁ = R₂ = 1 МОм (рис. 4.5), то можно считать, что измерительный мост работает без нагрузки. В этом случае перезаряд емкостей C₁ и C₂ будет осу­ществляться через малые внутренние сопротивления источников питания R. Частота напряжения питания f_n измерительного моста выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие

где t_m — время перезаряда конденсаторов.

Тогда выходное напряжение будет иметь форму близкую к меандру.

В соответствии с рис.4.6.6 величина ∆U образуется как разность потенциалов между т. А и т. В (ф-лы 3.17 и 3.18):

С учетом выражений для емкостей, получим:

(4.30)

В соответствии с (4.30) напряжение в измерительной диагонали моста не зависит от частоты генератора, а передаточная функция преобразователя перемещений имеет вид:

(4.31)

Как отмечалось, напряжение ∆U поступает на инвертирующий повторитель, к выходу которого подсоединен ключ Кл5 синхронного детектора Управление Кл5 осуществляется прямым сигналом с частотой напряжения питания моста. Преобразование переменного напряжения после синхронного детектора в сигнал U_вых постоянного напряжения реализуется с помощью активного фильтра нижних частот второго порядка. Подобные фильтры могут быть реализованы разными схемами. Одна из них, показанная на рис.4.5, построена на операционном усилителе ОУ2 и получила название структуры Рауха. С ее помощью можно реализовать фильтр с малым значением добротности. Увеличение добротности филь­тра повышает его избирательные свойства. При этом сужается диапазон частот, в котором осуществляется переход от полосы пропускания к полосе задерживания. Однако с увеличением добротности повышается колебательность переходного процесса в фильтре при скач­кообразном воздействии. Подобная ситуация может возникнуть, например, при измерении ускорения катапультируемого объекта, при резком (удар) торможении автомобиля и т.д. В этих случаях нужно использовать фильтр с малой добротностью.

Передаточная функция фильтра второго порядка имеет известный вид [33]:

(4.32)

где:

(4.33)

В предположении отсутствия перекрестных связей между обобщенными координата­ми, блок-схема измерительной цепи акселерометра показана на рис.4.7.

Рис. 4.7. Блок-схема измерительной цепи акселерометра

В соответствии с рис.4.7. и с учетом (4.13, 4.14, 4.31,4.32), передаточная функция аксе­лерометра имеет вид:

(4.34)

Из передаточной функции (4.34) при s = 0 следует статическая характеристика акселе­рометра:

(4.35)

Запишем амплитудно-частотную характеристику фильтра, полагая s = jω (ω — круговая частота):

(4.36)

В соответствии с (4.36) амплитуда пульсации выходного сигнала определяется выраже­нием:

(4.37)

где: ω = ω_г — круговая частота тактового генератора.

Пример 6.

Параметры акселерометра:

Рассчитаем параметры фильтра, обеспечивающие крутизну выходной характеристики U_вых/u = 1 B/g и значение пульсации выходного сигнала ∆U_n ≤ 10^-5 В.

Используем формулу (4.35) и получим:

Примем K_ф= 3,5, тогда в соответствии с (4.33): R₅ = 3,5R₃.

Положим R₃ = R₄ и получим зависимость _. Полагая ξ_ф = 0,707 , примем C₃ = 10^-6[Ф] и получим С₄≈9∙10^-6[Ф]. Будем считать R₃ = R₄= 10³[Om], тогда R₅ = 3,5∙10³[Ом] и T_ф = 5,61∙10^-3[с], (ω_ф = 0,17∙10³ 1/с≈28,38 Гц). Будем считать ω_г = 6,28∙10⁵[1/с] и получим ∆U_п = 0,157· 10^-5В<10^-5В.

♦

Пример 7.

Рассчитаем частотные характеристики акселерометра с параметрами из предыдущего примера:

Воспользуемся передаточной функцией (4.34) и запишем:

Имея в виду, что выражение в первой квадратной скобке знаменателя имеет два действительные корня, перепишем передаточную функцию следующим образом:

где:

На рис. 4.8 приведены частотные характеристики акселерометра с параметрами из данного примера (см. 4.34). В данном примере из-за большого демпфирования ЧЭ, соответствую­щее ему колебательное звено преобразуется в два апериодических. В соответствии с видом модифицированной передаточной функции и вычислениями на рис.4.8. приведены частот­ные характеристики в пределах изменения частоты до 1000 1/с, т.к. для принятых параметров акселерометра полоса пропускания ограничена значением частоты ω=100 1/с≈16 Гц, и при этом запаздывание по фазе достигает φ = 90°.

Рис. 4.8. Частотные характеристики акселерометра:

А(ω) — амплитудная характеристика (тонкой линией показана асимптотическая ЛАЧХ);

φ₁(ω)— фазовая характеристика, соответствующая постоянной времени T₁,

φ_ф(ω) — фазовая характеристика фильтра,

φ(ω) — суммарная фазовая характеристика

4.2. Маятниковый акселерометр прямого преобразования

4.2.1. Уравнения движения чувствительного элемента

Чувствительный элемент акселерометра представляет собой массу на упругом подвесе, который может быть оформлен в виде консольных «балок», работающих на изгиб, либо в виде упругих элементов типа «торсионов», работающих на кручение. Если плоскость мо­нокристалла, в котором вытравлены конфигурации чувствительной к ускорениям массы и упругих элементов, совмещена с кристаллографической плоскостью (100), то плоскости изгиба или кручения будут ориентированы в направлении [110].


Рис.4.9. К выводу уравнений движения чувствительного элемента





Для вывода уравнений движения воспользуемся рис.4.9.

Предполагается, что центр масс недеформированной пластины (чувствительной массы) т. С, располагается в ее геометрическом центре на расстоянии а от ее краев. Чувствительная масса связана с корпусом акселерометра гибким элементом балочного типа дли­ной AB = l.

Для определения текущего положения чувствительной массы введены следующие системы координат: OXY — неподвижная система; ох₀у₀ — система координат, связанная с основанием, на котором установлен акселерометр; O₁x_кy_к — система координат, связан­ная с корпусом акселерометра (тт. В и O₁ совпадают).

Положение системы Ох₀у₀ относительно OXY определено углом γ, который может произвольно изменяться во времени. Основание, а вместе с ним и система координат Ох₀у₀, может перемещаться с ускорением u, направление вектора которого определено углом β. Кроме тοгο, основание может совершать «косую» вибрацию, заданную виброперемещениями х_b и у_b. Начало системы координат O₁x_кy_к определено вдоль оси Oy₀ как OO₁ = L, а ее положение относительно системы Ох₀у₀ определено произвольным, но фиксированным в пределах от 0° до 360°, углом γ₀. Мгновенное положение центра масс (т. С) определено координатами x и у в системе осей OXY. Положение оси, проходящей через тт. А и С в системе координат O₁x_кy_к определено углом υ, а положение т. А — координатой у_r парал­лельной оси O₁y_к. Угол между осью O₁x_к и касательной к изогнутой оси упругого элемента в т. В силу его малости: α ≈ у_r /l. B т. С приложены внешние силы, обусловленные ускорени­ями u и g; а также виброускорениями.

Будем полагать, что углы α и υ малы и имеет место равенство α = υ. Уравнения движения получим вторым методом Лагранжа, имея в виду, что в (4.1) обобщенные координаты q₁ = υ , q₂ = у_r .

Кинетическая энергия чувствительной массы m акселерометра равна:

(4.40)

где: J_c — главный центральный момент инерции чувствительной массы вокруг оси перпендикулярной плоскости XY.

Запишем выражения для координат x и у т.С:

(4.41)

Имея в виду, что углы α и υ малы (sin υ ≈ υ, sin α ≈ α, cos α = cos υ ≈ 1) и при γ ≠ 0 име­ют место неравенства α <<γ, υ << γ из (4.41) получим следующие равенства:

(4.42)

В качестве примера получим уравнения движения для случая γ₀ = 0°. Имея в виду (4.42) (γ₀ ⁼ 0°)' вычислим _, _ и в соответствии с (4.40) запишем:

Вычислим производные от полученного выражения:

В соответствии с (4.1) получим уравнения движения чувствительного элемента акселерометра для случая γ₀ = 0°:

(4.43)

где: Q_υ , Q_y — обобщенные силы по соответствующим координатам.

Поступая аналогичным образом, получим уравнения движения чувствительного элемента акселерометра для случаев:

γ₀= 90°

(4.44)

γ₀= 180°

(4.45)

γ₀= 270°.

(4.46)

Обобщенные силы Q_υ , Q_y в уравнениях (4.43÷4.46) включают: силы, обусловленные жесткостью упругой «балки» подвеса; силы, обусловленные ускорениями g и и; силы демпфирования. На рис.4.10 показаны упругие силы P и моменты M, приложенные к «балке» со стороны чувствительной массы и к массе со стороны балки. Там же показаны сила mg и составляющие силы ти.



Рис. 4.10. К определению обобщенных сил

Определим вначале силы, обусловленные упругими свойствами «балки». Известно*, что сила P вызывает линейное смещение у_r и поворот балки на угол υ, определяемые формулами:

где: E — модуль продольной упругости материала балки;

J— момент инерции поперечного сечения балки относительно главной оси;

EJ — жесткость балки на изгиб.

Известно также, что момент M вызывает аналогичные перемещения сечения балки в т. А:

Объединяя приведенные результаты, запишем уравнения перемещений:

или в матричной форме:

(4.47)

где: δ_ij (i = 1,2; j = 1,2) — коэффициенты влияния, определяемые зависимостями:

(4.4*

Матрице коэффициентов влияниясоответствует обратная матрица коэффициентов жесткости, т.е. имеет место матричное равенство— единичная матрица).

В соответствии с определением обратной матрицы имеем:

Следовательно:

* Справочник машиностроителя. ТЗ/Под ред. CB. Серенсена.-М.:Машгиз,1955.

Далее имеем:

Имея в виду (4.48) получаем коэффициенты жесткости:

(4.49)

Аналогично (4.47) можем записать:

Таким образом, обобщенные силы, обусловленные жесткостью подвеса, определяются через матричное равенство (4.50).

В угловых акселерометрах сила F_д и момент М_д демпфирования пропорциональны соответственно линейной _r и угловой _ скорости движения маятника и могут быть опреде­лены из матричного равенства:

(4.51)

где: k_дy к_дθ— абсолютные коэффициенты демпфирования пластины (маятника) акселерометра соответственно для линейного и углового движений.

На рис.4.11 показана пластина (чувствительный элемент), заключенная в объеме, ограниченном двумя крышками. При движении пластины демпфирующая среда (газ, жидкость) перетекает через зазоры и перфорационные отверстия из одной полости, ограниченной пластиной и крышкой, в другую. Возникающая при этом сила вязкого сопротивления и является демпфирующей. Коэффициенты демпфирования определяются в соответствии с зависимостями (4.8,4.9), имея в виду, что k_дυ = k_дα = k_дβ . Заметим также, что если пластина имеет перфорацию, то коэффициент углового демпфирования может быть вычислен по формуле [93]:

(4.52)

где: l_цм — расстояние от «точки» защемления упругой «балки» подвеса до центра масс (т. С) пластины (рис.4.11).

Рис.4.11. К пояснению механизма демпфирования

Обобщенные силы, обусловленные ускорениями и и g, в соответствии с рис. 4.9 для обобщенных координат у_r и υ определяются по формулам:

(4.53]

Таким образом, обобщенные силы Q_υ и Q_y определяются суммированием соответствующих выражений (4.50, 4.51, 4.53). Заметим при этом, что обобщенные силы, обусловленные жесткостью подвеса и демпфированием, не зависят от угла γ₀ установки корпуса акселерометра.

