Математическое моделирование течений вещества в аккреционных звездных дисках 05. 13. 18 ─ Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

им. М.В. КЕЛДЫША РАН

ЛУГОВСКИЙ Алексей Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЕЩЕСТВА В АККРЕЦИОННЫХ ЗВЕЗДНЫХ ДИСКАХ

05.13.18 ─ Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2009

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Научный руководитель ─ доктор физико-математических наук,

профессор

доктор физико-математических наук,

профессор

Гасилов Владимир Анатольевич
Ведущая организация ─ Государственный астрономический институт им П.К. Штернберга МГУ
Защита состоится “____”_____________________2009 г. в ___часов на заседании Диссертационного совета Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., д. 4.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики им М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., д. 4.
Автореферат разослан “____”_____________________2009 г.
Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-

математических наук Щерица О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертационная работа посвящена математическому моделированию структуры течений в аккреционных звездных дисках. В работе предложен новый механизм перераспределения углового момента без существенного нагрева вещества, осуществляемый крупными вихревыми структурами, которые образуются в сдвиговых течениях аккреционных звездных дисков. Исследованы процессы образования и развития крупномасштабных вихревых течений, возникающих в результате внесения малых возмущений в начальное состояние диска. Проведены исследования возникающих крупновихревых течений и получены результаты, имеющие научную и практическую ценность и согласующиеся с наблюдениями. Обосновано применение для решения поставленной задачи явной схемы Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации. Разработан метод распараллеливания исследуемой задачи. Построенный численный алгоритм применен и протестирован на различных многопроцессорных вычислительных комплексах, продемонстрирована эффективность его распараллеливания.
Актуальность работы
Теоретические исследования аккреционных дисков вблизи гравитирующих тел проводятся уже много лет. В последние годы большой интерес проявляется к проблеме передачи углового момента в аккреционных дисках, что обусловлено наличием в наблюдениях связи между температурой аккреционного диска и интенсивностью излучения от компактного объекта при аккреции на него вещества. Для того, чтобы вещество интенсивно аккрецировало, в диске должны протекать процессы, отводящие угловой момент к внешним его частям. В качестве возможного механизма рядом авторов предлагается, например, турбулентная вязкость. Указано, что скорость аккреции определяет нагрев вещества аккреционного диска за счет такой вязкости.

В ряде работ проводились исследования, где предлагалось использовать для этой цели магнитную вязкость. В них показано, что гидродинамически устойчивый аккреционный диск при наличии даже слабого магнитного поля становится неустойчивым, и в диске возникают турбулентные течения, что приводит к перераспределению углового момента и его отводу к внешним частям диска.

Согласно сложившимся представлениям турбулентная вязкость сдвигового течения носит локальный динамический характер и ведет к локальному излучению тепловой энергии. В связи с этим важной проблемой последнего времени является несоответствие низкой температуры диска, фиксируемой в наблюдениях, по сравнению с температурой, получаемой расчетно в ряде существующих моделей при известной наблюдаемой интенсивности излучения и известном темпе аккреции. Существует большое количество работ, в которых сделаны попытки объяснить данное несоответствие и рассмотрен переход кинетической энергии турбулентного движения не только в тепло, но и в другие виды энергии.

Предлагаемая работа рассматривает проблему возникновения и развития крупномасштабного вихревого движения из начальных малых возмущений. Эта проблема представляет большой интерес для различных дисковых течений в астрофизических условиях. Появление крупномасштабных вихревых течений дает возможность переноса углового момента крупными вихревыми структурами, образующимися в сдвиговом течении в аккреционном диске. В работе показано, что при перераспределении углового момента крупными структурами не происходит заметного нагрева вещества. При применении такой модели оказывается возможным получить требуемую скорость аккреции при достаточно низкой температуре вещества аккреционного диска. Таким образом, в работе предложен новый механизм перераспределения углового момента, ведущий к аккреции с меньшим локальным выделением тепловой энергии.

Возможности аналитических оценок эволюции вихревых возмущений в общем неодномерном случае весьма ограничены, поэтому основным методом выяснения результата таких воздействий на структуру диска является вычислительный эксперимент. Численные алгоритмы, пригодные для передачи структуры начальных мелкомасштабных вихревых образований, должны иметь незначительную схемную диссипацию. В противном случае схемная диссипация может привести (и, как правило, приводит, особенно на фоне резкоменяющихся решений) к сглаживанию и сильному затуханию мелкомасштабных возмущений. Для численного исследования вихревых течений в аккреционных дисках целесообразно использовать схему высокого порядка аппроксимации, пригодную для распараллеливания в связи с высокой трудоемкостью вычислений. В работе обосновано применение для решения поставленной задачи схемы Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации, которая в связи с ее явностью хорошо поддается распараллеливанию. Для того, чтобы решить задачу за разумное время, необходимо применение многопроцессорных вычислительных комплексов, что позволяет проводить серии численных экспериментов для подробного исследования различных вариантов образования и развития крупновихревых течений в аккреционных дисках. Показано, что предложенный метод распараллеливания эффективен для решения различных астрофизических задач.
Цель и задачи работы
Работа посвящена математическому моделированию течений вещества в аккреционных звездных дисках. Целью работы является исследование механизма перераспределения углового момента крупными вихревыми структурами, возникающими в аккреционном диске, при котором не происходит существенного нагрева вещества диска.

Задачи работы:

• 
  исследование возникновения и развития крупномасштабного вихревого движения из начальных малых возмущений в аккреционных звездных дисках методами математического моделирования;
  

• 
  исследование процесса перераспределения углового момента вещества в аккреционных звездных дисках;
  
• 
  изучение газодинамических параметров аккреционного диска;
  
• 
  нахождение нового механизма перераспределения углового момента, позволяющего построить модель холодного аккреционного диска с достаточно мощным излучением от центрального гравитирующего тела за счет аккреции вещества;
  
• 
  создание эффективного параллельного алгоритма решения рассматриваемой задачи.
  

• 
  впервые поставленной проблемой появления крупных структур течения в аккреционном звездном диске;
  
• 
  впервые проведенными исследованиями образования и развития крупных структур в сдвиговом течении;
  
• 
  предложенным новым механизмом перераспределения углового момента крупными структурами, ведущим к аккреции с меньшим локальным выделением тепловой энергии, что согласуется с имеющимися наблюдениями;
  
• 
  эффективностью использования многопроцессорных вычислительных комплексов при моделировании структуры течения в аккреционных звездных дисках.
  

• 
  Конференция «Актуальные проблемы нелинейной механики и рациональное численное моделирование» (к 80-летию академика О.М. Белоцерковского), 8 сентября 2005 г., Москва, Россия;
  
• 
  Всероссийская астрономическая конференция "Прогресс в современной астрономии" (175 лет ГАИШ МГУ), 11-12 декабря 2006 г., Москва, Россия;
  
• 
  6-ая Международная летняя Гамовская астрономическая школа: «Астрономия на стыке наук: астрофизика, космология, радиоастрономия и астробиология», 1-5 августа 2006 г., Одесса, Украина;
  
• 
  Japan-Russia Workshop on «Study of Hydrodynamical Instability, Turbulence and Complex Flows by Using Advanced Technologies of Modeling on Supercomputers», November 18 to 20, 2008, Kobe, Japan.
  

Список публикаций приведен в конце автореферата, состоит из 6 пунктов и включает в себя 2 препринта, 2 статьи в журнале из списка ВАК, 1 статью в иностранном журнале, 1 статью в сборнике публикаций материалов международной конференции.

Результаты работы также докладывались и обсуждались на семинаре Института астрономии РАН под руководством д.ф.-м.н. Д.В. Бисикало и на семинарах Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН под руководством чл.-корр. РАН Ю.П. Попова и проф. М.П. Галанина.

Структура и объем диссертации
Диссертационная работа Луговского А.Ю. состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет страниц, включая рисунков и список литературы из н наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении содержится краткое описание предметной области диссертационной работы, обзор литературы, посвященной проблемам аккреционных звездных дисков и численным методам, используемым при математическом моделировании в современной астрофизике; обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи работы, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе описана физико-математическая постановка задачи об аккреционном звездном диске. В работе в рамках гидродинамического приближения рассмотрен аккреционный диск, находящийся в поле центрального гравитирующего тела. Предположено, что диск является оптически тонким, т.е. толщина диска много меньше его радиуса, поэтому задача рассмотрена в плоском двумерном случае. Самогравитация вещества диска не учтена. Газ является сжимаемым, идеальным и его поведение описано системой двумерных уравнений газовой динамики в переменных Эйлера в полярных координатах с уравнением состояния идеального газа.

Расчетная область представляет собой кольцо, внутри которого задано начальное распределение параметров аккреционного диска. Центральное гравитирующее тело в расчетную область не входит. На границе области поставлены “свободные” граничные условия или условия непротекания. В качестве начального состояния взято аналитическое решение, являющееся равновесным состоянием в двумерном случае. В качестве равновесного состояния взято распределения параметров с околокеплеровским или кеплеровским распределением скорости. Отмечено, что без внесения малых возмущений диск сохраняет свое состояние достаточно продолжительное время.

Для инициализации неустойчивости в равновесное состояние аккреционного диска внесены малые возмущения. Рассмотрено несколько вариантов задания таких возмущений в дисках с околокеплеровским и кеплеровским распределением скорости: синусоидальное возмущение азимутальной составляющей скорости в зоне максимальных значений плотности диска в различных интервалах по углу; возмущение углового момента в локальной области во внешней части аккреционного диска, которое может быть вызвано попаданием вещества с другим угловым моментом в аккреционный диск.

Показано, что для численного исследования мелкомасштабных турбулентных течений целесообразно использовать схему третьего порядка аппроксимации Роу-Эйнфельдта-Ошера с незначительной схемной диссипацией.

Ввиду большого объема вычислительной работы алгоритм распараллелен, и расчеты проведены на многопроцессорных вычислительных системах. Используемая схема Роу-Эйнфельдта-Ошера в связи с ее явностью удобна при реализации на многопроцессорных вычислительных комплексах.

В главе приведен алгоритм распараллеливания, основанный на декомпозиции области по углу. При реализации параллельного алгоритма использован интерфейс MPI (The Message Passing Interface), который является библиотекой функций, обеспечивающей взаимодействие параллельных процессов с помощью механизма передачи сообщений. Алгоритм протестирован на многопроцессорных вычислительных комплексах МВС-15000ВМ и МВС-6000IM, установленных в МСЦ РАН, а также на IBM eServer pSeries 690 (Regatta), установленном в МГУ им. М.В. Ломоносова.

Анализ времени расчетов на всех суперкомпьютерах показывает высокую эффективность распараллеливания, т.е. ускорения расчетов. Более того, ускорение расчетов наблюдается при увеличении числа процессоров вплоть до размерности сетки по углу, что является хорошим показателем, т.к. означает, что не происходит насыщения. Кроме этого, полученные зависимости ускорения расчетов от числа процессоров одинаковы для систем с различной архитектурой памяти (общей или распределенной), т.е. эффективность предложенного алгоритма подтверждается независимостью от архитектуры суперкомпьютеров. Использование многопроцессорных вычислительных комплексов позволило решить поставленные задачи за разумное время.

Третья глава посвящена описанию результатов численного решения задачи об аккреционном диске. Образование и эволюция разномасштабных возмущений в аккреционных дисках в двойных звездных системах является важной задачей гравитационной астрофизики. Основной интерес представляет изучение развития мелкомасштабных возмущений под воздействием различных факторов. Образование в аккреционных дисках крупных спиральных структур различной морфологии вызывает перераспределение энергии и углового момента в газе. Турбулентная вязкость и взаимодействие между крупномасштабными и мелкомасштабными возмущениями и вихрями может вносить в этот процесс значительный вклад. Особенностью задачи является наличие гравитационной силы, которая может изменять условия возникновения крупномасштабных структур. Кроме того, крупномасштабные вихревые структуры в аккреционных дисках могут зарождаться за счет сдвигового течения.

В главе рассмотрено возникновение в аккреционных звездных дисках с двумя различными начальными состояниями вихревых течений, образующихся вследствие внесения в начальное состояние малых возмущений различного типа.

Рассмотрен аккреционный диск с околокеплеровским распределением скорости. Расчетная область выбрана так, что по радиусу ее размер приблизительно в два раза превышает характерный размер диска, т.е. область сосредоточения основной массы диска. Плотность у границ на несколько порядков меньше ее значений в центральной зоне, что минимизирует влияние граничных условий.

С целью исследования устойчивости диска по отношению к малым возмущениям в равновесное состояние диска внесены синусоидальные возмущения азимутальной составляющей скорости в зоне максимальных значений плотности диска. Проведены серии расчетов с амплитудой возмущений от 1% до 20% от равновесной азимутальной скорости, с заданием возмущений в полосе шириной в одну или в две ячейки, с различной частотой возмущений и на различных сетках. Результаты расчетов показывают, что малые возмущения приводят к образованию крупных вихревых структур, при этом перестройке подвергается течение практически во всей области, хотя начальное возмущение задано лишь в малой ее части.

Большой интерес также представляет случай, когда возмущение в сдвиговом течении появляется в локальной области, близкой к внешней границе аккреционного диска. Приведено численное решение задачи, моделирующей развитие возмущения, задаваемого локально во внешней части равновесного аккреционного диска. Показано, что в результате образуются крупные структуры, распространяющиеся на весь диск.

Изучение завихренности показывает образование и существование на протяжении всего расчета крупных структур течения. Исследовано поведение крупных структур со временем. Показано образование такого физического эффекта, как дорожка Кармана, возникающая за крупными структурами при обтекании их вращающимся веществом диска.

Рассмотрен аккреционный диск с кеплеровским распределением скорости. Внешняя граница расчетной области проходит через центральную часть диска. Результаты расчетов с заданием синусоидального возмущения скорости и с заданием локального возмущения показывают качественное сходство с результатами предыдущих расчетов.

Четвертая глава посвящена исследованию возникающих в диске крупновихревых течений и физическому эффекту перераспределения углового момента в аккреционном звездном диске.

На примере расчета с внесением малых возмущений в области максимальных значений плотности для диска с околокеплеровским распределением скорости подробно рассмотрены свойства возникающих течений.

Показано, что со временем поведение системы выходит на квазистационарный режим, при котором кинетическая энергия вихревого движения слабо изменяется со временем, колеблясь вблизи почти постоянного значения, причем это значение постоянно для различных значений амплитуды начальных возмущений. Из результатов расчетов следует, что кинетическая энергия вихревого движения в квазистационарном режиме определяется начальной кинетической энергией и практически не зависит от энергии первичного возмущения. Это подтверждает предположение о развитии крупномасштабного вихревого движения в сдвиговом течении аккреционных дисков и подтверждает то, что после прохождения пика развития возмущений, вихревые структуры не исчезают, течение остается вихревым, и крупные структуры переносят угловой момент к внешним частям диска.

Исследовано изменение и перераспределение углового момента в возникающем течении. Показано, что в системе происходит значительное перераспределение момента вдоль радиуса, причем общий угловой момент в системе остается практически неизменным. Отмечено, что масса газа в системе также остается практически постоянной, т.е. перераспределение углового момента происходит не за счет потока вещества через границы.

Рассмотрено поведение энтропии, в частности, ее изменение со временем в системе. Показано, что энтропия в системе практически постоянна. С учетом отсутствия в рассматриваемой модели вязкости и теплопроводности, а также с учетом малой схемной вязкости используемого численного метода постоянство энтропии означает, что течение является практически адиабатическим, выделения большого количества тепла не происходит, следовательно, турбулентная вязкость мала и не может являться механизмом, с помощью которого происходит перераспределение момента. Таким образом, наблюдаемое в расчетах перераспределение момента связано с образованием крупных структур, и именно за их счет осуществляется перенос момента.

Исследован случай задания локального возмущения во внешней части диска с околокеплеровским распределением скорости. Показано, что движение крупных структур в аккреционном диске приводит к перераспределению углового момента. В области, содержащей крупные вихревые структуры вблизи внешней границы, идет интенсивная отдача углового момента, что приводит к сжатию внешней части диска. Во внутренней области значительно увеличивается угловой момент, что подтверждает увеличение внутренней аккреции.

При исследовании аналогичных вариантов задания возмущения для диска с кеплеровским распределением скорости также показано, что за счет крупных структур происходит значительное перераспределение суммарного углового момента в аккреционных дисках.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

1. 
   Построена физико-математическая модель течения вещества в аккреционном звездном диске. На основе аналитического решения выбрано специальное стационарное начальное состояние аккреционного звездного диска с околокеплеровским распределением скорости в двумерном случае, исключающее влияние граничных условий.
   
2. 
   Изучен процесс образования крупных вихревых структур в сдвиговом течении аккреционных звездных дисков. Показано, что малые возмущения, внесенные в начальное равновесное состояние аккреционного диска в сравнительно небольшой области, развиваются в крупные структуры, захватывая значительную часть расчетной области. Возникающее в результате течение является вихревым.
   
3. 
   Показано, что возникновение крупных структур приводит к значительному перераспределению суммарного углового момента в аккреционных дисках без заметного нагрева вещества, что, в отличие от других моделей, в большей степени соответствует наблюдениям.
   
4. 
   Создан программный комплекс, позволяющий эффективно решать задачи многомерной газовой динамики на многопроцессорных вычислительных системах с различной архитектурой. Созданный комплекс используется в качестве теста для определения и улучшения характеристик суперкомпьютеров в МСЦ РАН.
   

Публикации автора по теме диссертации

1. 
   Луговский А. Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Численные методы для моделирования развития турбулентности в аккреционных дисках. (M.: МАКС Пресс, 2003).
   
2. 
   Луговский А. Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Эволюция мелкомасштабных возмущений в аккреционных дисках. (M.: МАКС Пресс, 2005).
   
3. 
   Belotserkovskii O.M., Chechetkin V.M., Fortova S.V., Oparin A.M., Popov Yu.P., Lugovsky A.Yu., Mukhin S.I. The turbulence in free shear flows and in accretion discs. Astronomical & Astrophysical Transactions: The Journal of the Eurasian Astronomical Society, v. 25, issue 5 & 6, pp. 419 – 434, 2006.
   
4. 
   Велихов Е.П., Луговский А.Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Роль крупномасштабной турбулентности в перераспределении углового момента в аккреционных звездных дисках. Астрономический журнал, т. 84, №2, стр. 177-184, 2007.
   
5. 
   Belotserkovskii O.M., Chechetkin V.M., Fortova S.V., Oparin A.M., Popov Yu.P., Lugovsky A.Yu., Mukhin S.I. The turbulence in free shear flows and in accretion discs. “Investigations of Hydrodynamical Instability and Turbulence in Fundamental and Technological Problems by Means of Mathematical Modeling with Supercomputers“, Final Report of RFBR/JSPS Collaborative Research Program, ed. by O. Belotserkovskii, Y. Kaneda and I. Menshov, Nagoya University, Nagoya, Japan, p.229-241, 2007.
   
6. 
   Луговский А. Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Развитие крупномасштабной неустойчивости в аккреционных звездных дисках и ее влияние на перераспределение углового момента. Астрономический журнал, т. 85, №10, стр. 901-905, 2008.