С. М. Розов Введение. Предмет Естествознания Естествознание
Теории бифуркаций и катастроф
жүктеу/скачать 11.64 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Обычный пример катастрофы
- Без математической теории бифуркаций и катастроф понимание динамики поведения сложных нелинейных системам и управление ими практически невозможно.
- Сложные динамические системы
- В неравновесных условиях вблизи точки бифуркации
- Системы с большим числом взаимодействующих элементов
- Одна из экспериментальных моделей сложных систем
- Глобальные характеристики и эволюцию системы нельзя понять, анализируя составляющие ее части.
Теории бифуркаций и катастрофКатастрофой называется скачкообразное изменение, возникающее в виде внезапного нелинейного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Математическое описание явлений, связанных с резкими скачками и качественными изменениями картины процесса, дается теорией катастроф французского математика Р. Тома и теорией бифуркаций А. Пуанкаре. Бифуркации (катастрофы) представляют собой разрывы в системах, описываемых гладкими (непрерывными) функциями. Эти теории описывают возникновение дискретных структур из непрерывных, называемых математиками гладкими. Топологическая структура, называемая сборкой, она же бифуркация, элементарная катастрофа, и ее проекция на плоскость, схематически показана на рисунке. 
Термин «бифуркация» (раздвоение, образование вилки) употребляется, как и «катастрофа», для обозначения качественных перестроек различных систем при плавном изменении параметров. Обычный пример катастрофы, бифуркации представляет собой поведение какой-либо упругой конструкции, под воздействием увеличивающейся нагрузки внезапно, скачкообразно переходящей в другое положение, причем направление выгиба конструкции предсказать невозможно. Прогиб колонны при превышении критической нагрузки 
Графически бифуркация изображена на следующем рисунке: система имеет одно решение, одно значение в каждой точке — вплоть до точки бифуркации, после чего появляется выбор между двумя возможными решениями. Графическое представление бифуркации (катастрофы) 
В самых разнообразных системах при изменении значения «управляющей» переменной система уходит от равновесия, достигая порога устойчивости. Это критическое значение называется точкой бифуркации. В точке бифуркации у системы появляется «выбор», в котором неизбежно присутствует элемент случайности с невозможностью предсказать выбор траектории эволюции системы.. Последовательность бифуркаций во времени описывает морфологию поведения системы. Примеры последовательностей бифуркаций 
Теория катастроф указывает некоторые общие черты явлений скачкообразного изменения поведения разнообразных систем в ответ на плавное изменение внешних условий: сочетание случайности и необходимости, детерминизма и непредсказуемости, возможность выбора из нескольких решений вблизи точки бифуркации, неожиданно сильного отклика на слабое воздействие (и наоборот). В 70-х годах теорию катастроф стали применять к широкому спектру явлений с дискретным, скачкообразным поведением, когда кажущаяся предсказуемой и упорядоченной система может подвергаться резким переходам из одного состояния в другое. Примеры бесконечны: природные и техногенные катастрофы и катаклизмы, социальные и, разумеется, биологические явления (метаморфоз и другие критические периоды развития, из которых гаструляция - разделение двух зародышевых листков – приведена как пример катастрофы самим Томом). Появилось множество приложений теории катастроф в области естественных, технических и гуманитарных наук: биологии, физике, геологии, гидродинамике, экономике, психологии, лингвистике, с применением этой теории к самым разнообразным и неожиданным объектам исследования. Без математической теории бифуркаций и катастроф понимание динамики поведения сложных нелинейных системам и управление ими практически невозможно. Сложные динамические системы включают флуктуирующие, случайным образом изменяющиеся компоненты. Отдельные флуктуации или их сочетания в системе с обратной связью, усиливаясь, вызывают разрушение прежнего состояния системы. Случайные воздействия в момент перелома (в точке бифуркации) могут подтолкнуть систему на новый путь развития; после же выбора одного из возможных путей, траектории развития, действует однозначный детерминизм - развитие системы предсказуемо до следующей точки бифуркации. Так случайность и необходимость дополняют друг друга. В неравновесных условиях вблизи точки бифуркации система очень чувствительна к внешним воздействиям, и малое по силе внешнее воздействие, слабый сигнал может вызвать значительный отклик, неожиданный эффект. Известный пример с автоколебаниями, возникающими в системе усилитель – микрофон. Внешние физические поля могут восприниматься системой, влияя на ее морфогенез. Так, гравитация играет определяющую роль в становлении дорзовентральной полярности при развитии яйцеклетки амфибий, градиент освещенности – в поляризации зиготы фукоидных водорослей. Итак, в далеком от равновесия состоянии системы на первый план выступают нелинейные соотношения, слабое внешнее воздействие может порождать неожиданное, непредсказуемое поведение системы в целом. Иногда в состояниях, далеких от равновесия, очень слабые флуктуации или внешние возмущения могут усиливаться до огромных, скачкообразным образом разрушающих всю прежнюю структуру системы и переводящих ее в иное состояние. Системы с большим числом взаимодействующих элементов спонтанно эволюционируют к критическому состоянию, когда малое воздействие может привести к катастрофе. Сложные системы могут разрушиться не только от мощного удара, но и от малого события, запускающего цепную реакцию, каскад бифуркаций, разрушительный турбулентный режим. К сложным системам относятся многие природные (земная кора, экосистемы) и социальные системы. Примеры природных катастроф – землетрясения, лавины, социальных – крушение империй, обвал рынков. Одна из экспериментальных моделей сложных систем – конические кучи сухого песка. Падение единственной песчинки на песчаный конус, находящийся в критическом состоянии, может вызвать обвал, катастрофу. В критическом состоянии падение отдельных скатывающихся песчинок, фиксируемое в эксперименте как «шум мерцания», оказывается предвестником катастрофы; можно выявить подобные предвестники природных и социальных катастроф. Кучи песка - это не просто экспериментальная модель, это новый взгляд на мир, метафора кооперативного поведения многих частиц, неустойчивого равновесия, непредсказуемости. Глобальные характеристики и эволюцию системы нельзя понять, анализируя составляющие ее части. Вхождение системы в непредсказуемый режим, переход к хаосу, описывается каскадом бифуркаций, следующих одна за другой. Каскад бифуркаций ведет последовательно к появлению выбора между двумя решениями, затем четырьмя и т.д.; система начинает колебаться в хаотическом, турбулентном режиме последовательного удвоения возможных значений. жүктеу/скачать 11.64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|