Урок Обратные тригонометрические функции План урока



Дата28.06.2016
өлшемі0.49 Mb.
#163132
түріУрок
(Класс 10, модуль XII, урок 5)
Урок 5. Обратные тригонометрические функции
План урока
5.1. Арксинус

5.2. Арккосинус

5.3. Арктангенс

5.4. Арккотангенс

Тесты

Домашнее задание
Цели урока:

Рассмотреть способы получения обратных функций в условиях, когда рассматриваемая функция не удовлетворяет условию обратимости, привести определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, изучить их свойства и графики.


5.1. Арксинус
Функция возрастает на отрезке и, следовательно, удовлетворяет условию обратимости: если , то . Рассмотрим сужение функции на отрезок , то есть часть функции , считая ее определенной только на указанном отрезке. Тогда полученное сужение функции удовлетворяет условию обратимости, а поэтому существует обратная функция. Обратная функция определена на множестве значений синуса, то есть на промежутке , и связана с функцией следующими условиями: если , то и .

Напомним, что арксинусом числа называется такое число , принадлежащее промежутку , что . Значит, обратная функция для на отрезке есть .

Изобразим часть графика функции на отрезке от до (рис. 1). Симметрично отразив эту часть относительно прямой , получим график функции (рис. 2).
5.2. Арккосинус
Функция убывает на отрезке и поэтому удовлетворяет на этом отрезке условию обратимости: если , то . Следовательно, сужение функции на отрезок имеет обратную функцию.

Обратная функция определена на множестве значений косинуса, то есть на промежутке , и связана с функцией следующими условиями: если , то и . Вспомним, что арккосинусом числа называется такое число , принадлежащее отрезку , что . Таким образом, есть .

График функции симметричен части графика функции на отрезке относительно прямой
(рис. 3).
5.3. Арктангенс
Функция возрастает на интервале и поэтому удовлетворяет на этом промежутке условию обратимости: если , то . Следовательно, сужение функции на промежуток имеет обратную.

Обратная функция определена на всей числовой прямой –области значений тангенса, и удовлетворяет условиям:


, если и . Значит, удовлетворяет определению арктангенса числа , а поэтому есть .

График функции симметричен ветви тангенсоиды на промежутке относительно прямой (рис. 4).


5.4. Арккотангенс
Сужение функции на интервал удовлетворяет условию обратимости: если , то . Поэтому существует обратная функция , определенная на всей числовой прямой и удовлетворяющая условиям: , если и . Построенная таким образом обратная функция называется арккотангенсом и обозначается .

График функции симметричен ветви графика функции на промежутке относительно прямой (рис. 5).


Обратные тригонометрические функции , , , иногда называют круговыми функциями. Эти функции позволяют по значениям тригонометрических функций находить соответствующие им углы в радианах. Приближенные значения круговых функций можно находить либо с помощью специальных таблиц, либо с помощью вычислительной техники.
Проверь себя. Обратные тригонометрические функции
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

Известно, что . Какое значение имеет ?



1.
2.
3.
4.

(Правильный вариант: 4)


Известно, что . Какое значение имеет ?

1.
2.
3.
4.

(Правильный вариант: 2)


Каково множество значений функции на всей области определения?

1.
2.
3.
4.

(Правильный вариант: 1)


Какова естественная область определения функции ?

1.
2.
3.
4.

(Правильный вариант: 2)


Проверь себя. Обратные тригонометрические функции
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа

.

Какие из указанных функций являются нечетными?



1.
2.
3.
4.

(Правильные варианты: 1, 3)


Какие из указанных функций возрастают на всей области определения?

1.
2.
3.
4.

(Правильные варианты: 2, 4)


Какие из указанных функций убывают на всей области определения?

1.
2.
3.
4.

(Правильные варианты: 2, 3, 4)


Какие из указанных функций являются обратимыми?

1.
2.
3.
4.

(Правильные варианты: 3, 4)


Домашнее задание

1. Найти обратную функцию для функции , рассматриваемой на отрезке .

2. Найти обратную функцию для функции , заданной на отрезке .

3. Найти область определения функции .

4. Найти область значений функции .

5. Изобразить график функции .

6. Изобразить график функции .

7. Вычислить значение функции при


.

8. На промежутке найти наибольшее и наименьшее значение функции .

9. Найти область определения и область значений функции .

10. На одном чертеже построить графики функций и , и по чертежу указать, при каком значении разность должна быть наибольшей.

11. С помощью графиков функций и найти знак каждой из разностей:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

а)  на промежутке ;

б)  на промежутке .



Словарь терминов
Арксинус. При арксинусом числа называется число из промежутка , для которого .

Арккосинус. При арккосинусом числа называется такое число из промежутка , для которого .

Арктангенс. Для любого действительного числа арктангенсом числа называется величина в радианах такого угла из промежутка , что .

Функция арксинус. Функция, обратная к сужению функции на промежуток .

Функция арккосинус. Функция, обратная к сужению функции на промежуток .

Функция арктангенс. Функция, обратная к сужению функции на промежуток .

Функция арккотангенс. Функция, обратная к сужению функции на промежуток .

Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 10-12-28.EPS

Рисунок 2. 10-12-29.EPS

Рисунок 3. 10-12-30.EPS

Рисунок 4. 10-12-31.EPS



Рисунок 5. 10-12-32.EPS

Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет