Казақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі

Жәшікте N шар бар, оның M-көк, (N-M) қызыл. Алынған n шардың m-ы көк болу ықтималдығы қандай? Ол мына формуламен есептелінеді:

Қолайлы жағдай

Екі көк шар алу ықтималдығы

Ескерту. Жоғарыда қарастырған элементтеріміз бір-бірінен ерекше деп алыпты,яғни әр элемент бір реттен тәжірибемізге қатысты. Егер тәжірибеге қатысқан элементтердің кейбірі бірнеше рет қайталанса онда алмастырулар, орналастырулар,терулер басқаша формулалармен есептеледі.

Мысалы, егер n элементтің n₁-бір түрлі, n₂-екінші түрлі, т.с.с…n_k,-k түрлі қайталанса онда қайталамалы алмастырулар мына формуламен есептелінеді:

мұндағы

Егер n элементтен k-дан жасалған орналастырулар саны ал қайталамалы орналастырулар саны үшін белгілеулерін еңгізсек, онда

ал формулаларымен есептелінеді.

X кездейсоқ шамасының х_1,х₂,…х_n мүмкін мәндерінің әйтеуір бірін қабылдайтындығынан х₁,х₂,…х_n бірікпейтін толық топ құрады.

тендігімен анықталса (мұндағы k=0,1,2,…n, ал элементтен k-дан жасалған теру саны болса) онда х-ті бином (Бернулли) заңы бойынша үлескен деп атайды.

Бұл үлестірімді Пуассон заңы дейді.

қосындысын айтады да M(x) арқылы белгінеледі. Егер i=1,2,…,n,… болса онда дискретті кездейсоқ шаманың математиқалық үміті

мұндағы

Сонымен, Пуассон бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математиқалық үміті осы үлестірімдегі параметріне тең.

Кездейсоқ шаманың математиқалық үмітінің жуық мәні оның мәндерінің арифметиқалық ортасына тең болады, яғни

Математикалық үмітті механика тілінде үлестірімнің ортасы(центр распределения) дейді, яғни ауырлық нүктесі.

Расында х₁,х₂,…,х_n нүктелерінің массалары p₁,p₂,…p_n болса, онда берілген жүйенің ауырлық нүктесі

сондықтан

Пуассон Симон Дени (1781-1840) француз-математигі; физигі және механигі.

Математиқалық үміттің қасиеттері:

1. Тұрақты шаманың математиқалық үміті сол шаманың өзіне тең. M(C)=C, C=const.

2. Тұрақты көбейткішті математиқалық үміт таңбаcының алдына шығаруға болады. M(CX)=CM(x), C=const.

Анықтама бойынша

3. Екі кездейсоқ шамалардың қосындысының (айырымының) математикалық үміті сол шамалардың математикалық үміттерінің қосындысына (айырымына) тең, яғни

4. Екі кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса олардың көбейтіндісінің математикалық үміті көбейткіштердің математикалық үміттерінің көбейтіндісінде тең: M(xy)=M(x)M(y)

Үшінші,төртінші қасиеттерді n кездейсоқ шамалар үшін жалпылауға болады

3⁰. M(x₁+x₂+…x_n)=M(x₁)+M(x₂)+…+M(x_n)

4⁰.

мұндағы X₁,X₂,…,X_n-тәуелсіз кездейсоқ шамалар.

14 Дискретті кездейсоқ шамалардың дисперсиясы және оның қасиеттері

Кездейсоқ шаманың мәндері оның математикалық үмітінен ауытқитындығы белгілі. Міне,осы ауытқуды бағалау үшін дисперсия ұғымы енгізіледі.

Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(Х) таңбасымен белгілейді.

