Урок Обратные тригонометрические функции План урока



Дата28.06.2016
өлшемі0.49 Mb.
түріУрок
(Класс 10, модуль XII, урок 5)
Урок 5. Обратные тригонометрические функции
План урока
5.1. Арксинус

5.2. Арккосинус

5.3. Арктангенс

5.4. Арккотангенс

Тесты

Домашнее задание
Цели урока:

Рассмотреть способы получения обратных функций в условиях, когда рассматриваемая функция не удовлетворяет условию обратимости, привести определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, изучить их свойства и графики.


5.1. Арксинус
Функция возрастает на отрезке и, следовательно, удовлетворяет условию обратимости: если , то . Рассмотрим сужение функции на отрезок , то есть часть функции , считая ее определенной только на указанном отрезке. Тогда полученное сужение функции удовлетворяет условию обратимости, а поэтому существует обратная функция. Обратная функция определена на множестве значений синуса, то есть на промежутке , и связана с функцией следующими условиями: если , то и .

Напомним, что арксинусом числа называется такое число , принадлежащее промежутку , что . Значит, обратная функция для на отрезке есть .

Изобразим часть графика функции на отрезке от до (рис. 1). Симметрично отразив эту часть относительно прямой , получим график функции (рис. 2).
5.2. Арккосинус
Функция убывает на отрезке и поэтому удовлетворяет на этом отрезке условию обратимости: если , то . Следовательно, сужение функции на отрезок имеет обратную функцию.

Обратная функция определена на множестве значений косинуса, то есть на промежутке , и связана с функцией следующими условиями: если , то и . Вспомним, что арккосинусом числа называется такое число , принадлежащее отрезку , что . Таким образом, есть .

График функции симметричен части графика функции на отрезке относительно прямой
(рис. 3).
5.3. Арктангенс
Функция возрастает на интервале и поэтому удовлетворяет на этом промежутке условию обратимости: если , то . Следовательно, сужение функции на промежуток имеет обратную.

Обратная функция определена на всей числовой прямой –области значений тангенса, и удовлетворяет условиям:


, если и . Значит, удовлетворяет определению арктангенса числа , а поэтому есть .

График функции симметричен ветви тангенсоиды на промежутке относительно прямой (рис. 4).


5.4. Арккотангенс
Сужение функции на интервал удовлетворяет условию обратимости: если , то . Поэтому существует обратная функция , определенная на всей числовой прямой и удовлетворяющая условиям: , если и . Построенная таким образом обратная функция называется арккотангенсом и обозначается .

График функции симметричен ветви графика функции на промежутке относительно прямой (рис. 5).


Обратные тригонометрические функции , , , иногда называют круговыми функциями. Эти функции позволяют по значениям тригонометрических функций находить соответствующие им углы в радианах. Приближенные значения круговых функций можно находить либо с помощью специальных таблиц, либо с помощью вычислительной техники.
Проверь себя. Обратные тригонометрические функции
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

Известно, что . Какое значение имеет ?



1.
2.
3.
4.

(Правильный вариант: 4)


Известно, что . Какое значение имеет ?

1.
2.
3.
4.

(Правильный вариант: 2)


Каково множество значений функции на всей области определения?

1.
2.
3.
4.

(Правильный вариант: 1)


Какова естественная область определения функции ?

1.
2.
3.
4.

(Правильный вариант: 2)


Проверь себя. Обратные тригонометрические функции
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа

.

Какие из указанных функций являются нечетными?



1.
2.
3.
4.

(Правильные варианты: 1, 3)


Какие из указанных функций возрастают на всей области определения?

1.
2.
3.
4.

(Правильные варианты: 2, 4)


Какие из указанных функций убывают на всей области определения?

1.
2.
3.
4.

(Правильные варианты: 2, 3, 4)


Какие из указанных функций являются обратимыми?

1.
2.
3.
4.

(Правильные варианты: 3, 4)


Домашнее задание

1. Найти обратную функцию для функции , рассматриваемой на отрезке .

2. Найти обратную функцию для функции , заданной на отрезке .

3. Найти область определения функции .

4. Найти область значений функции .

5. Изобразить график функции .

6. Изобразить график функции .

7. Вычислить значение функции при


.

8. На промежутке найти наибольшее и наименьшее значение функции .

9. Найти область определения и область значений функции .

10. На одном чертеже построить графики функций и , и по чертежу указать, при каком значении разность должна быть наибольшей.

11. С помощью графиков функций и найти знак каждой из разностей:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

а)  на промежутке ;

б)  на промежутке .



Словарь терминов
Арксинус. При арксинусом числа называется число из промежутка , для которого .

Арккосинус. При арккосинусом числа называется такое число из промежутка , для которого .

Арктангенс. Для любого действительного числа арктангенсом числа называется величина в радианах такого угла из промежутка , что .

Функция арксинус. Функция, обратная к сужению функции на промежуток .

Функция арккосинус. Функция, обратная к сужению функции на промежуток .

Функция арктангенс. Функция, обратная к сужению функции на промежуток .

Функция арккотангенс. Функция, обратная к сужению функции на промежуток .

Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 10-12-28.EPS

Рисунок 2. 10-12-29.EPS

Рисунок 3. 10-12-30.EPS

Рисунок 4. 10-12-31.EPS



Рисунок 5. 10-12-32.EPS


Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет