Модуль вектора
жүктеу/скачать 319 Kb.
|
| ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и конец. 
МОДУЛЬ ВЕКТОРА Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора КООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Пусть на плоскости задана декартова система координат XOY.
Тогда вектор может быть задан двумя числами:  и 
Эти числа При таком определении вектора его модуль  , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями:
 и 
Нуль-вектор:  и 
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ЗАДАННОЙ ЕДИНИЧНЫМИ ВЕКТОРАМИ (ОРТАМИ) Пусть на плоскости задана декартова система координат при помощи единичных векторов Тогда вектор может быть задан следующим образом: 
Очевидно, что:  и 
При таком определении вектора его модуль  и 
Нуль-вектор: 
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены.
Все нуль-векторы считаются равными. СУММА ВЕКТОРОВ Суммой  векторов  и  называют вектор  , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов, источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу.
Правило треугольника Правило параллелограмма 
Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению: 
Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:  и 
Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям:  и 
Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению: 
Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:  и 
Вектор суммы двух векторов: 
Построение суммы нескольких векторов ясно из рисунка. 
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Произведением вектора на число называют вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину, равную  , и направление, совпадающее с направлением при > 0 и противоположное при < 0.
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ВЕКТОРЫ Вектор СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ НАД ВЕКТОРАМИ Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след. свойствами: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Координаты вектора суммы нескольких векторов удовлетворяют соотношениям:
Координаты вектора произведения вектора на число удовлетворяют соотношениям: 
Координаты противоположных векторов удовлетворяют соотношениям: 
Сумма нескольких векторов: 
Произведение вектора на число: 
Вектор, противоположный 
Скалярное произведение векторов и (обозначается  ) - скаляр, определяемый равенством  , где  - угол между векторами и , приведенными к общему началу:
Скалярное произведение векторов: 
Скалярное произведение векторов: 
ДОПОЛНЕНИЕ: ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН В ФИЗИКЕ. Векторами называются такие геометрические и физические величины, которые однозначно определяются отрезками с заданным положением, направлением и длиной независимо от системы отсчета и подчиняются правилам I – IV (см. далее). Вектор называется полярным в том случае, когда положение и направление изображающего его отрезка непосредственно дает положение и направление представляемой величины (радиус-вектор, скорость, ускорение, сила, импульс). Вектор называется осевым (аксиальным) в том случае, если соотношение между представляемой величиной и изображающим ее отрезком устанавливается посредством задания некоторой оси и определенного направления вращения вокруг этой оси. Принято, чтобы направление выбранного на оси отрезка составляло с осью вращения правый винт (угловая скорость, момент сил, вращательные импульсы). Длина отрезка – модуль вектора в определенном масштабе. Различают свободные, скользящие и связанные векторы: Свободные векторы можно произвольно переносить в любое другое параллельное положение, сохраняя при этом их направление и длину (напр., вектор скорости при поступательном движении тела). Скользящие векторы неотделимы от несущей их прямой, от так называемой линии действия, но вдоль этой прямой они могут перемещаться произвольным образом (напр., угловая скорость; сила, приложенная к твердому телу). Связанные векторы неотделимы от определенной точки, от так называемой точки приложения вектора (напр., скорость точки тела, движущегося произвольным образом). Правила выполнения операций над векторами: I. Два вектора, II. Вектор III. Вектор IV. Два вектора,  и  , имеющие общую точку приложения, складываются по правилу параллелограмма. Разность векторов:  .
Правила сложения применимы без ограничения к свободным векторам, к скользящим – только в случае наличия у линий действия векторов общей точки. Во всех остальных случаях действуют другие правила сложения (см., например, условие равновесия твердого тела). Физическая величина считается векторной, если она подчиняется правилам I – IV. В частности, такому требованию удовлетворяют две скорости, которым одновременно обладает одна и та же материальная точка, или угловые скорости твердого тела, одновременно вращающееся вокруг двух пересекающихся осей. жүктеу/скачать 319 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
.
) - вектор, начало и 
и 
в геометрии называют координатами вектора, а в физике – проекциями вектора на соответствующие оси координат.
и 
:
, а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями:
называется противоположным вектору 
. 
,
, 
,
, 
,
, 
,
.
получается из вектора 
: при m 0 – модуль в m раз больше, при m 0 – по правилу II/