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп сол кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқыуының квадратының математикалық үмітін айтады (1)

Математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып (1) формуланы түрлендірейік:

осыдан дисперсияны есептеуге қолайлы формула шығады

формула былай оқылады

Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың квадратының математикалық үміті мен сол кездейсоқ шаманың математикалық үмітінің квадратының айырымы. Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың математикалық үмітіне қарағандағы таралымы (шашырауы), бытырауы. Механикалық ұғымда дисперсия кездейсоқ шаманың инерциялық моменті (массаның таралымының) егер математикалық үмітті массаның центрі деп алсақ.

Дисперсия кездейсоқ шаманың квадратымен өлшемдес. Таралымның кездейсоқ шамамен өлшемдес болу үшін жаңа ұғым кездейсоқ шаманың орташа квадрат ауыткуы енгізіледі. Ол

1.Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең Д(С)=0.

Расында, егер С=const болса онда (2) формула бойынша

Д(С)=М(С²)-М²(С)=С²-С²=0

2.Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады. Шынында (2) формула бойынша

3. Егер x пен y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса онда

Д(x+y)=Д(x)+Д(y)

Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың айырымының дисперсиясы сол шамалардың дисперсиясының қосындысына тең.

Кездейсоқ шаманың К-ретті бастапқы моменті дегеніміз мына формуламен анықталады:

Бірінші ретті (алғашқы) бастапқы момент математикалық үмітті анықтайды:

Кездейсоқ шаманың k ретті орталық моменті дегеніміз келесі формуламен анықталады:

-мю

Бірінші ретті орталық момент нөлге тең

Ал екінші ретті орталық момент

Енді орталық моменттерді бастапқы моменттер арқылы өрнектейік:

Дискретті Х кездейсоқ шамасы үшін

Мұндағы х₁,х₂,…,х_n- кездейсок Х шамасының қабылдайтын мәндері, p₁,p₂,…,p_n –сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары,ал қосынды теңсіздігіне сәйкес барлық . сандары бойынша алынады. Үлестірім функциясы дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамаларға да қатысты болады.

Айталық Х дискретті кездейсоқ шама үлестірім кестесі арқылы берілген болсын

Х-тің үлестірім функциясын табыңыз.

Табылған үлестірім функциясын интегралдық үлестірім функциясы дейді, ол дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамаларға қатысты болады.

Енді интегралдық үлестірім функциясының қасиеттерін көрсетейік:

1.үлестірім функциясы F(x) функциясы оң, шектелген

2.функция себебі ол ықтималдықты көрсетеді

Оның графигі (сүлбесі) y=0, y=1 түзулерінің арасында орналасқан;

3.үлестірім функциясы кемімейтін функция, яғни болғанда болады.

теңдігін аламыз. Ал бұл теңдікті (Х₁,Х₂) аралығына қолдансақ.

бұл теңдіктің сол жағы оң сан демек

1 Егер Х кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері тек (a,b) аралығында болса мәндерінде F(x)=0 және мәндерінде F(x)=1 болады. Жалпы жағдайда болады деп есептелінеді. Дискретті кездейсок шаманың үлестірім функциясының сүлбесі сатылы баспалдақты (1-сүлбе) болса, үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының сүлбесінің жалпы түрі 2-сүлбеде көрсетілген. Үлестірім функциясы сол жағынан үздіксіз функция.

F(x

0 y=F(x)

2-сүлбе үздіксіз кездейсоқ шаманың интегралдық үлестірім функциясының қисығын бейнелейді

Егер Х-үздіксіз кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы F(x) болса, онда тендігін аламыз.

яғни үлестірім тығыздығы интегралдық үлестірім функциясының туындысына тең

Үлестірім тығыздығының мынандай қасиеттері бар:

1) үлестірім тығыздығы теріс емес функция, себебі ол кемімейтін F(x) функциясының туындысына тең

2) үлестірім функциясы үлестірім тығыздығы арқылы былай өрнектеледі

Үлестірім тығыздығын кездейсоқ шаманың дифференциалдық функциясы деп те атайды

Себебі,

Кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы f(x) болса онда

яғни OX өсімен және үлестірім тығыздығы y=f(x) қисығымен шектелген фигураның ауданы бірге тең болады.

Егер аралығынан мән қабылдайтын Х үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы f(x) болса, онда бұл кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп абсолютті жинақты меншіксіз интегралын айтады.Ал Х кездейсоқ шамасы интервал мәндерін ғана қабылдайтын болса математикалық үміт интегралымен анықтылады.Үздіксіз Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы анықтама бойынша

формуласымен анықталатын болғандықтан, мәндері үшін

меншіксіз интегралы арқылы есептеледі. Орташа квадраттың ауытқуы формуласымен табылады.

Ал Х кездейсоқ шамасы (a,b) интервал мәндерін қабылдаса дисперсия интегралымен есептеледі.

Көп жағдайда дисперсия мына формула арқылы анықталады:

Қолданылған әдебиет тізімі:

1) Дүйсек А.Қ., Қасымбеков С.Қ. Жоғары математика (оқу құралы) – Алматы, ҚБТУ, 2004.

2) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 4 (оқу құралы) – Павлодар, 2010.

3) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 2 (оқу құралы) – Павлодар, 2010.

4) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 3 (оқу құралы) – Павлодар, 2010.

9. СОӨЖ кеңестер графигі (СОӨЖ СӨЖ-дің 25% құрайды)

№	Сабақтар түрлері	дүйсенбі	сейсенбі	сәрсенбі	бейсенбі	жұма	сенбі
1	Дәріс сабақтары бойынша кеңес			18.00 18.50
2	Тәжірибелік сабақтар бойынша кеңес				14.45-15.35
3	СӨЖ бойынша кеңес					15.50-16.45.

10. Студенттердің білімін тексеру кестесі

Пән бойынша тапсырмаларды орындау және тапсыру графигі

№		Жұмыс түрлері	Тақырып	Әдебиет	Орындау уақыты	Бақылау түрі	Тап сыру мер зімі
1	2		3	4	5	6	7
1	Жазбаша жұмыс		1-ші және 2-ші ретті дифференцалдық теңдеулерді шешу		3 апта		4-ші апта
2	Жазбаша жұмыс		Векторлық анализ		Екі апта		6-ші апта
3	Жазбаша жұмыс		Қатарлар		Екі апта		7-ші апта
4	Межелік бақылау					тест	8-ші апта
5	Реферат		Екінші ретті қисықтар және беттер		Бір апта		10-ші апта
6	Жазбаша жұмыс		Кешен сандар		Екі апта		12-ші апта
7	Реферат		Арифметикалық n-өлшемді векторлық кеңістік		Екі апта		14-ші апта
8	Межелік бақылау					тест	15-ші апта

11. Студенттердің білімін бағалау критерийлері

Пән бойынша емтихан тест түрінде өткізіледі. Емтиханға жұмыс бағдарламасының барлық талаптарын орындаған студенттер жіберіледі.

Әр тапсырма 0-100 баллмен бағаланады.

Жіберу рейтингі ағымдағы сабақтардағы (дәрістерге қатысу, үй тапсырмалары, СӨЖ бойынша тапсырмалар, тәжірибе тапсырмалары, межелік бақылау) барлық орындалған тапсырмалардың арифметикалық орташасынан қорытылады.

Пән бойынша қорытынды бақылауға (ҚБ) жұмыс бағдарламасының барлық талаптарын (жұмыстарды және СӨЖ бойынша тапсырмаларды орындау және тапсыру) орындаған және кіру рұқсатының рейтингі 50 баллдан кем емес студенттер жіберіледі.

Студенттің әр пән бойынша (пәннің қорытынды бақылау түрі мемлекеттік емтихан болса да) оқу жетістіктерінің деңгейі қорытынды бағамен (Қ) анықталады. Қорытынды баға ЖР және ҚБ (емтихан, дифференциалды сынақ немесе курстық жұмыс (жоба))салмақтық үлестер негізінде есептеледі (СҮжр және СҮқб).

Пән бойынша қорытынды баға жіберу рейтингі де, емтихан бағасы да оң бағаланған жағдайда ғана есептеледі. Дәлелсіз себеппен қорытынды бақылауға келмеген жағдайда «қанағаттаннарлықсыз» деген бағаға теңестіріледі.

Қорытынды бағаның есептелуі дұрыс болу үшін межелік бақылау (рейтинг) және қорытынды емтихан 0 ден 100%-ға дейін пайызбен бағаланады.

Межелік бақылау бағасы ағымдағы және межелік бақылаудың бағаларының қосындысы болады.

Бақылаудың барлық түрінде де оқудағы жетістіктер балды-рейтингті жүйесі бойынша бағаланады:

Әріп жүйесі бойынша баға	Балдың цифрлық баламасы	Пайыздық мазмұны	Дәстүрлі жүйедегі баға
A		4,0	95-100	Өте жақсы
A-		3,67	90-94
B+		3,33	85-89	Жақсы
B		3,0	80-84
B-		2,67	75-79
C+		2,33	70-74	Қанағаттанарлық
C		2,0	65-69
C-		1,67	60-64
D+		1,33	55-59
D		1,0	50-54
F		0	0-49	Қанағаттанарлықсыз

12. Оқытушының талаптары, курс саясаты

Студенттер міндетті түрде сабақтарға қатысу керек. Сабақты босатқан жағдайда деканаттың орнатқан тәртібі бойынша босатқан сабағын тапсырады. Сабаққа екі рет кешігіп келу бір сабақты босатумен теңеледі. Екі сабақтан көп босатқан жағдайда оқытушы студентті сабаққа кіргізбеуге құқылы. Берілген курстың студенттерінің контингенті болмайтын бөгде адамдардың дәрісте отыруына тыйым салынады.

Тапсырмаларды көрсетілген мерзімде тапсыру қажет. Барлық тапсырмаларды тапсырудың соңғы мерзімі – емтихан сессиясының басталуына 3 күн қалғанға дейін.

Барлық тапсырмаларды тапсырмаған студенттер емтиханға жіберілмейді.

Студенттер әр оқу сабағы бойынша тақырыпты қайталауға және өткен тапсырмаларды орындап тапсыруға міндетті. Оқу материалдарын меңгеру деңгейі тест немесе жазбаша жұмыстар арқылы тексеріледі. Студенттерді тестілеу алдын ала ескертусіз өткізілуі мүмкін.

Студенттің оқытушымен өздік жұмысын (СОӨЖ) орындау барысында келесі төрт негізгі функцияларды ескеру керек:

Бірінші – оқу пәні бойынша сабақтар барысында оқытушы студентке берген ақпараттың белсенді қабылдануын болжамдайды.

Екінші – студенттер өздігінен оқытушының нұсқауларын негізге алып, оқу-әдістемелік құралдарды, әдебиеттерді меңгеруді, үй тапсырмаларын, бақылау және курстық жұмыстарды орындауды болжамдайды. Осы кезеңде студенттерден жұмыс әдістерін білуді, өздік ұйымдастырушылықты және тәртіпті талап етеді.

Үшінші – студенттің өзінің қиындық туғыздыратын жағдайларын талдау және жүйелеу, оқу материалын түсіну және меңгеру кезіндегі қиыншылықтардың себептерін анықтау, басқа оқу амалдарын орындау. Студенттер шешілмейтін қиындықтарын оқытушы үшін сұрақтар жүйесіне аударады (реттейді, құрастырады), сол сұрақтарға өз жауаптарын қосады.

Студенттердің төртінші функциясы оқытушыдан сәйкес түсініктеме, кеңес алудан тұрады.

1) Дүйсек А.Қ., Қасымбеков С.Қ. Жоғары математика (оқу құралы) – Алматы, ҚБТУ, 2004.

2) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 4 (оқу құралы) – Павлодар, 2010.

3) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 2 (оқу құралы) – Павлодар, 2010.