Имея в виду (4.43 — 4.46) и (4.50, 4.51, 4.53), запишем уравнения движения чувстви­тельного элемента акселерометра для четырех вариантов установки его корпуса на объекте в следующем виде:

(4.54)

Где:

(4.55)

Уравнения движения (4.54) позволяют выполнить анализ динамики ЧЭ акселерометра для различных вариантов возмущений.

Пример 8.

Рассчитаем коэффициенты жесткости, податливости и демпфирования для ЧЭ, схема

которого показана на рис. 4.12.



Рис.4.12. Схема чувствительного элемента маятникового акселерометра

Чувствительный элемент представляет собой пластину (маятник) с внешними размера­ми а_т, b_m, с_т, которая вместе с упругими элементами вытравлена из монокристалла, часть которого, обрамляющего по периметру маятник, условно названа «корпусом». В пластине выполнены перфорационные отверстия («ПО»), и в центре масс (т. С), совпадающем с гео­метрическим центром, расположена дополнительная масса (груз), которая может и отсут­ствовать. Для акселерометров компенсационного типа роль груза может выполнять катуш­ка электромагнитной обратной связи. Упругие элементы («балки») могут иметь сложную

конфигурацию как по высоте (с_п), как и по ширине (b_п). Здесь ширина балки принята по­стоянной, а переменный размер по высоте заменен постоянным размером с_п эквивалент­ной высоты по ее длине l. Длина l и точки «А» и «В» соответствуют рис. 4.9 и 4.10.

Монокристаллический маятник изготовлен из кремния, для которого:

E₁₀₀=1,4∙10¹¹ H/м², ρ = 2,33 г/см² (плотность). Геометрические размеры пластины:

а_т =8562,5∙10^-6 м, a = 4281,25∙10 ^-6 м, b_т =9100∙10^-6 м, с_m = 350∙10^-6 м. Размеры упру­гой балки: l = 805∙10^-6 м, b_п = 400·10^-6 м, с_n = 26,67·10^-6 м. Общая масса маятника (пла­стина с двумя грузами (катушками)) т = 0,29·10^-3 кг .

Момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс (т. С) и

параллельной оси Z: _= 1,775∙10^-9 кг·м².

В предположении, что вся масса маятника расположена в центре пластины, момент инер­ции маятника относительно оси, проходящей через т.А и параллельной оси z, равен:

J_A=J_c+ma² = 7,093·10^-9 кг · м⁴.

Момент инерции поперечного сечения балки вокруг оси Z, проходящей через центр

тяжести сечения равен: _= 6,32∙10^-19 м⁴.

Воспользуемся формулами (4.48) и (4.49) и вычислим коэффициенты влияния и коэффициенты жесткости:

Для вычисления коэффициентов демпфирования предположим, что маятник располо­жен в герметичном объеме, заполненном воздухом, для которого при температуре окружа­ющей среды t = +20⁰C вязкость μ = 1,7∙10^-5 кг/м∙с. Имеем также следующие размеры·

-з ^м'^с

l_цм ≈ 5∙10^-3м, h=18∙10^-6 м, S = a_mb_m ≈ 75∙10^-6 м² . Эффективную площадь пластины, участвующей в создании демпфирующей силы (момента), определим в долях от общей площади S. Воспользуемся зависимостями (4.8) для вычисления k_ду и (4.52) для вычисле­ния k_yυ и результаты поместим в таблицу:

Коэффициенты демпфирования	Эффективная площадь пластины
	0,9S	0,8S	0,7S	0,6S	0,5S	0,4S
kду,, Н∙с/м	13,21	10,44	7,99	5,87	4,07	2,61
kyυ, 10-6Н∙м∙с	82,56	65,25	49,93	36,68	25,43	16,31

жүктеу/скачать 2.17 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: