Урок Сферы, вписанные в многогранники План урока

На этом уроке рассматриваются сферы, вписанные в многогранник, и соответственно многогранники, описанные вокруг сферы, изучаются способы нахождения центра и радиуса вписанной сферы, рассматривается свойство биссектора двугранного угла и демонстрируется, как использовать это свойство при нахождении центра сферы, проходящей через заданные точки.

Пусть сфера с центром О вписана в многогранник. Из свойства плоскости, ка­сающейся сферы, следует, что если соединить центр О с точкой М касания сферы с гранью, то получим перпендикуляр к плоскости грани. При этом длина отрезка ОМ равна радиусу сферы (рисунок 1).

В произвольную правильную пирамиду можно вписать сферу. При этом центр сферы лежит на высоте пирамиды.

Решение. Поставим на высоте SH точку О и проведем перпендикуляр, например, к грани SBC. Для этого построим AMВС и проведем OPSM (рисунок 2). Так как плоскость AMS перпендикулярна плоскости SBC, то отрезок ОР — перпендикуляр к грани SBC. Обозначим ОР=r и вычислим r из условия равенства отрезков ОР и ОН: , , ,, или , .

Теперь заметим, что если аналогично провести из точки О перпендикуляры к граням ASВ и ASС, то вычисления будут в точности такими же, как и при проведении перпендикуляра к грани BSC. Поэтому ответ будет один и тот же, а это означает, что при точка О равноудалена от всех граней. Поэтому сфера с центром О и радиусом касается всех граней пирамиды.

Ответ: .

Пусть известно, что сфера с центром О касается граней α и β двугранного угла с ребром m в точках M и K. Тогда , , откуда следует, что , , Поэтому плоскость ОМК пересекает грани по лучам РК и РМ, образующим линейный угол данного двугранного угла (рисунок 4). При этом получаем, что , . Так как ОМ=ОК, то точка О в плоскости ОРМК равноудалена от сторон линейного угла МРК. Поэтому центр О сферы лежит на биссектрисе линейного угла. Отсюда следует, что центр О сферы лежит в биссекторной полуплоскости данного двугранного угла, то есть в полуплоскости, которая делит данный двугранный угол на два равных двугранных угла. В итоге приходим к следующему важному свойству.

Предлагается рассмотреть две плоскости и выяснить, где может находиться центр сфер, одновременно касающихся данных плоскостей.

Отметим, что при исследовании этой задачи приходится особо выделять случаи пересекающихся и параллельных плоскостей.
3.4. Применение биссекторов при решении задач со сферами

3.4. При решении задач со сферами, касающимися нескольких плоскостей, можно несколько раз выполнить построение биссекторных плоскостей, о которых говорилось в предыдущем пункте.

Решение. Касаясь указанных граней, сфера касается и граней двугранного угла куба с ребром ВС. Так как DCВС и С₁СВС, то угол DCC₁ — линейный угол. Биссектриса угла DCC₁ проходит по диагонали CD₁. Поэтому биссекторной плоскостью двугранного угла куба с ребром ВС является плоскость A₁BCD₁ (рисунок 5 Аналогично, так как сфера касается граней двугранного угла куба с ребром CD, то центр сферы лежит в биссекторной плоскости A₁B₁CD (рисунок 6).

В итоге приходим к тому, что центр сферы лежит на луче СА₁ (рисунок 6). После этого можно изобразить радиусы сферы, проведенные в точки касания с указанными гранями. Для этого нужно провести ONAC, OPCD_1, OLСВ₁ (рисунок 7).

Для завершения решения задачи рассмотрим плоскость A₁B₁CD, которая содержит центр сферы, радиус, проведенный в точку касания с гранью ВВ₁С₁С, и точку М, через которую по условию проходит сфера (рисунок 8). Имеем, , , , , Пусть OL=r, причем r<10. Тогда , , . Так как по условию , то приходим к уравнению , . Отсюда не удовлетворяет условию ; дает искомое решение.

Ответ: 6.

Вопрос. Как доказать, что биссекторы двугранных углов любого трехгранного угла имеют общую прямую?
3.5. Касание двух сфер с плоскостью

Рассмотрим две сферы, которые касаются одной плоскости в различных точках и касаются друг друга.

Проведя из центров O₁ и O₂ радиусы O₁M и O₂N в точки касания, получаем два параллельных отрезка, так как прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. Отсюда следует, что центры сфер и точки касания расположены в одной плоскости (рисунок 9). В результате получаем трапецию O₁O₂NM с прямыми углами при вершинах N и M .Это позволяет выразить длину отрезка между точками касания через радиусы сфер следующим образом Проведем дополнительный отрезок O₁F параллельно MN . Тогда ,

, .
3.6. Задача из вузовских олимпиад

В этом пункте разберем следующую задачу.

Решение. Построим биссектор двугранного угла пирамиды при ребре AD. Для этого проведем SMAD, MNAD и получим линейные углы двугранных углов пирамиды при ребрах AD и ВС (рисунок 10). По условию SMN=SNM=60°. Поэтому треугольник SMN равносторонний, а значит биссектриса угла SMN пересекает высоту SH в такой точке F, что . Следовательно, биссектор двугранного угла при ребре AD пересекает высоту SH в точке F.

После этого построим биссектор угла между плоскостями ABCD и SBD. Так как SHBD, AHBD, то угол AHS — линейный. Проведя биссектрису HL угла AHS, получаем биссектор рассматриваемого угла — плоскость BLD (рисунок 11).

Наконец заметим, что плоскость ASС является биссектором двугранного угла пирамиды при ребре SA. Поэтому точка О пересечения прямых HL и AF в плоскости ASC совпадает с центром искомого шара (рисунок 12).

Остается провести вычисления: SM=MN=SN=2, , , , , , , , , .

Ответ: .

Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

В правильную треугольную призму с ребром основания a можно вписать сферу. Какую длину имеют боковые ребра этой призмы?

1.

2.

3.
4.

(Правильный вариант: 3)

Шар радиуса R касается граней двугранного угла величиной 120^о. Чему равно расстояние от центра шара до ребра двугранного угла?

1.

2. .

3.

4.

(Правильный вариант: 2)

(Правильный вариант: 3)

Два шара радиусов и касаются друг друга и касаются одной плоскости. Чему равно расстояние между точками касания этих шаров с плоскостью?

1.

2.

3.

4.

(Правильный вариант: 1)

(Правильные варианты: 2, 4)

Сферу можно вписать в каждую:

1. правильную треугольную пирамиду

2. треугольную призму

3. правильную треугольную призму

4. треугольную пирамиду

(Правильные варианты: 1, 4)

Сфера с центром O касается в точках E и F граней α и β двугранного угла с ребром m. Какими свойствами обладает плоскость OEF?

1. Каждая прямая плоскости OEF перпендикулярна прямой m

2. Каждая прямая плоскости α перпендикулярна плоскости OEF

3. Плоскость OEF перпендикулярна плоскости α

4. Плоскость OEF перпендикулярна плоскости β

(Правильные варианты: 1, 3, 4)

Сфера с центром O касается в точках E, F и H боковых граней треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ с основанием ABC и боковыми ребрами AA₁ , BB₁ , CC₁. Какими свойствами обладает плоскость EFH?

1. Точка O принадлежит плоскости EFH

2. Плоскость EFH перпендикулярна плоскости AA₁BB₁

3. Плоскость EFH перпендикулярна прямой CC₁

4. Каждая прямая плоскости AA₁BB₁ перпендикулярна плоскости EFH

(Правильные варианты: 1, 2, 3)

1. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром 4 см.

2. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны 6 см.

3. В правильную треугольную призму ABCА₁В₁С₁ с основанием ABC можно вписать сферу. Найдите боковое ребро призмы, если ребро основания равно 6 см.

4. Докажите, что в каждую правильную пирамиду можно вписать сферу.

5. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 одна сфера радиуса 1 имеет центр в точке В, вторая сфера касается первой и касается граней трехгранного угла с вершиной С₁. Найдите радиус второй сферы.

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ одна сфера имеет диаметром ребро AD, а вторая сфера касается первой и касается граней трехгранного угла с вершиной А₁. Найдите радиус второй сферы.

7. В правильный тетраэдр с ребром а вписан шар. Найдите радиус шара, вписанного в трехгранный угол с вершиной А и касающегося первого шара.

8. В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 1, боковые грани образуют угол в 60° с плоскостью основания. В трехгранные углы с вершинами А и D вписаны сферы радиусов и . Найдите расстояние между центрами этих сфер.

9. Пирамиды S₁ABCD и S₂ABCD имеют общее основание ABCD, представляющее собой ромб со стороной а и острым углом, равным 60°. Вершины S₁ и S₂ лежат по разные стороны от плоскости ABCD, причем боковые грани одной из пирамид образуют угол в 30° с основанием, другой — угол в 60° с основанием. Найдите радиус шара, лежащего внутри многогранника S₁ABCDS₂ и касающегося всех его граней.

10. Два касающихся шара с центрами в точках O₁ и О₂ касаются граней двугранного угла в 60° с ребром MN. Прямая O₁O₂ образует с прямой MN угол в 45°. Найдите радиус меньшего шара, если радиус большего равен 7.

11. Два касающихся шара радиусов 2 и 3 с центрами в точках O₁ и О₂ касаются граней двугранного угла с ребром MN. Определите величину двугранного угла, если прямая O₁O₂ образует с прямой MN угол в 45°.

Рисунок 2. - 2-3-2-2.cdr

Рисунок 3. - 2-3-3-3.cdr

Рисунок 4. - 2-3-3-4.cdr

Рисунок 5. - 2-3-4-5.cdr

Рисунок 6. – 2-3-4-6.cdr

Рисунок 7. – 2-3-4-7.cdr

Рисунок 8. – 2-3-4-8.cdr

Рисунок 9. – 2-3-1new.cdr

Рисунок 10. – 2-3-5-9.cdr