Приложение 3 Теоретический материал, используемый для проведения курса «Тайны неевклидовой геометрии» Раздел Исторические сведения

Вообразим, что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м друг от друга и проведём через них две прямые a и b, причём так, что a образует с прямой АВ угол α=90º, а угол между прямыми b и АВ равен 89º59’59”. Иначе говоря, сумма двух внутренних односторонних углов α и β всего на 1 угловую секунду меньше 180º. Продолжим прямые a и b, пока они не пересекутся в точке C. В результате получится прямоугольный треугольник АВС, у которого угол А прямой, угол при вершине С равен γ и составляет 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину , где с=1 м. С помощью калькулятора нетрудно подсчитать, что . Следовательно длина катета АС составляет приблизительно (на самом деле чуть больше).

Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например, при астрономических подсчетах). Но проверить, что две указанные выше прямые a и b пересекутся на расстоянии 206 км от прямой АВ, совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку длиной более 200 км не представляется возможным. Использовать оптические приборы? но тогда надо добавить ещё один постулат: свет распространяется по прямой (а это уже не геометрия а физика). А если сумма углов α и β отличается от 180º ещё меньше чем на 1 угловую секунду?! Как видно пятый постулат не так прост и убедителен.

Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, старались исключить этот постулат из списка аксиом, т.е. доказать его как теорему с помощью остальных аксиом Евклида.

Гаусс обратился к теории параллельных в 1792 г. Сначала он надеялся доказать пятый постулат, но затем пришёл к мысли о построе­нии новой геометрии, которую назвал неев­клидовой. В 1817 г. в одном из писем учёный признался: «Я прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не мо­жет быть доказана». Но обнародовать эти идеи он не решился из боязни быть непонятым. Гаусс не опубликовал ни один из своих резуль­татов, хотя из его писем и личных бумаг видно, что он разработал основные положения неев­клидовой геометрии.[1]

Творцами новой геометрии стали также про­фессор Казанского университета Николай Ива­нович Лобачевский (1792—1856) и венгерский математик Янош Больяй (Бойаи) (1802—1860). В отличие от Гаусса они стремились распро­странить свои идеи, но большинство матема­тиков тогда ещё не были готовы их воспринять.[9]

Результаты Яноша Больяя были сжато изло­жены в 1832 г. в приложении к книге его отца, Фаркаша Больяя. Труд Я. Больяя «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)» обычно крат­ко называют «Аппендикс» (лат. «приложение»). Прочитав это сочинение, Гаусс написал свое­му ученику, математику Герлингу: «Я считаю молодого геометра фон Больяя гением первой величины». Однако в письме к Ф. Больяю он отозвался о сочинении Яноша гораздо сдер­жаннее: «Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну с того, что эту работу не должен хвалить, то ты, конечно, на мгновение пора­зишься, но иначе я не могу; хвалить её значило бы хвалить самого себя: всё содержание сочи­нения, путь, по которому твой сын пошёл, и результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими собственными достижениями, которые частично имеют давность 30 – 35 лет». Не найдя поддержки у современников, Я. Больяй перестал заниматься математикой. Он умер в состоянии глубокой депрессии за несколько лет до того, как неевклидова геомет­рия получила всеобщее признание.[8]

Лобачевский впервые опубликовал резуль­таты своих геометрических исследований в 1829 г. в работе «О началах геометрии». Затем он развивал эти идеи во многих трудах, изда­вавшихся не только на русском, но и на фран­цузском и немецком языках. Учёный смело писал о том, что наряду с геометрией Евклида существует другая геометрия, которую он на­звал воображаемой. Лишь опыт, считал он, мо­жет решить, какая из геометрий имеет место в реальном пространстве.[2]

Пятый постулат Евклида Лобачевский за­менил следующим: если дана прямая АВ и не лежащая на ней точкам, то через точку М в плоскости АВМ можно провести две прямые, параллельные АВ Приведём несколько теорем геометрии Лобачевского:

Сумма углов треугольника меньше 180°. Она изменяется при переходе от одного треуголь­ника к другому.

Не существует ни одной пары подобных треугольников.

Не через каждые три точки, не лежащие на прямой, можно провести окружность.

Не существует ни одного прямоугольника.

Эти утверждения казались современникам странными, нелепыми. Крупнейшие математи­ки России – М. В. Остроградский и В. Я. Буняковский выступили против новой геометрии. Критическое отношение коллег не сломило Ло­бачевского. Невзирая на отрицательные рецен­зии, насмешки, он продолжал исследования.

После смерти Гаусса были изданы письма, в которых он излагал свои взгляды на неевкли­дову геометрию и восторженно отзывался о сочинениях Лобачевского. Например, в 1846 г. Гаусс писал одному из друзей: «Лобачевский толкует о предмете как знаток, в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязан­ным обратить Ваше внимание на книгу "Гео­метрические исследования по теории парал­лельных линий", чтение которой непременно принесёт Вам большое удовольствие».

Вначале неевклидова геометрия казалась сказкой, в которой описан фантастический мир. Где применяется эта геометрия? Не содержит ли она противоречий? Творцы новой геометрии считали, что математические абстракции долж­ны выражать реальные свойства окружающего мира, и на основании опытов надеялись отве­тить на вопрос, какова геометрия физического пространства. Лобачевский, например, занялся непосредственным измерением «космических треугольников», рассчитывая с помощью дан­ных астрономии показать, что сумма их углов не равна 180°. Однако все отклонения от 180° оказались в пределах точности наблюдений. Тогда учёный высказал предположение, что его геометрия описывает микромир.[8]

Впоследствии математики решили пробле­му интерпретации неевклидовой геометрии, а физики использовали её результаты в своих исследованиях. И что примечательно, в осно­ве новых идей лежала теория поверхностей, созданная Гауссом. [4]

Гаусс много лет занимался геодезией: про­водил геодезическую съёмку Ганноверского королевства, измерял дугу меридиана. Он орга­низовывал полевые измерения, сам в них уча­ствовал, выполнял трудоёмкие вычисления. В результате он открыл новый раздел матема­тики – внутреннюю геометрию поверхностей. В 1828 г. Гаусс опубликовал «Общие исследо­вания о кривых поверхностях», где впервые было введено понятие гауссовой кривизны.

Исследования Гаусса продолжил Фердинанд Готлибович Миндинг (1806 – 1885), российский математик, немец по происхождению, работавший в Дерпте (ныне Тарту). Он изучил понятие кривизны. Поверхность, кривизна ко­торой равна нулю, есть простая или изогнутая плоскость. Поверхность, кривизна которой постоянна и положительна, может быть нало­жена на шар. Миндинг рассмотрел поверх­ность постоянной отрицательной кривизны – так называемую псевдосферу – и нашёл три­гонометрические соотношения в треуголь­никах на этой поверхности.[4]

Как оказалось, Лобачевский в книге «Вооб­ражаемая геометрия» вывел для треугольников те же самые тригонометрические формулы, что и Миндинг для треугольников на псевдосфере. Но сначала учёные не заметили этого совпаде­ния. Через много лет, в 1868 г., на него обратил внимание итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835 – 1900) и доказал, что геомет­рия ограниченной части плоскости Лобачев­ского справедлива для псевдосферы. Разъясне­ния, данные Бельтрами, помогли понять и признать неевклидову геометрию.

Бернхард Риман (1826 – 1866), математик из Германии, перешёл от изучения поверхностей к исследованию пространств. В июле 1854 г. в Гёттингенском университете в присутствии Гаусса он прочитал лекцию «О гипотезах, ле­жащих в основании геометрии». Глубокие и смелые мысли Римана, изложенные очень сжа­то, современники восприняли не сразу. Лекция была опубликована лишь в 1868 г., после его смерти. Понятие кривизны пространства у Римана – это обобщение гауссовой кри­визны для поверхности. Обращение кривизны в нуль во всех точках характеризует евклидово пространство. Геометрия двумерного простран­ства с постоянной положительной кривизной совпадает с геометрией на сфере, а геометрия пространства с постоянной отрицательной кривизной – с геометрией Лобачевского.

Открытия Гаусса, Лобачевского, Римана зна­меновали собой революцию в области челове­ческой мысли – преобразование физических воззрений на пространство и время. Уже в на­чале XX в. в трудах А. Эйнштейна, А. Пуанкаре, Г. Минковского была создана специальная тео­рия относительности, а также установлена её связь с геометрией Лобачевского. В 1916 г. Эйн­штейн построил общую теорию относитель­ности, основываясь на работах Гаусса о внут­ренней геометрии поверхностей и используя математический аппарат геометрии Римана.

Аксиома Лобачевского формулируется так: «Через точку, взятую вне прямой на плоскости, в этой плоскости можно провести более одной прямой, не пересекающей данную». Или: «Через точку, взятую вне прямой, в плоскости, определяемой ими, можно провести по крайней мере две, а следовательно, и бесчисленное множество, прямых, не пересекающих данную».

Введем понятие параллельных прямых по Ло­бачевскому. Для этой цели в плоскости Лобачев­ского возьмем прямую a'a и вне ее произвольную точку М (рис. 1). Согласно аксиоме Лобачевского, через точку М прохо­дит бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную. Воз­никает вопрос, какие из указанных прямых Лобачевский называет параллельными относи­тельно данной. Для выяснения этого вопроса из точки М на прямую a'a опустим перпенди­куляр MN, где N — основание перпендикуляра. Далее, в точке М к прямой MN построим перпен­дикулярную прямую m'm, что возможно на осно­вании аксиом абсолютной геометрии. Прямая m'm не пересекает прямой а'а, так как она с прямой а'а имеет общий перпендикуляр MN.

Рис. 1
Разделим все прямые проходящие через точку M на две группы. К первой группе отнесем прямые пересекающие прямую а'а. Ко второй группе отнесем прямые которые согласно аксиоме Лобачевского не пересекающие прямую а'а. Построим прямую MQ пересекающую прямую a'a правее точки N. Если мы начнём вращать прямую против часовой стрелки то точка Q будет перемещаться вправо по прямой а'а все дальше и дальше пока не наступит момент когда прямая MQ «оторвётся» от прямой а'а и перейдёт от прямых первой группы к прямым второй группы. Вот эту граничную прямую, которая является первой непересекающей а'а прямой (на чертеже Mb), Лобачевский и назвал прямой, парал­лельной относительно прямой a'a в точке М в направлении a'a, т. е. в направлении слева на­право. Коротко записывается так: b\\а в точке М в направлении a'a.

Взяв теперь точку Q слева от N на прямой а'а и заставив Q перемещаться по прямой а'а в направлении аа', получим еще одну параллельную прямую Mb', которая, по определению, будет па­раллельной в смысле Лобачевского в точке М от­носительно прямой а'а в направлении аа'. Коротко это запишем так: b'\\а' в точке М в на­правлении аа'.

Перпендикуляр MN будем называть стрелкой, а угол bMN — углом параллельности. Обозначим его через α, причем, этот угол одинаков в обоих направлениях и в соответствии с аксиомой Лобачевского угол α всегда является острым углом.

Рис. 2
Все прямые, проходящие через точку М, относительно прямой а'а (рис. 2) можно разде­лить на три группы. К первой группе отно­сятся прямые b и b', параллельные относительно прямой а'а, одна в одном направлении, другая — в другом. Их всего две. Ко второй группе от­носятся все прямые MQ, пересекающие прямую а'а и заполняющие два вертикальных угла, обра­зованных параллельными прямыми относительно прямой а'а, каждый из которых равен 2α. Таких прямых бесчисленное множество. К третьей группе отнесем все остальные прямые, заполняющие остальные два вертикальных угла. Таких прямых бесчисленное множество. Эти прямые относительно прямой а'а принято называть расходящимися или сверх- параллельными прямыми.

Нужно отметить что, две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, на плоскости Лобачевского не бу­дут параллельными, как в евклидовой геометрии, а будут расходящимися.

Необходимо обратить внимание на то, что определение параллельности одной прямой отно­сительно другой на плоскости Лобачевского да­ется локально, для одной точки в указанном на­правлении. Невольно возникает вопрос: если одна прямая параллельна другой в одной точке, бу­дет ли она параллельна ей во всякой другой сво­ей точке? В евклидовой плоскости такой вопрос не возникал: там это свойство вытекает из самого определения.[4]

Доказательство этой теоремы разобьем на две части. В первой докажем справедливость теоремы для всех точек прямой b, расположенных правее точки М, а во второй — для всех точек прямой b, расположенных левее точки М.

Рис. 3
Первая часть.

Нам достаточно установить, что любой луч из М', расположенный в правой полуплоскости относительно M'P' «ниже» прямой b, встречает прямую а. Пусть будет c такой луч (рис. 3). Возьмём на c произвольную точку Q и построим луч MQ. Так как для точки M выполняются условия аксиомы Лобачевского для прямых a и b, и луч MQ лежит в правой полуплоскости относительно MP «ниже» прямой b, то этот луч должен встретить прямую a в некоторой точке B. Поскольку луч c пересекает одну из сторон треугольника MPB, а именно сторону MB, то согласно аксиоме Паша он должен пересечь так же одну из двух других сторон этого треугольника. Но со стороной MP луч c не может иметь общей точки, так как MP лежит в левой полуплоскости относительно M'P'. Следовательно, луч c имеет общую точку со стороной PB, что и требовалось доказать.

Рис. 4

Возьмём произвольную точку M^*, лежащую на прямой b левее точки M (рис. 4) Пусть будет M^*P^* перпендикуляр к прямой a и a^* - какой-нибудь луч выходящий из точки A^*, расположенный в правой полуплоскости относительно A^*P^* ниже прямой b. Нам нужно доказать, что a^* имеет с прямой a общую точку. Возьмём на дополнении луча a^* произвольную точку Q и соединим её прямой с точкой М. По нашему предположению в совокупности прямых, проходящих через точку М и не встречающих а, прямая b является граничной. Поэтому прямая QM встречает прямую a в некоторой точке B, лежащей правее P. Заметим теперь, что луч а^* проходит в нутрии угла AA^*P^* через его вершину, следовательно, этот луч пересекает отрезок MP (Теорема. Если A и B – точки на разных сторонах угла, то всякая полупрямая, проходящая в нутрии этого угла через его вершину, пересекает отрезок AB и, обратно, всякая полупрямая, соединяющая вершину с одной из его точек отрезка AB, расположена в нутрии угла). Но тогда по аксиоме Паша луч a^* должен пересечь либо сторону MB, либо сторону P^*B треугольника MP^*B. Так как прямая a^* имеет с прямой MB общую точку Q, лежащую вне отрезка MB, то должно иметь место пересечение луча a^* со стороной P^*B. Таким образом, луч a^* и прямая a пересекаются, и тем самым теорема доказана.

Согласно доказанной теореме, мы будем гово­рить просто «прямая b параллельна другой пря­мой а в указанном направлении».

В евклидовой плоскости известно, что если прямая а параллельна прямой b, то и обратно — прямая b параллельна а. Это так называемое свойство взаимности в евклидовой плоскости вы­текает из определения параллельных прямых и особого доказательства не требует. Будет ли свой­ство взаимности выполняться в плоскости Лоба­чевского? Оказывается, будет. Докажем следующую теорему.

Рис. 5
Доказательство. Пусть прямая a\\b в некотором направлении. Нам нужно доказать, что прямая b параллельна прямой а в том же направлении.

Так как по условию прямая а параллельна прямой b, то а и b не пересекаются. Таким образом, чтобы убедиться в параллельно­сти прямой b по отношению к а, нужно установить, что b есть гра­ничная прямая среди прямых, проходящих через некоторую ее точку и не пересекающих а. В качестве такой точки возьмем точку В (рис. 5). Обозначим через луч прямой b, имеющий началом точку В и направленный в сторону параллельности прямой а к пря­мой b. Этот луч не пересекает прямую а. Нужно показать, что вся­кий другой луч с началом В, отклоненный от луча в сторону прямой а на произвольно малый угол α, встречает прямую а. Пусть задан угол α. Проведем через точку А луч , распо­ложенный от прямой а со стороны прямой b и составляющий с направлением параллельности прямой а угол α. Так как прямая а параллельна b, то луч должен встретить прямую b в некоторой точке B₁. Отложим на прямой а в сторону параллельности отрезок AA₁, равный отрезку ВВ₁. Так как АВ есть секущая равного наклона к прямым а и b, то тре­угольник BB₁A равен треугольнику AA₁B. Отсюда следует, что луч с началом В, проходящий через точку A₁, составляет с пря­мой b данный угол α в сторону прямой а, т. е. совпадает с лучом . Этот луч, по построению, пересекает прямую а. Итак, луч, проходящий через В и отклоненный от луча в сторону прямой а на произвольно малый угол, встречает эту прямую. Сле­довательно, прямая b параллельна прямой а. Тем самым те­орема доказана.
В евклидовой плоскости выполняется свойство транзитивности параллельных прямых: если а\\b, a b\\с, то а\\с. Будет ли это свойство выпол­няться в плоскости Лобачевского?

Теорема 3. Две прямые, параллельны третьей в одном и том же направлении, параллельны между собой в том же самом направлении.

Рис. 6
Доказательство. Пусть прямые а и b параллельны в одном и том же направлении к прямой с. Отсюда, как и выше, за­ключаем, что прямые а и b не могут пересекаться (в противном случае через общую их точку проходили бы две прямые, параллельные с в одном и том же направлении, что невозможно).

Чтобы доказать, что а и b параллель­ны, рассмотрим два случая (рис. 6).

1. Прямые а и b находятся с одной стороны от прямой с.

2. Прямые а и b находятся по разные стороны от прямой с. В первом случае одна из двух прямых a, b лежит во внут­ренней зоне плоскости, определяемой дру­гой прямой вместе с прямой с.Пусть, на­пример, b лежит во внутренней зоне отно­сительно а и с.

Возьмем на прямой а произвольную точку А и обозначим через луч прямой а, идущий из точки А в направлении параллельности прямых а и с. Нам нужно дока­зать, что луч является граничным в совокупности лучей при точке А, не пересекающих прямую b. Допуская обратное, предпо­ложим, что существует луч , который выходит из точки А в сто­рону параллельности (т. е. лежит со стороны параллельности от перпендикуляров из точки А к прямым b и с), расположен бли­же к прямой b, чем луч , но прямую b не пересекает. Од­нако луч не может тогда пере­сечь и прямую с, что противоречит параллельности прямых а и с, так как луч в этом случае не будет граничным в совокупности лучей, исходящих из A и не пересекающих прямую с. Обратимся ко второму случаю. Пусть а и b лежат по разные стороны от с; тогда b и с лежат по одну сторону от а. Проведем через произвольную точку А прямой а луч так, чтобы он был к прямым b и с ближе прямой а и проходил в сто­рону параллельности от перпендикуляров из точки А к прямым b и с. Так как прямые а и с параллельны, то луч пересечет прямую с, а вследствие параллельности прямых с и b этот луч пересечет и прямую b. Таким образом, в совокупности лучей, проходящих через A и не пересекающих прямую b, луч является граничным; следовательно, прямые а и b параллель­ны между собой (в том же направлении, в каком они парал­лельны прямой с). Теорема доказана.

Установленные предложения показывают, что хотя определение параллельности в геометрии Лобачевского довольно сложно, но совокупность прямых, параллельных данной прямой в определенном направлении, обладает теми же основными свойствами, что и совокупность параллельных прямых в евклидовой геометрии

Теперь мы рассмотрим некоторые свойства взаимного расположения параллельных и расходящихся прямых. Результаты, которые мы при этом получим, позволят нам вполне наглядно представить себе различие между параллельными и расходящимися прямыми.[5]

Отметим следующие две теоремы.

Теорема 4. Две прямые, перпендикулярные к третьей, являются расходящимися.

Доказательство усматривается непосредственно. В самом деле, то, что две прямые а и b, перпендикулярные в точках А и В к треть­ей прямой с, не имеют общей точки, известно нам как пред­ложение абсолютной геометрии. Но эти прямые и не параллельны, так как через точку А проходит бесконечно много прямых, не пере­секающих прямой b, и среди них прямая а не является граничной, а следовательно, не параллельна прямой b.

Рис. 7

В прямоугольных треугольниках ОАР и OBQ имеем: ОА = OВ вследствие выбора точки О, ОАР = OBQ по условию теоре­мы. Отсюда следует, что треугольник ОAР равен треуголь­нику OBQ. В частности, BOQ = AOP и, следовательно, отрезки ОР и OQ лежат на одной прямой PQ, к которой прямые а и b перпендикулярны. По теореме 4 эти прямые являются рас­ходящимися, что и нужно было установить.

Рис. 8
Доказательство. Даны две параллель­ные прямые а'а и b'b (направление параллельно­сти указано стрелками, (рис. 8). Докажем, что в направлении параллельности эти прямые асим­птотически сближаются, т. е. длина стрелки MN когда М перемещается в сторону параллельности, стремится к нулю. Для этого достаточно дока­зать, что для любого как угодно малого отрезка ε найдется такая стрелка M₁N₁ правее MN, для ко­торой выполняется неравенство M₁N₁ < ε.

Возьмем на прямой b'b произвольную точку М и опустим из нее на прямую а'а перпендикуляр MN, где N — основание перпендикуляра. Тогда MN будет стрелкой для параллельных прямых а'а и b'b. На этой стрелке отложим ε — произ­вольно малый отрезок, полагая, что MN > ε (в про­тивном случае теорема в первой своей части вы­полнялась бы). Пусть этим отрезком будет отре­зок PN, т. е. PN = ε. Ясно, что Р располагается между М и N. Теперь между точками Р и N на отрезке PN возьмем произвольную точку Q и че­рез эту точку относительно прямой а'а проведем две различные параллельные прямые с' и с, одну в направлении аа', другую в направлении а'а. На основании свойства транзитивности все три пря­мые а, b, и с будут параллельны между собой. Далее, прямая с' обязательно пересечет прямую b'b в некоторой точке К, так как с\\b в точке Q. Теперь на прямой b'b от точки R вправо отложим отрезок RM₁ равный отрезку QR, и из точек R и M₁ на прямую а'а опустим перпендикуляры RS и M₁N₁. Соединим точку S прямыми с точками Q и М₁. Тогда ∆QRS = ∆M₁RS, так как эти треугольники имеют по две равные стороны (QR = RM₁ по построению, RS — общая) и по равному углу, заключенному между этими сторонами (QRS = M₁RS, как углы параллель­ности, имеющие общую стрелку). Известно, что в равных треугольниках против равных углов лежат и равные стороны, поэтому QS = SM₁. А тогда прямоугольные треугольники QNS и M₁N₁S₁ тоже будут равны между собой, так как они имеют по равной гипотенузе (QS = SM₁ как только что доказано) и по равному острому углу (NSQ = N₁SM₁ как углы, дополняющие равные углы QSR и RSM₁ до прямых углов). Отсюда M₁N₁ = QN как катеты двух равных прямоугольных треугольников, лежащие против равных углов. Но QN < ε, следовательно, M₁N₁ < ε и асимпто­тическое сближение параллельных прямых а'а и b'b в сторону параллельности доказано.

Для доказательства второй части теоремы рассмотрим полупрямые b' и с', выходящие из их общей точки R. Эти полупрямые безгранично расходятся одна относительно другой, тогда пря­мые b' и а' будут тоже расходиться. Следователь­но, b'b и а'а в сторону, противоположную парал­лельности, безгранично расходятся. Теорема до­казана.

Доказательство ведется методом от противного. Предположим, что, α + β не меньше 2d, тогда одно из двух: или α + β = 2d, или α + β > 2d. Покажем, что и то и другое приводит к логи­ческому противоречию.

Рис. 9

В евклидовой плоскости угол параллельности есть всегда величина постоянная, равная прямому углу. В плоскости Лобачевского угол параллельности есть функция стрелки, причем, как это ис­следовал еще сам Лобачевский, эта функция мо­нотонно убывает, а именно: с возрастанием стрел­ки угол параллельности убывает и, обратно, с убыванием стрелки угол параллельности возра­стает. Если величину стрелки обозначим через х (рис. 10), то угол параллельности будет некото­рой функцией π(х).[1]

Можно было бы доказать, что всякий острый угол, как бы мал он ни был, всегда мож­но рассматривать как угол параллельности, соот­ветствующий некоторой стрелке (на доказатель­стве этой теоремы для краткости останавливаться не будем). Любой острый угол имеет свою стрелку.

Рис. 10

Другими словами, если α — произвольный острый угол (он может быть взят как угодно ма­лым), то всегда найдется отрезок h, который можно принять за стрелку, для которой угол α будет углом параллельности, т. е. α=П(h).

Функция П(х) называется функцией Лобачев­ского. На основании предыдущего эта функция обладает следующими свойствами:

1. 
   П(х) определена для всех положительных значений х;
   
2. 
   П(х) монотонно убывающая функция, при­нимающая все промежуточные значения от 0 до ;
   
3. 
   и .
   

Для П(х) Лобачевский нашел аналитическое выражение, согласно которому

,

где x — величина стрелки, k — некоторая кон­станта.

Легко проверить, что аналитическое выраже­ние функции Лобачевского удовлетворяет всем трем указанным выше свойствам.

«Воображаемую геометрию» в своем пред­смертном сочинении Лобачевский назвал «Пан-геометрией», т. е. «всеобщей геометрией», имея при этом в виду, что евклидова геометрия выте­кает из его «воображаемой» геометрии как част­ный (вернее, предельный) случай.[2]

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию Лобачевского

,
Непосредственным вычислением убеждаемся, что

.

Следовательно, , если х — достаточ­но малая величина. Отсюда делаем вывод: про­странство Лобачевского, где наряду со всеми аксиомами абсолютной геометрии выполняется аксиома Лобачевского, для достаточно малых об­ластей как угодно мало отличается от евклидова пространства, где наряду со всеми аксиомами абсолютной геометрии выполняется V постулат Евклида.

Таким образом, евклидову геометрию мы мо­жем рассматривать как предельный случай гео­метрии Лобачевского, когда стрелка по величине стремится к нулю.

Есть еще один случай, когда пространство Лобачевского превращается в евклидово простран­ство. Рассмотрим постоянную Лобачевского k в формуле .

Эта постоянная может принимать любые по­ложительные значения между 0 и ∞, и для каж­дого такого значения будет существовать свое, пространство Лобачевского. Эти пространства не одинаковы. Они будут отличаться друг от друга степенью отклонения от евклидова пространства; причем, чем меньше значение k, тем больше про­странство Лобачевского отличается от евклидова пространства, и, обратно, чем больше k, тем меньше пространство Лобачевского отличается от евклидова.

Действительно, заставим в формуле постоянную Лобачевского k стре­миться к бесконечности, тогда в пределе полу­чим

.

Выходит, что если постоянная Лобачевского k = ∞, то , и пространство Лобачевско­го будет вести себя как евклидово пространство (в этом пространстве угол параллельности всегда равен прямому).

В евклидовой плоскости две параллельные прямые могут иметь сколько угодно общих пер­пендикуляров. В плоскости Лобачевского две прямые не могут иметь больше одного общего пер­пендикуляра. . [5]

Теорема 9. Две расходящиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, и притом единствен­ный, от которого они безгранично расходятся од­на относительно другой в обе стороны, т. е. рас­стояние точки, взятой на одной из расходящихся прямых, до другой прямой по мере удаления ее от общего перпендикуляра неограниченно возра­стает.

Рис. 11
Доказательство. Раньше было доказа­но, что любые две прямые в плоскости не могут иметь больше одного общего перпендикуляра. Следовательно, этому требованию подчиняются расходящиеся прямые. Таким образом, доказа­тельство теоремы состоит из двух частей. В пер­вой части доказывается существование общего перпендикуляра для расходящихся прямых, а во второй – расходимость расходящихся прямых одна относительно другой в ту и другую сторону от их общего перпендикуляра.

Доказательство первой части. Пусть а'а и b'b — данные расходящиеся прямые. Возьмем на одной из них, например, на прямой а'а, произвольную точку М и через нее проведем прямую с, парал­лельную b в направлении b'b (слева направо) и прямую с', параллельную b' в направлении bb' (рис. 11), т. е. с\\b и с'\\b' (направление, параллелизма указано стрелками).

Обозначим углы сМа и с'Ма' соответственно через α и β. Сумма этих углов по построению не может равняться развернутому углу или превос­ходить его, т. е. α + β <2d.

Для углов α и β возможны три случая: 1) оба угла острые; 2) один острый, другой прямой; 3) один острый, другой тупой. Другие случаи от­падают. Например, оба эти угла не могут, скажем, быть одновременно прямыми или тупыми, так как в этих случаях α + β ≥ 2d, чего быть не может.

Будем считать, как показано на рисунке (рис. 11) , что углы α и β – оба острые и не равны друг другу (остальные случаи рассмотрите само­стоятельно). Для определенности положим, что α < β. Как известно (об этом говорится выше), вся­кий острый угол можно рассматривать как угол параллельности некоторой существующей стрел­ки. Обозначим стрелку угла α через h₁, a стрелку угла β через h₂, тогда будем иметь α = П(h₁) и β = П(h₂).

Поскольку угол параллельности есть монотон­но убывающая функция стрелки, то из соотношения α < β вытекает, что h₁ > h₂ Отложим на пря­мой а'а вправо и влево от точки М отрезки MQ = h₁ и МР = h₂. Теперь в точках Q и P к пря­мой а'а восставим перпендикуляры d и d'. Тогда по построению d \\ с и d' \\ с'.

Далее, из точки R, которая является середи­ной отрезка PQ, опустим на прямую b'b перпен­дикуляр RS, где S – основание перпендикуляра. Проведем через точку R прямые l и l', параллель­ные прямым b (в направлении b'b) и b' (в направ­лении bb'), т. е, l\\b и l'\\b'. Докажем, что пря­мая RS, будучи перпендикулярной к прямой b'b, перпендикулярна и к прямой а'а. Для этого рас­смотрим углы с общей вершиной в точке R. Ока­зывается, они равны, т. е. lRa = l'Ra' и lRS = l'RS. Тогда смежные углы SRa и SRa' как равносоставленные, равны между собой, т. е. SRa = SRa'. Следовательно, эти углы прямые. Таким образом, RS является общим перпендику­ляром для расходящихся прямых а и а', что и требовалось доказать.

Доказательство второй части. Остается, нако­нец, доказать, что расходящиеся прямые безгра­нично расходятся одна относительно другой впра­во и влево от своего единственного перпендику­ляра.

Рис. 12
Через точку R – основание общего перпенди­куляра – проведем луч с, параллельный лучу b (рис, 12). Лучи а и с сходящиеся, так как имеют общую точку R. Следовательно, в сторону остро­го угла cRa они безгранично расходятся один относительно другого. Но луч с, будучи паралле­лен лучу b, не может пересекать b, а значит, лучи а и b тем более будут безгранично расходиться один относительно другого. Действительно, если мы из точки М, взятой справа от S на луче b, опустим на прямую а'а перпендикуляр MN, то он пересечет луч с в точке Q. Ясно, что точка Q на­ходится между М и N. Так как при перемещении точки М вправо по лучу b отрезок NQ растет без­гранично, то отрезок NM, который всегда больше NQ, тем более будет расти неограниченно. Теоре­ма доказана.

2.2. Свойства треугольников. Четырехугольник Саккери
Признаки равенства треугольников.

Понятие треугольника и определения элементов треугольника, известные из курса геометрии средней школы, относятся к абсолютной геомет­рии, поэтому они являются также понятиями геометрии Лоба­чевского. Все теоремы и утверждения о треугольниках, которые в школьном курсе геометрии доказываются без помощи аксиомы параллельных прямых, т. е. используя только аксиомы абсолют­ной геометрии, имеют место также в геометрии Лобачевского. К этим теоремам относятся в первую очередь признаки равен­ства треугольников, в частности прямоугольных треугольников, и теоремы о соотношениях между сторонами и углами треуголь­ника.

Рассмотрим сначала три теоремы, выражающие основные признаки равенства треугольников, они такие же как и в евклидовой геометрии. . [6]

Теорема 10. (Первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соот­ветственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 11. (Второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольни­ка соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней уг­лам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 12. (Третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Так же как и в евклидовой геометрии, эти теоремы широко используются в геометрии Лобачевского.

Известно, что в евклидовой геометрии сумма внутренних углов треугольника есть величина постоянная и равна 2d. В плоскости Лобачевского это не так.

Теорема 13. Сумма внутренних углов треугольника на плоскости Лобачевского есть величина переменная (в зависимости от длины стороны) и всегда меньшая 2d.

Для доказательства разобьем эту теоремы на две. В первой докажем, что сумма углов треугольника меньше чем 2d. Во второй, что сумма углов треугольника есть величина переменная.

Теорема 13-1. Сумма углов треугольника не больше двух прямых.

Рис. 13
Доказательство. Будем доказывать методом от противного. Предположим, что сумма углов треугольника ABC больше двух прямых т.е. 2d + φ. Пусть BAC = α – наименьший угол этого треугольника. Проведем медиану AD противоположной стороны и откладываем отрезок DB₁ равный этой медиане. Из равенства треугольников и выводим, что DB₁C = DAB, DCB₁ = DBA. Таким образом в треугольнике (назовём его первым выводным треугольником) сумма углов равна так же 2d + φ, сумма двух углов с вершинами в конечных точках удвоенной медианы исходного треугольника равна α, а наименьший угол . Из первого выводного треугольника получаем аналогичным построением второй выводный: берём наименьший угол, проводим медиану противоположной стороны и т.д. В полученном таким образом втором выводном треугольнике сумма углов равна по-прежнему 2d + φ, сумма двух углов с вершинами в конечных точках удвоенной медианы первого выводного треугольника , а наименьший угол . Продолжая этот процесс далее, получаем ряд выводных; в n-м треугольнике сумма углов равна 2d + φ, а сумма углов с вершинами в концах удвоенной медианы (n - 1) – го выводного треугольника . Если взять n достаточно большим, то можно сделать меньше φ, т.е. третий угол этого треугольника будет больше 2d; получили противоречие.

Сумма внутренних углов треугольника не может равняться 2d, так как отсюда сразу выполнялся бы V постулат евклидовой геометрии, чего на плоскости Лобачевского быть не может.

Значит, из доказанной теоремы 13-1 и утверждения сделанного выше, следует, что сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского менее 2d.

Теорема 13-2. На плоскости Лобачевского сумма углов треугольника есть величина переменная.

То есть разные треугольники имеют, вообще говоря, и разные суммы углов.

Доказательство. Предположим, что сумма внутренних углов треугольника на плоскости Лобачевского есть величина постоянная. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 14). Обозначим величины его углов через α, β и γ. Тогда α + β + γ = m, где m – величина постоянная для всех треугольников. Возьмём на стороне AB, между A и B, произвольную точку D и соединим её прямолинейным отрезком с точкой C.

Рис. 14
Треугольник ABC разобьем на два треугольника ACD и CDB. Обозначим углы этих треугольников через γ₁, δ₁, γ₂, δ₂, причём, как видно из рис. 14 , γ₁ + γ₂ = γ и δ₁ + δ₂ = 2d. Далее получим

α + δ₁ + γ₁ = m, β + δ₂ + γ₂ =m.

Сложив эти равенства, найдем

α + δ₁ + γ₁ + β + δ₂ + γ₂ =2m

или

α + β + (δ₁ + δ₂) + (γ₁+ γ₂) =2m,

откуда

α + β + γ + 2d = 2m.

Но

α + β + γ = m

Следовательно,

m + 2d = 2m

или

m = 2d.

Таким образом,

α + β + γ = 2d,

чего на плоскости Лобачевского быть не может. Значит, на плоскости Лобачевского сумма внутренних углов треугольника является величиной переменной. Теорема доказана.
Из теоремы 13, как следствие, вытекает следующая теорема.

Теореме 14. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника на плоскости Лобачевского меньше 4d.

Из перечисленных выше теорем следует, что на плоскости Лобачевского не существует прямоугольников, а следовательно, и квадратов. . [4]

Если построить прямую, симметричную прямой a относительно b, то получится фигура, схематически изображенная на рис. 15. Эта фигура представляет собой своеобразный «четырехугольник», стороны и диагонали которого параллельны между собой в направлениях указанных стрелками.

Рис. 15

Естественно, что такая фигура аналога себе в евклидовой геометрии не имеет.
Теорема 15. На плоскости Лобачевского не существует подобных треугольников с коэффициентом подобия, отличным от единицы.

Рис. 16
Доказательство. Проведем доказатель­ство методом от противного. Предположим, что имеется два подобных треугольника ABC и A₁B₂C₃ разной величины (рис. 16). Для определенности положим, что первый треугольник боль­ше второго.

Так как ∆ABC подобен ∆A₁B₂C₃, то углы у них соответственно равны, обозначим их через α, β и γ. Теперь на стороне АС вниз от точки С отло­жим отрезок СA₂ = C₁A₁ - Через A₂ проведем пря­мую A₂B₂, образующую со стороной АС угол α. После этого построения СA₂В₂ = α. По аксиоме Паша прямая A₂В₂, пересекая сторону АС тре­угольника АСВ, обязательно пересечет еще одну сторону этого треугольника. Пересечь сторону АВ прямая A₂В₂ не может, так как она расходится относительно ее. Следовательно, прямая A₂В₂ пе­ресекает сторону ВС в точке B₂.

Полученный треугольник A₂B₂C равен треуголь­нику A₁B₁C₁, так как они имеют равные стороны (СA₂ = C₁A₁ по построению) и равные прилежащие к этим сторонам углы (СA₂B₂ = С₁A₁В₁ = α по построению и АСВ = A₁C₁B₁ = γ по усло­вию). В равных треугольниках против равных сто­рон лежат и равные утлы, следовательно, СВ₂A₂ = С₁B₁А₁ = β (так как СA₂ = С₁A₁).

Рассмотрим теперь образовавшийся четырех­угольник АВВ₂А₂. Подсчитаем сумму его внут­ренних углов:

α + β + (2d - β) + (2d - α) = 4d

Получилось, что сумма внутренних углов четы­рехугольника АВВ₂А₂ равняется 4d, чего на пло­скости Лобачевского быть не может. Получили логическое противоречие, которое показывает, что на плоскости Лобачевского не может быть подоб­ных треугольников различной величины.
Из доказанной теоремы как простое следствие вытекает, что на плоскости Лобачевского тре­угольник вполне определяется тремя его углами. Или: если на плоскости Лобачевского три угла одного треугольника равны соответственно трем углам другого треугольника, то такие треуголь­ники равны.

На евклидовой плоскости, как известно, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность. В плоскости Лобачевского дело об­стоит не так.

Теорема 16. На плоскости Лобачевского суще­ствуют треугольники, вокруг которых нельзя опи­сать окружность.

Рис. 17
Доказательство. Для доказательства тео­ремы достаточно построить хотя бы один треуголь­ник ABC, вокруг которого нельзя описать окруж­ность. На рис. 17 дается построение такого тре­угольника. Рассмотрим на плоскости Лобачевского две параллельные прямые а'а и b'b. Из произволь­ной точки М, взятой на прямой b'b, опустим на прямую а'а перпендикуляр MN, тогда bMN = П (MN), т. е. является углом параллельности, соответствующим стрелке MN. Теперь на стрелке MN между точками М и N возьмем произвольную точку A и для нее построим симметричные точки В и С, приняв за оси симметрии соответственно прямые а'а и b'b. Соединив точки А, В и С прямыми, получим треугольник ABC, вокруг которого нельзя описать окружность. Дей­ствительно, центр окружности, описанной вокруг треугольника, должен лежать на пересечении пер­пендикуляров, восставленных к серединам ка­ких-нибудь двух сторон треугольника. Но для по­строенного треугольника ABC прямые а'а и b'b, являясь перпендикулярами к сторонам АВ и АС в их серединах, не пересекаются между собой (а'а \\ b'b). Таким образом, центра описанной окруж­ности не существует и, следовательно, не суще­ствует и самой окружности. Теорема доказана.

На плоскости Лобачевского можно построить треугольник, у которого два перпендикуляра к двум сторонам его, проходящие через середины этих сторон, будут расходящимися прямыми. Вокруг такого тре­угольника также нельзя описать окружность. . [1]

В порядке упражнения не мешает также построить на плоскости Лобачевского треугольник, вокруг которого можно было бы опи­сать окружность. Для этого треугольник надо по­строить так, чтобы два перпендикуляра, выходя­щие из середины двух каких-нибудь его сторон, были заведомо сходящимися прямыми.

Выпуклый четырехугольник с двумя прилежащими к основанию прямыми углами и равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери.

Рис. 18
Четырехугольник Саккери обладает следующими свойствами:

1. 
   В четырехугольнике Саккери ABCD с основанием AB диагонали равны т.е. AC = BD.
   

Доказательство. Пусть ABCD - четырехугольник Саккери с основанием AB. Треугольники ABD и BAC равны по двум сторонам: AD = = BC по определению, AB = BA как общая сторона, A = B т.к. они прямые. Значит AC = BD что и требовалось доказать.

2. 
   В четырехугольнике Саккери ABCD с основанием AB, C = D и эти углы острые.
   

Доказательство. Пусть ABCD - четырехугольник Саккери с основанием AB. ∆BDC = ∆ACD по трём сторонам: AD = BC по определению, DC = CD как общая сторона, AC = BD по ранее доказанному свойству 1. Отсюда следует, что C = D.

По теореме о сумме углов выпуклого четырехугольника в четырехугольнике ABCD A + B + C + D < 4d. Но A + B = 2d, поэтому C + D < 2d, и так как С = D, то C = D < 2d.

3. 
   Прямая, проходящая через середины основания и противоположной стороны четырехугольника Саккери, перпендикулярна к этим сторонам.
   

Доказательство. Пусть E и F соответственно середины основания AB и стороны CD четырехугольника Саккери ABCD (рис. 19). Проведем отрезки CE и DE и рассмотрим прямоугольные треугольники AED и BEC.

Рис. 19
Они равны по двум сторонам и углу между ними: A = B т.к. они прямые, AD = = BC по определению, AE = BE по построению. Поэтому ED = EC. Отсюда следует, что треугольник ECD равнобедренный, следовательно, его медиана EF является высотой треугольника. Таким образом EFCD.

Проведём теперь отрезки AF и BF и рассмотрим треугольники DAF и CBF. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: D = = C т.к. по определению, AD = BC по определению, DF = CF по построению. Поэтому AF = BF. Отсюда следует, что треугольник AFB равнобедренный, поэтому его медиана EF является высотой. Итак EFAB и EFCD.
2. 3. Эквидистанта. Окружность. Орицикл
Эквидистанта есть геометрическое место точек, расположенных по одну сторону от прямой и на одинаковом расстоянии от неё. Прямая называется базой эквидистанты, перпендикуляр, проведенный из любой точки эквидистанты на базу, - высотой. Каждую прямую, очевидно, можно рассматривать как эквидистанту с высотой равной нулю.

Если на евклидовой плоскости, так же как и на плоскости Лобачевского, ввести понятие эквидистанты, то на евклидовой плоскости эквидистанта – это прямая, параллельная её базе. В отличии от этого, на плоскости Лобачевского эквидистанта есть кривая линия. . [9]

Теорема 17. На плоскости Лобачевского эк­видистанта есть линия, имеющая с прямой не больше двух общих, точек.

Рис. 20

Доказательство. Пусть на плоскости Лобачевского дана прямая a'a и относительно неё построена эквидистанта (рис. 20).

Доказательство будет идти методом от противного. Предположим, что эквидистанта l'l с некоторой прямой b'b имеет более двух общих точек. Рассмотрим три из них: P, M и N. Опустим из этих точек на ось эквидистанты a'a перпендикуляры PP₁, MM₁ и NN₁. Ясно, что PP₁ = MM₁ = NN₁ (так как все точки эквидистанты равноудалены от своей оси). Получили два четырехугольника Саккери PP₁M₁M и MM₁N₁N: углы при нижних основаниях у них прямые, а боковые стороны равны. Но по свойствам четырехугольника Саккери углы при верхнем основании острые и равные. Пусть углы при верхнем основании первого четырехугольника будут равны α, а воторго – β. Тогда, с одной стороны, α + β < 2d, как сумма двух острых углов. С другой стороны, α и β образуют развёрнутый угол с вершиной в точке M и, следовательно, α + β = 2d.

Итак, одна и та же сумма углов α и β и нравна 2d и не равна ей. Логическое противоречие. Следовательно, эквидистанта ни с какой прямой не может иметь больше двух общих точек, что и требовалось доказать.
Получается любопытная картина. Если бы на плоскости Лобачевского устанавливали рельсы со шпалами одинаковой длины и если бы ось од­ного рельса была прямой линией, то ось другого рельса должна была бы быть эквидистантой, т. е. кривой линией.

В

Рис. 21

евклидовой плоскости сторона равносторон­него вписанного в круг шестиугольника равняет­ся радиусу. Какова же она будет в плоскости Ло­бачевского? Положим, что в плоскости Лобачев­ского сторона вписанного шестиугольника равняет­ся радиусу, т. е. a₆=R (рис. 21). Тогда треуголь­ник ОАВ будет равносто­ронний и по абсолютной геометрии все три угла его должны быть одинаковы, но АОВ равняется ¹/₆ части окружности, т. е. ^π/₃, а тогда сумма внут­ренних углов треугольника АОВ будет равна 2d, чего в плоскости Лобачевского быть не может. Следовательно, в плоскости Лобачевского хорда одной шестой части окружности не равняется ра­диусу.

Полученные результаты в свое время толкали ученых на опытную проверку геометрии Лобачев­ского. Например, чтобы ответить на вопрос, ка­кая двухмерная геометрия (евклидова или Лоба­чевского) выполняется на хорошо отполирован­ной материальной плоскости, надо начертить окружность и раствором циркуля, равным радиу­су, сделать на ней шесть засечек. Если хорда, со­единяющая первую засечку с шестой, равна ра­диусу, то плоскость будет евклидовой, если же эта хорда не будет равна радиусу, то плоскость бу­дет неевклидовой плоскостью Лобачевского.

Однако такого рода экспериментальные «до­казательства» выходят за рамки геометрии и с точки зрения логики оставляют вопрос откры­тым.

В геометрии изучаются линии постоянной кривизны, т. е. такие линии, которые скользят сами по себе без изгибания (деформации). В ев­клидовой плоскости, как известно, такими лини­ями являются прямая и окружность. В плоскости же Лобачевского таких линий больше. Кроме прямой и окружности, там имеются орицикл и эквидистанта, каждая из которых является кри­вой линией, причем линией постоянной кривизны. . [5]

Р

ассмотрим в плоскости Лобачевского так называемый эллиптический пучок прямых (пучок сходящихся прямых), т. е. совокупность прямых плоскости, проходящих через одну и ту же точ­ку О, называемую центром пучка. Теперь на про­

извольной прямой (оси) пучка возьмем произ­вольную точку М, лишь бы она не совпадала с точкой О, и из нее ко всем прямым пучка будем проводить прямые равного наклона (рис. 22), Тогда, по определению, геометрическим местом точек пересечения прямых равного наклона, вы­ходящих из точки М, с прямыми эллиптического пучка О и будет окружность с центром в точ­ке О. Эта окружность, оказывается, обладает следующими свойствами.

Рис. 22 1. Окружность можно рассматривать как перпендикулярное сечение эллиптического пучка О (О — центр пучка), т. е. каждая прямая пуч­ка О является перпендикуляром к окружности с
центром в точке О.

2. Прямая с окружностью может иметь не больше двух общих точек.

1. 
   Окружность есть замкнутая линия.
   
2. 
   Все окружности одного и того же радиуса.
   

при наложении всеми точками совпадают между собой, причем радиусом называется длина отрезка от точки О до любой точки, взятой на

окружности.

3. 
   Окружность можно рассматривать как геометрическое место точек, равноудаленных от центра соответствующего эллиптического пучка который по отношению к окружности называется центром окружности.
   
4. 
   Окружность может скользить сама по себе без изгибания (деформации), т. е. является линией постоянной кривизны.
   

Д
Рис. 23
ля построения орицикла рассмотрим пара­болический пучок прямых, т. е. совокупность па­раллельных между собой прямых (с общим на­правлением параллелизма). Одну из этих пря­мых примем за ось. Из произвольной точки М этой оси по отношению ко всем прямым данного параболического пучка будем проводить прямые равного наклона (рис. 23). Геометрическое место точек пересечения прямых равного наклона, вы­ходящих из точки М, с прямыми параболического пучка составит некоторую линию, которая по оп­ределению и будет называться орициклом.

Ниже приведены некоторые основные свойства орицикла. . [4]

1. 
   Орицикл можно рассматривать как перпендикулярное сечение параболического пучка, т. е. каждая прямая пучка является перпендикуляром к орициклу.
   
2. 
   Всякая прямая с орициклом может иметь не более двух общих точек.
   
3. 
   Орицикл есть замкнутая линия.
   
4. 
   Все орициклы при наложении друг на дру­га совпадают.
   
5. 
   Орицикл является линией постоянной кривизны.
   

Возьмем теперь гиперболический пучок пря­мых, т. е. совокупность всех прямых, располо­женных в одной плоскости и перпендикулярных одной и той же прямой, называемой базой пуч­ка. Это будет пучок расходящихся прямых (прямые, имеющие общий перпендикуляр, расхо­дятся).

Если теперь из произвольной точки М, взятой на произвольной прямой (оси) гиперболического пучка, будем проводить прямые равного наклона относительно всех прямых рассматриваемого пучка, то геометрическое место точек пересечения прямых равного наклона с прямыми гиперболи­ческого пучка образует некоторую линию, кото­рую принято называть эквидистантой (рис. 24).

Рис. 24

Можно было бы доказать следующие свойства эквидистанты.

1. 
   Эквидистанту можно рассматривать как перпендикулярное сечение гиперболического пучка, т. е. каждая прямая пучка является перпендикуляром к эквидистанте.
   
2. 
   Всякая прямая с эквидистантой может иметь не более двух общих точек.
   
3. 
   Эквидистанта есть незамкнутая линия.
   
4. 
   Эквидистанту можно рассматривать как геометрическое место точек, расположенных по одну сторону от некоторой прямой (базы) и равноудаленных от нее.
   

Окружность и эквидистанта являются, как говорят, однопараметрическими кривыми, так как их кривизна и свойство быть совмещенными (конгруэнтными) связаны с одним параметром

Для окружности этим параметром является ра­диус, а для эквидистанты – длина перпендику­ляра, опущенного из любой точки эквидистанты на ее базу. Орицикл напоминает прямую. Ори­циклы, как и прямые, не связаны параметрами, и все они, как и прямые, при совмещении слива­ются друг с другом.

В плоскости Евклида прямую можно рассмат­ривать как предельное положение окружности, если ее центр удалять по нормали в бесконеч­ность. В плоскости Лобачевского предельным положением окружности является орицикл, т. е. рассмотренная выше кривая, имеющая с прямой не более двух общих точек.

Выше говорилось, что существуют треуголь­ники, вокруг которых нельзя описать окруж­ность. Но можно было бы доказать (сделайте это самостоятельно), что в этих случаях вокруг тре­угольника можно описать или орицикл или эквидистанту. Таким образом, на плоскости Лоба­чевского имеет место следующая теорема, кото­рую мы дадим без доказательства.

Теорема 18. Вокруг любого треугольника мож­но всегда описать линию постоянной кривизны — либо окружность, либо орицикл, либо эквидистанту.

жүктеу/скачать 1.96 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: