Бұл бөлімде қарастырылатын дәлелдеу әдісі табиғи қатар аксиомаларының біріне негізделген
жүктеу/скачать 388.51 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- NEWS SPHERE
| 0 /7 _ /7 +1
S n= -теңдік бар С, =-. /7+1 /7 + 2 Айталықбұл теңдік ақиқат С= - П -. Қорытындылайық S „+ең бірінші Н.Сшарттар: Индуктивті болжамды қолданып, біз мынаны аламыз: Бөлшекті (/ 7 + 1) алып тастасақ, бізде теңдік бар С n +1 -, L Индуктивті ауысу негізделген. Бұл біріншісінің қосындысы екенін дәлелдейді Н.Сшарттар 1 1 1 /7 ^ - + - + ... + - -ге тең. Енді түпнұсқаға оралу 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1 тапсырма. Оны шешу үшін мән ретінде қабылдау жеткілікті Н.Ссаны 99. Сонда -!- + -!- + -!- + ... + --- қосындысы 0,99 санына тең болады. 1-2 2-3 3-4 99100 Бұл соманы басқа жолмен есептеп көріңіз. 5.5.8-мысал. Дифференциалданатын функциялардың кез келген шекті санының қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының қосындысына тең болатынын дәлелдейік. / айнымалысы болсын? осы функциялардың көлемін білдіреді. Бір ғана функция берілген жағдайда бұл функция қосынды деп түсініледі. Сондықтан, егер / 7 = 1, онда мәлімдеме анық шындық: / "= /". Айталықбұл мәлімдеме жиыны үшін жарамды Н.Сфункциялары (мұнда тағы да әріптің орнына Кімгеалынған хат NS),яғни қосындының туындысы Н.Сфункциялары туындылардың қосындысына тең. Дәлелдейікқосындысы (i + 1) функцияларының туындысы туындылардың қосындысына тең. тұратын ерікті жиынды алайық n +дифференциалданатын функция: / 1, / 2, . Біз осы функциялардың қосындысын көрсетеміз түрде g + f „+ 1, қайда g = f + / g + ... + / т -сома Н.Сфункциялары. Индуктивті гипотеза бойынша функцияның туындысы gтуындылардың қосындысына тең: g "= фут + фут + ... + фут.Демек, келесі теңдік тізбегі орындалады: Индуктивті ауысу аяқталды. Осылайша, бастапқы ұсыныс функциялардың кез келген шекті саны үшін дәлелденеді. Кейбір жағдайларда үкімнің шындығын дәлелдеу талап етіледі A (n)кейбір мәндерден бастап барлық табиғи i үшін бірге.Мұндай жағдайларда математикалық индукция әдісімен дәлелдеу келесі схема бойынша жүзеге асырылады. Индукциялық негіз.Біз бұл ұсынысты дәлелдейміз Амағынасы үшін шын NS,тең бірге. Индуктивті ауысу. 1) Сөйлем деп есептейміз Абелгілі бір мән үшін дұрыс Кімгеайнымалы /?, ол үлкен немесе тең бірге. 2) Біз бұл ұсынысты дәлелдейміз Атең /? мәні үшін дұрыс Әріптің орнына тағы да назар аударыңыз Кімгежиі айнымалы белгілерді қалдырады Н.С.Бұл жағдайда индуктивті ауысу келесі сөздерден басталады: «Бұл қандай да бір мән үшін делік n> cдұрыс A (n).Сонда оның рас екенін дәлелдеп көрейік A (n + 1)". 5.5.9-мысал. Мұны табиғи түрде дәлелдейік n> 5, 2 "> және 2 теңсіздігі ақиқат. Индукциялық негіз.Болсын n = 5. Сонда 2 5 = 32, 5 2 = 25. 32>25 теңсіздігі дұрыс. Индуктивті ауысу. Айталық, теңсіздік 2 N> n 2кейбір натурал сандар үшін n> 5. Дәлелдейік, онда 2 "+ |> (n + 1) 2. 2 "+ | дәрежелерінің қасиеттері бойынша = 2-2 ". 2"> i 2 болғандықтан (индуктивті гипотеза бойынша), онда 2-2 "> 2i 2 (I). Дәлелдейік 2 n 2көбірек (i + 1) 2. Мұны бірнеше жолмен жасауға болады. Квадрат теңсіздігін шешу жеткілікті 2x 2> (x +) 2көпшілікте нақты сандаржәне 5-тен үлкен немесе оған тең барлық натурал сандар оның шешімдері екенін қараңыз. Біз келесідей әрекет етеміз. 2 сандарының айырмасын табыңыз n 2және (i + 1) 2: Содан бері және > 5, онда i + 1> 6, яғни (i + 1) 2> 36. Демек, айырмашылық 0-ден үлкен. Демек, 2-ші 2> (i + 1) 2 (2). (I) және (2) теңсіздіктерінің қасиеттері бойынша 2 * 2 «> (n + 1) 2 шығады, бұл индуктивті ауысуды негіздеу үшін қажет болды. Математикалық индукция әдісіне сүйене отырып, теңсіздік деп қорытынды жасаймыз 2" > i 2 кез келген натурал сандар i үшін дұрыс. Математикалық индукция әдісінің тағы бір түрін қарастырайық. Айырмашылық индуктивті ауысуда жатыр. Оны жүзеге асыру үшін екі қадамды орындау қажет: 1) сөйлем деп есептейміз A (n)белгілі бір саннан аз i айнымалысының барлық мәндері үшін дұрыс R; 2) ұсынылған болжамнан үкiмнiң тұжырымын жасау A (n)саны үшін де солай Р. Осылайша, индуктивті ауысу нәтижені дәлелдеуді талап етеді: [(Иә?) A (n)] => A (p).Қорытынды келесі түрде қайта жазылуы мүмкін екенін ескеріңіз: [(Yn ^ p) A (n)] => A (p + 1). Математикалық индукция әдісінің бастапқы тұжырымында ұсынысты дәлелдеуде A (p)біз тек «алдыңғы» ұсынысқа сүйендік A (p- 1). Мұнда келтірілген әдісті тұжырымдау шығаруға мүмкіндік береді A (p),барлық ұсыныстарды ескере отырып A (n),мен қайда кеммін Р, шын. 5.5.10-мысал. Теореманы дәлелдеп көрейік: «Кез келген n-бұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180° (n-2)». Үшін дөңес көпбұрышТеореманы бір төбесінен үшбұрышқа түсірілген диагональдар арқылы бөлсек, оны дәлелдеу оңай. Дегенмен дөңес емес көпбұрыш үшін бұл процедура мүмкін болмауы мүмкін. Математикалық индукция әдісі арқылы ерікті көпбұрышқа арналған теореманы дәлелдеейік. Біз нақты айтқанда, бөлек дәлелдеуді қажет ететін белгілі мәлімдемені қарастырамыз: «Кез келген // - гонда оның ішкі бөлігінде толығымен жататын диагональ бар». // айнымалысының орнына 3-тен үлкен немесе оған тең кез келген натурал сандарды ауыстыруға болады. n = bтеорема дұрыс, өйткені үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 °. Біраз алыңыз / 7-гон (p> 4) және кез келген // - гон бұрыштарының қосындысы, мұндағы // p, 180 ° (// - 2) тең деп есептейміз. // - гон бұрыштарының қосындысы 180 ° (// - 2) тең екенін дәлелдейміз. Диагональ сызайық // - гон, оның ішінде жатыр. Ол // - gonды екі көпбұрышқа бөледі. Біреуі болсын Кімгежақтары, екіншісі - 2-гепартиялар. Содан кейін k + k 2 -2 = p,өйткені алынған көпбұрыштар сызылған диагоналдың ортақ жағына ие, ол түпнұсқаның жағы емес // - гон. Екі сан да Кімгежәне 2-гекішірек //. Алынған көпбұрыштарға индуктивті болжамды қолданайық: A] -гон бұрыштарының қосындысы 180 ° - (? I-2) тең, ал бұрыштардың қосындысы? 2 -гонс 180 ° - (Ar 2 -2) тең. Сонда // - gon бұрыштарының қосындысы осы сандардың қосындысына тең болады: 180 ° * (Ar | -2) -n 180 ° (Ar2-2) = 180 o (Ar, -bAr 2 -2-2) = 180 ° - (// - 2). Индуктивті ауысу негізделген. Математикалық индукция әдісіне сүйене отырып, теорема кез келген // - гон (//> 3) үшін дәлелденеді. Савельева Екатерина Жұмыста математикалық индукция әдісінің бөлінгіштік есептерін шешуде, қатарларды қосуда қолданылуы қарастырылады. Математикалық индукция әдісін теңсіздіктерді дәлелдеуге және геометриялық есептерді шешуге қолдану мысалдары қарастырылады. Жұмыс презентациямен суреттелген. Жүктеп алу: Алдын ала қарау: Ресей Федерациясының ғылым және білім министрлігі Мемлекеттік білім беру мекемесі орташа жалпы білім беретін мектеп № 618 Курс бойынша: алгебра және талдаудың бастаулары Жобалау жұмысының тақырыбы «Математикалық индукция әдісі және оны есеп шығаруда қолдану» Жұмыс аяқталды: Савельева Е, 11Б сынып Жетекші : Макарова Т.П., математика пәнінің мұғалімі, ГОУ СОШ № 618 1. Кіріспе. 2. Бөлінгіштікке есептер шығарудағы математикалық индукция әдісі. 3. Математикалық индукция әдісін қатарларды қосуға қолдану. 4. Теңсіздіктерді дәлелдеуге математикалық индукция әдісін қолдану мысалдары. 5. Геометриялық есептерді шешуде математикалық индукция әдісін қолдану. 6. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі. Кіріспе Барлық математикалық зерттеулер дедуктивті және индуктивті әдістерге негізделген. Ойлаудың дедуктивті әдісі жалпыдан жекеге қарай пайымдау, яғни. пайымдау, оның бастапқы нүктесі жалпы нәтиже, ал соңғы нүктесі жеке нәтиже болып табылады. Индукция нақты нәтижелерден жалпыға өткенде қолданылады, яғни. дедуктивті әдіске қарама-қарсы. Математикалық индукция әдісін прогресс-соммен салыстыруға болады. Нәтижесінде біз төменгі жағынан бастаймыз логикалық ойлаубиікке жетеміз. Адам әрқашан алға ұмтылды, өз ойын логикалық тұрғыдан дамыту қабілетіне ұмтылды, яғни табиғаттың өзі оны индуктивті ойлауға арнады. Математикалық индукция әдісінің қолдану саласы кеңейгенімен, в мектеп бағдарламасыоған аз уақыт беріледі және индуктивті ойлай білу өте маңызды. Бұл принципті есептерді шешуде және теоремаларды дәлелдеуде қолдану мынада қарастырылғанмен бір деңгейде мектеп тәжірибесіжәне басқа да математикалық принциптер: алынып тасталған үшінші, қосу-шығару, Дирихле және т.б. Бұл рефератта математиканың әртүрлі салаларының есептері бар, онда негізгі құрал математикалық индукция әдісін қолдану болып табылады. Бұл әдістің маңыздылығы туралы айта отырып, А.Н. Колмогоров «математикалық индукция принципін түсіну және қолдана білу – математика үшін өте қажет жетілгендіктің жақсы критерийі» деп атап өтті. Кең мағынада индукция әдісі белгілі бір бақылаулардан әмбебап, жалпы заңдылыққа немесе жалпы тұжырымға көшуден тұрады. Бұл түсіндіруде әдіс, әрине, кез келген эксперименттік жаратылыстану ғылымында зерттеу жүргізудің негізгі әдістемесі болып табылады. адам әрекеті. Математикалық индукция әдісі (принципі) қарапайым түрде барлық натурал сандар үшін қандай да бір мәлімдемені дәлелдеу қажет болғанда қолданылады. Есеп 1. «Мен қалай математик болдым» деген мақаласында А.Н. Колмогоров былай деп жазады: «Мен математикалық« жаңалықтың» қуанышын ерте білдім, бес-алты жасымда заңдылықты байқадым. 1 =1 2 , 1 + 3 = 2 2 , 1 + 3 + 5 = З 2, 1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 және т.б. Мектепте «Көктем қарлығаштары» журналы шықты. Ол менің жаңалығымды жариялады ... » Бұл журналда қандай дәлелдер келтірілді, біз білмейміз, бірақ бәрі жеке бақылаулардан басталды. Осы ішінара теңдіктерді ашқаннан кейін пайда болған гипотезаның өзі формула болып табылады 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2 кез келген берілген сан үшін дұрыс n = 1, 2, 3, ... Бұл гипотезаны дәлелдеу үшін екі фактіні анықтау жеткілікті. Біріншіден, үшін n = 1 (тіпті n = үшін 2, 3, 4) қажетті мәлімдеме ақиқат. Екіншіден, мәлімдеме ақиқат деп есептейік n = k, және оның шын екеніне көз жеткізіңіз n = k + 1: 1 + 3 + 5 + ... + (2к - 1) + (2к + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2к - 1)) + (2к + 1) = 2 + (2к) + 1) = (k + I) 2. Демек, дәлелденген бекіту барлық мәндер үшін дұрыс n: n = үшін 1 бұл дұрыс (бұл тексерілген), ал екінші факті бойынша - үшін n = 2, мұндағы n = 3 (сол, екінші факті бойынша) т.б. Мәселе 2. Мүмкіндігінше барлығын қарастырыңыз жай бөлшектер 1 алымы және кез келген (бүтін оң Бөлгіш: Кез келген үшін дәлелдеңіз n> 3 бірлік ретінде қосынды түрінде көрсетуге боладыН.С осы түрдегі әртүрлі фракциялар. Шешім, Алдымен осы мәлімдемені тексеріп көрейік n = 3; Бізде бар: Сондықтан негізгі мәлімдеме орындалды. Енді бізді қызықтыратын мәлімдеме кейбір сандар үшін шындыққа сәйкес келеді делікКімге, және келесі сан үшін де дұрыс екенін дәлелдеКімге + 1. Басқаша айтқанда, өкілдік бар делік қайда к терминдер мен барлық бөлгіштер әртүрлі. Одан кейін бірліктің қосынды түріндегі көрінісін алуға болатынын дәлелдеймізКімге + Қажетті түрдегі 1 фракция. Бөлшектерді, яғни бөлгіштерді (бірлікті қосындымен көрсетуде) азаяды деп есептейміз.Кімге терминдер) солдан оңға қарай көбейтіңізТ Бөлгіштердің ең үлкені. Біз сома түрінде қажетті өкілдік аламыз(Кімге + 1) ші бөлшек, егер бір бөлшекті, мысалы, соңғысын екіге бөлсек. Содан бері мұны жасауға болады Сондықтан Сонымен қатар, барлық фракциялар әр түрлі болды, өйткеніТ ең үлкен бөлгіш болды және m + 1> m, және t (t + 1)> t. Осылайша, біз белгіледік: n = үшін 3 бұл мәлімдеме дұрыс; егер бізді қызықтыратын мәлімдеме шын болсаКімге, онда ол үшін де дұрыс k + 1. Осы негізде қарастырылып отырған мәлімдеме үштен бастап барлық натурал сандар үшін дұрыс деп айта аламыз. Сонымен қатар, жоғарыда келтірілген дәлелде бірлік қажетті бөлімді табу алгоритмі де бар. (Бұл қандай алгоритм? 1 санын өзіңіз 4, 5, 7 мүшесінің қосындысы деп елестетіңіз.) Алдыңғы екі тапсырманы шешу кезінде екі қадам жасалды. Бірінші қадам деп аталадынегізі индукция, екіншісі -индуктивті ауысунемесе индукция қадамымен. Екінші қадам ең маңызды болып табылады және ол болжамды қамтиды (мәлімдеме үшін дұрыс n = k) және қорытынды (мәлімдеме үшін дұрыс n = k + 1). n параметрінің өзі шақырылады индукция параметрі бойынша.Қарастырылып отырған тұжырым барлық натурал сандар үшін (немесе кейбіреулерінен бастап барлығы үшін) ақиқат деп қорытынды жасауға мүмкіндік беретін бұл логикалық схема (әдіс) деп аталады, өйткені негізі де, ауысуы да ақиқат.математикалық индукция принципі,қайсы бойынша және математикалық индукция әдісі негізделген.«Индукция» терминінің өзі латын сөзінен шыққаниндукция (нұсқаулық), бұл белгілі бір сыныптың жеке объектілері туралы біртұтас білімнен осы сыныптың барлық объектілері туралы жалпы қорытындыға өтуді білдіреді, бұл танымның негізгі әдістерінің бірі болып табылады. Математикалық индукция принципі, дәлме-дәл таныс екі қадам түрінде, алғаш рет 1654 жылы Блез Паскальдың «Арифметикалық үшбұрыш туралы трактатында» пайда болды, онда комбинациялар санын (биномдық коэффициенттер) есептеудің қарапайым әдісі индукция арқылы дәлелденді. Д.Поля кітапта Б.Паскальдың сөзін келтіреді шағын өзгерістершаршы жақшада берілген: «Қарастырылып отырған сөйлемде [биномдық коэффициенттердің айқын формуласы] сансыз ерекше жағдайлар бар екеніне қарамастан, мен оған екі лемма негізінде өте қысқа дәлел келтіремін. Бірінші лемма негіз үшін болжамның дұрыс екендігін бекітеді - бұл анық. [СағатН.С = 1 айқын формула жарамды ...] Екінші лемма мынаны бекітеді: егер біздің болжам ерікті негіз үшін [еркін n үшін] ақиқат болса, онда ол келесі негіз үшін де дұрыс болады [үшін n + 1]. Бұл екі лемма міндетті түрде барлық құндылықтар үшін ұсыныстың жарамдылығын білдіредіН.С. Шынында да, бірінші лемманың күші бойынша ол үшін жарамдыН.С = 1; сондықтан екінші лемманың күші бойынша ол үшін жарамдыН.С = 2; демек, қайтадан екінші лемманың күші бойынша ол үшін жарамды n = 3 және т.б. ad infinitum». Есеп 3. «Ханой мұнаралары» пазлы үш таяқшадан тұрады. Шыбықтардың бірінде төменнен жоғары қарай кішірейетін әртүрлі диаметрлі бірнеше сақиналардан тұратын пирамида (1-сурет) бар. 1-сурет Бұл пирамиданы бір уақытта тек бір сақинаны ауыстырып, үлкенірек сақинаны кішісіне қоймай, басқа штангалардың біріне жылжыту керек. Мұны істеуге бола ма? Шешім. Сонымен, біз сұраққа жауап беруіміз керек: тұратын пирамиданы жылжыту мүмкін бе?Н.С ойын ережесін сақтай отырып, бір таяқшадан екіншісіне диаметрі әртүрлі сақиналар? Енді мәселе, олар айтқандай, біз параметрленген (біз натурал санды енгіздік NS), және оны математикалық индукция әдісімен шешуге болады. Индукциялық негіз. n = үшін 1, бәрі түсінікті, өйткені бір сақинадан жасалған пирамиданы кез келген таяқшаға жылжытуға болады. Индукциялық қадам. Кез келген пирамидаларды сақина санымен жылжыта аламыз делік n = k. Сол кезде пирамиданы жылжыта алатынымызды дәлелдеп көрейік n = k + 1. Пирамидадан бастап дейін сақиналар ең үлкенінде жатыр(Кімге + 1) сақина, болжам бойынша, кез келген басқа штангаға ауыса аламыз. Қанекей мынаны істейік. Стационарлық(Кімге + 1) -ші сақина қозғалыс алгоритміне кедергі жасамайды, өйткені ол ең үлкен. Қозғалғаннан кейінКімге сақиналар, осыны ең үлкен жылжытыңыз(Кімге + 1) қалған өзекшедегі сақина. Содан кейін біз индуктивті гипотезадан бізге белгілі қозғалыс алгоритмін қайтадан қолданамызКімге сақиналарды орнатыңыз және оларды таяқшаға жылжытыңыз(Кімге + 1) ші сақина. Осылайша, егер біз пирамидаларды жылжыта алсақКімге сақиналар, содан кейін біз пирамидаларды және бірге қозғала аламызКімге + 1 сақина. Демек, математикалық индукция принципі бойынша пирамиданы әрқашан қозғалтуға болады, ол n сақина, мұндағы n> 1. Бөлінгіштікке есептер шығарудағы математикалық индукция әдісі. Математикалық индукция әдісін қолдана отырып, натурал сандардың бөлінгіштігіне қатысты әртүрлі тұжырымдарды дәлелдеуге болады. Мәселе 4 ... Егер n натурал сан болса, онда сан жұп болады. n = 1 үшін біздің тұжырымымыз дұрыс: - жұп сан. Бұл жұп сан болсын. 2к жұп сан болғандықтан, ол да жұп болады. Сонымен, паритет n = 1 үшін дәлелденеді, паритет паритеттен шығарылады, сондықтан n-дің барлық табиғи мәндері үшін де. Есеп 3. З саны екенін дәлелде 3 + 3 - 26n - 27 ерікті натуралмен n 26 2-ге қалдықсыз бөлінеді. Шешім. Біріншіден, біз индукция арқылы 3 деген көмекші бекітуді дәлелдейміз 3n + 3 - 1 саны 26-ға қалдықсыз бөлінеді n> 0. Индукциялық негіз. n = 0 үшін бізде: З 3 - 1 = 26 - 26-ға бөлінеді. Индукциялық қадам. 3 делік 3n + 3 - 1-ді 26-ға бөлгенде n = k, және Бұл жағдайда мәлімдеме ақиқат болатынын дәлелдейік n = k + 1. 3-тен бастап онда индуктивті гипотезадан 3 саны деген қорытындыға келеміз 3k + 6 - 1 саны 26-ға бөлінеді. Енді проблемалық тұжырымда тұжырымдалған тұжырымды дәлелдеп көрейік. Және тағы да индукция арқылы. Индукциялық негіз. Әлбетте, үшін n = 1 тұжырым дұрыс: 3-тен бастап 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 . Индукциялық қадам. Бұл үшін делік n = k өрнек 3 3k + 3 - 26к - 27 26-ға бөлінді 2 қалдықсыз және мәлімдеменің дұрыс екенін дәлелдеңіз n = k + 1, бұл сан 26 2-ге бөлінеді қалдықсыз. Соңғы қосындыда екі мүше де 26-ға қалдықсыз бөлінеді 2 ... Біріншіден, жақшадағы өрнектің 26-ға бөлінетінін дәлелдегендіктен; екіншісі индукциялық гипотеза бойынша. Математикалық индукция принципінің күшімен талап етілген тұжырым толығымен дәлелденді. Математикалық индукция әдісін қатарларды қосуға қолдану. 5-тапсырма. Формуланы дәлелдеу N – натурал сан. Шешім. n = 1 үшін теңдіктің екі жағы да бір болады, демек, математикалық индукция принципінің бірінші шарты орындалады. Формула n = k үшін ақиқат болсын делік, яғни. Осы теңдікті екі жаққа қосып, оң жағын түрлендіріңіз. Сосын аламыз Сонымен, формула n = k үшін ақиқат болғандықтан, n = k + 1 үшін де оның дұрыс екендігі шығады. Бұл тұжырым k-ның кез келген табиғи мәні үшін дұрыс. Сонымен, математикалық индукция принципінің екінші шарты да орындалады. Формула дәлелденген. Тапсырма 6. Тақтада екі сан жазылған: 1.1. Олардың қосындысын сандар арасына енгізіп, біз 1, 2, 1 сандарын аламыз. Осы амалды қайталай отырып, 1, 3, 2, 3, 1 сандарын аламыз. Үш амалдан кейін 1, 4, 3 сандары шығады. , 5, 2, 5, 3, 4, 1. Тақтадағы барлық сандардың қосындысы нешеге тең болады 100 операция? Шешім. Барлығын 100 толтырыңыз операциялар өте көп уақытты және көп уақытты қажет етеді. Демек, біз S қосындысының жалпы формуласын табуға тырысуымыз керек n-ден кейінгі сандар операциялар. Кестеге назар аударайық:
Сіз мұнда қандай да бір үлгіні байқадыңыз ба? Олай болмаса, тағы бір қадам жасай аласыз: төрт операциядан кейін сандар пайда болады 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, қосындысы S 4 82-ге тең. Шындығында, сіз сандарды жаза алмайсыз, бірақ жаңа сандарды қосқаннан кейін сома қалай өзгеретінін бірден айтыңыз. Қосындысы 5 болсын. Жаңа сандарды қосқанда ол не болады? Әрбір жаңа санды екі ескінің қосындысына бөлейік. Мысалы, 1, 3, 2, 3, 1-ден 1-ге өтеміз, 1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1. Яғни, әрбір ескі сан (екі шеткі бірліктен басқасы) енді қосындыға үш есе қосылады, сондықтан жаңа қосынды 3S - 2-ге тең (жетпеген бірліктерді есепке алу үшін 2-ні шегеріңіз). Сондықтан С 5 = 3S 4 - 2 = 244, және жалпы Бұл не жалпы формула? Егер екі бірлікті алып тастау болмаса, онда қосынды үш еселенген сайын үш есе өсетін еді (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...). Ал біздің сандар, қазір көріп отырғаныңыздай, тағы біреу. Осылайша, бұл деп болжауға болады Енді мұны индукция арқылы дәлелдеп көрейік. Индукциялық негіз. Кестені қараңыз (үшін n = 0, 1, 2, 3). Индукциялық қадам. Солай етейік Сосын дәлелдейміз S k + 1 = Z k + 1 + 1. Шынымен, Сонымен, формуламыз дәлелденді. Одан жүз амалдан кейін тақтадағы барлық сандардың қосындысы З-ге тең болатынын көруге болады. 100 + 1. Біреуін қарастырайық тамаша үлгіматематикалық индукция принципін қолдану, онда алдымен екі табиғи параметрді енгізу керек, содан кейін олардың қосындысы бойынша индукция жүргізу керек. Тапсырма 7. Дәлелдеңіз, егер= 2, x 2 = 3 және әрбір табиғи үшін n> 3 қатынас сақталады x n = Zx n - 1 - 2x n - 2, содан кейін 2 p - 1 + 1, n = 1, 2, 3, ... Шешім. Бұл есепте бастапқы сандар тізбегі екенін ескеріңіз(x n) индукция арқылы анықталады, өйткені біздің қатарымыздың мүшелері алғашқы екеуінен басқа индуктивті түрде, яғни алдыңғылары арқылы беріледі. Берілген тізбектер осылай аталадықайталанатын, ал біздің жағдайда бұл реттілік ерекше түрде анықталады (оның алғашқы екі мүшесін көрсету арқылы). Индукциялық негіз. Ол екі мәлімдемені тексеруден тұрады: үшін n = 1 және n = 2.B екі жағдайда да мәлімдеме шарт бойынша ақиқат. Индукциялық қадам. Бұл үшін делік n = k - 1 және n = k мәлімдеме орындалды, яғни NEWS SPHERE Весь мир смеялся над этой парой, а посмотрите, что с ними сейчас УЗНАТЬ БОЛЬШЕ Олай болса мәлімдеменің дұрыстығын дәлелдеп көрейік n = k + 1. Бізде: x 1 = 3 (2 + 1) - 2 (2 + 1) = 2 + 1, қажетінше. Мәселе 8. Кез келген натурал санды Фибоначчи сандарының қайталанатын тізбегінің бірнеше әртүрлі мүшелерінің қосындысы ретінде көрсетуге болатындығын дәлелдеңіз: k> 2 үшін. Шешім. n болсын - натурал сан. Біз индукцияны жалғастырамызН.С. Индукциялық негіз. n = үшін 1 мәлімдемесі дұрыс, өйткені бірлік өзі Фибоначчи саны. Индукциялық қадам. Барлық натурал сандар кейбір саннан кіші болсын делік NS, Фибоначчи тізбегінің бірнеше әртүрлі мүшелерінің қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін. Ең үлкен Фибоначчи санын табыңыз F t, артық емес NS; осылайша F m n және F m +1> n. Қаншалықты Индукциялық гипотеза бойынша, сан n- F т Фибоначчи тізбегінің бірнеше әртүрлі мүшелерінің 5 қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін және соңғы теңсіздіктен Фибоначчи тізбегінің 8 қосындысына қатысатын барлық мүшелері аз болатыны шығады. F т. Сондықтан санның кеңеюі n = 8 + F t мәселенің шартын қанағаттандырады. Теңсіздіктерді дәлелдеуге математикалық индукция әдісін қолдану мысалдары. 9-есеп. (Бернулли теңсіздігі.)Мұны дәлелдеңіз x> -1, x 0 және n> бүтін саны үшін 2 теңсіздік (1 + x) n> 1 + xn. Шешім. Дәлелдеу қайтадан индукция арқылы жүзеге асырылады. 1. Индукцияның негізі. теңсіздігін тексерейік n = 2. Шынында да, (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2> 1 + 2x. 2. Индукция қадамы. Бұл сан үшін делік n = k мәлімдеме рас, яғни (1 + x) k> 1 + xk, Мұндағы k> 2. Оны n = k + 1 үшін дәлелдейміз. Бізде: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) = 1 + (k + 1) x + kx 2> 1 + (k + 1) x. Сонымен, математикалық индукция принципіне сүйене отырып, Бернулли теңсіздігі кез келген теңсіздік үшін жарамды деп айтуға болады. n> 2. Математикалық индукция әдісін қолданып шығарылатын есептер жағдайында әрқашан емес, дәлелдеуді қажет ететін жалпы заң нақты тұжырымдалады. Кейде нақты жағдайларды бақылай отырып, алдымен олардың қандай жалпы заңдылыққа әкелетінін анықтау (болжау), содан кейін ғана математикалық индукция әдісімен айтылған гипотезаны дәлелдеу қажет. Сонымен қатар, индукциялық айнымалыны бүркемелеуге болады және мәселені шешу алдында индукция қандай параметр бойынша жүзеге асырылатынын анықтау керек. Мысал ретінде келесі тапсырмаларды қарастырыңыз. Есеп 10. Дәлелдеңіз кез келген табиғи n> 1. Шешім, Осы теңсіздікті математикалық индукция арқылы дәлелдеп көрейік. Индукциялық негіз оңай тексеріледі: 1+ Индукциялық гипотеза бойынша және мұны дәлелдеу бізге қалды Индуктивті гипотезаны пайдалана отырып, біз мұны бекітеміз Бұл теңдік шын мәнінде ақиқат болса да, ол бізге мәселенің шешімін бермейді. Бастапқы есепте талап етілгеннен гөрі күшті мәлімдемені дәлелдеуге тырысайық. Дәлірек айтсақ, соны дәлелдеп көрейік жүктеу/скачать 388.51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|