Бұл бөлімде қарастырылатын дәлелдеу әдісі табиғи қатар аксиомаларының біріне негізделген
жүктеу/скачать 388.51 Kb.
|
| 4-тапсырма.
Кез келген натурал n саны үшін дәлелдеңіз 2 n +3-ке бөлінбейді. Дәлелдеу. Елестетіңіз шығарма түрінде = = (*) Болжам бойынша (*) бірінші көбейткіш 2 k +3 санына бөлінбейді, яғни құрама санды көрсетуде жай сандардың көбейтіндісі ретінде 2 саны ең көп (k +2) рет қайталанады. Осылайша, бұл санды дәлелдеу үшін 2 k+4-ке бөлінбейді, оны дәлелдеу керек 4-ке бөлінбейді. Бұл бекітуді дәлелдеу үшін көмекші бекітуді дәлелдейміз: кез келген натурал n үшін 3 2 n +1 саны 4-ке бөлінбейді. n = 1 үшін бекіту анық, өйткені 10 4-ке қалдықсыз бөлінбейді. 3 2 k +1 саны 4-ке бөлінбейді деп есептесек, 3 2 (k +1) +1 саны да бөлінбейтінін дәлелдейміз. 4 бойынша. Соңғы өрнекті қосынды түрінде көрсетейік: 3 2 (к + 1) + 1 = 3 2к + 2 + 1 = 3 2к * 9 + 1 = (3 2к +1) +8 * 3 2к. Қосындының екінші мүшесі 4-ке бөлінеді, ал біріншісі бөлінбейді. Демек, бүкіл сома 4-ке қалдықсыз бөлінбейді. Көмекші мәлімдеме дәлелденді. Бұл енді түсінікті 4-ке бөлінбейді, өйткені 2 k жұп сан. Ақырында біз бұл санды аламыз кез келген натурал n үшін 2 n +3-ке бөлінбейді. Енді теңсіздіктерді дәлелдеуге индукцияны қолданудың мысалын қарастырайық. 5-тапсырма. 2 n> 2n + 1 теңсіздігі қандай n натурал сандары үшін жарамды? Шешім. 1. Қашан n = 1 2 1< 2*1+1, сағ n = 2 2 2< 2*2+1, сағ n = 3 2 3> 2 * 3 + 1, сағ n = 4 2 4> 2 * 4 + 1. Шамасы, теңсіздік кез келген натурал n саны үшін жарамды 3. Осы тұжырымды дәлелдеп көрейік. 2. Қашан n = 3 теңсіздік бұрыннан көрсетілген. Енді теңсіздік n = k үшін жарамды болсын, мұндағы k - кем дегенде 3 натурал сан, яғни, 2 k> 2k +1 (*) Сонда теңсіздік n = k +1, яғни 2 k +1> 2 (k +1) +1 үшін де дұрыс болатынын дәлелдейміз. (*) 2-ге көбейтсек, 2 k +1> 4k +2 аламыз. 2 (k +1) +1 және 4k +2 өрнектерін салыстырайық. 4k + 2- (2 (k + 1) +1) = 2k-1. Кез келген табиғи k үшін 2k -1> 0 екені анық. Сонда 4k +2> 2 (k +1) +1, яғни, 2 k +1> 2 (k +1) +1. Мәлімдеме дәлелденген. 6-тапсырма. n теріс емес санның арифметикалық ортасы мен геометриялық ортасы үшін теңсіздік (Коши теңсіздігі)., біз = аламыз Сандардың кем дегенде біреуі болса нөлге тең болса, онда (**) теңсіздік те жарамды. Қорытынды. Жұмысты орындау барысында математикалық индукция әдісінің мәнін және оның дәлелдеуін зерттедім. Жұмыста дұрыс шешімге әкелетін толық емес индукция маңызды рөл атқаратын есептер берілген, содан кейін математикалық индукция әдісі арқылы алынған дәлелдеу жүргізіледі. Әдебиет. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабурин М.И. Бастауыш математикадан дәрістер мен тапсырмалар; Ғылым, 1974 ж. Виленкин Н.Я. , Шварцбурд С.И. Математикалық талдау.- М .: Білім, 1973 ж. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Тереңдетілген оқуалгебра және математикалық талдау курсы.- М .: Білім, 1990. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра және элементар функцияларды талдау), Мәскеу: Наука, 1980 ж. Соминский И.С., Головина М.Л., Яглом И.М. Математикалық индукция туралы), Мәскеу: Наука, 1967. Математикалық индукция әдісі Кіріспе Негізгі бөлім Толық және толық емес индукция Математикалық индукция принципі Математикалық индукция әдісі Шешу мысалдары Теңдік Сандарды бөлу Теңсіздіктер Қорытынды Пайдаланылған әдебиеттер тізімі Кіріспе Барлық математикалық зерттеулер дедуктивті және индуктивті әдістерге негізделген. Ойлаудың дедуктивті әдісі жалпыдан жекеге қарай пайымдау, яғни. пайымдау, оның бастапқы нүктесі жалпы нәтиже, ал соңғы нүктесі жеке нәтиже болып табылады. Индукция нақты нәтижелерден жалпыға өткенде қолданылады, яғни. дедуктивті әдіске қарама-қарсы. Математикалық индукция әдісін прогресспен салыстыруға болады. Біз ең төменнен бастаймыз, логикалық ойлау нәтижесінде ең биікке жетеміз. Адам әрқашан алға ұмтылды, өз ойын логикалық тұрғыдан дамыту қабілетіне ұмтылды, яғни табиғаттың өзі оны индуктивті ойлауға арнады. Математикалық индукция әдісінің қолдану аясы кеңейгенімен, мектеп бағдарламасында оған аз уақыт бөлінеді. Ендеше, екі-үш сабақ пайдалы адамға әкелетінін, ол үшін бес сөз теорияны еститінін, бес қарабайыр есептерді шешетінін, нәтижесінде ештеңе білмегені үшін А алатынын айт. Бірақ индуктивті ойлай білу өте маңызды. Негізгі бөлім Өзінің бастапқы мағынасы бойынша «индукция» сөзі бірнеше нақты мәлімдемелерге негізделген жалпы қорытындылар алынатын пайымдауларға қолданылады. Мұндай пайымдаудың ең қарапайым әдісі - толық индукция. Міне, осы пікірдің мысалы. Әрбір натурал жұп n саны 4 санының шегінде екенін анықтау талап етілсін< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. Бұл тоғыз теңдік бізді қызықтыратын сандардың әрқайсысы екі қарапайым шарттың қосындысы ретінде берілгенін көрсетеді. Осылайша, толық индукция жалпы тұжырымның мүмкін болатын жағдайлардың шектеулі санының әрқайсысында бөлек дәлелденетінін білдіреді. Кейде жалпы нәтижені барлығын емес, жеткілікті көп ерекше жағдайларды (толық емес индукция деп аталатын) қарастырғаннан кейін болжауға болады. Толық емес индукция арқылы алынған нәтиже, алайда, барлық ерекше жағдайларды қамтитын дәл математикалық пайымдаулар арқылы дәлелденбейінше, тек гипотеза болып қалады. Басқаша айтқанда, математикадағы толық емес индукция қатаң дәлелдеудің заңды әдісі болып саналмайды, бірақ жаңа шындықтарды ашудың күшті әдісі болып табылады. Мысалы, сіз бірінші n қатарынан тақ санның қосындысын тапқыңыз келеді делік. Ерекше жағдайларды қарастырайық: 1+3+5+7+9=25=5 2 Осы бірнеше ерекше жағдайларды қарастырғаннан кейін келесі жалпы қорытынды шығады: 1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2 анау. бірінші n қатарынан тақ сандардың қосындысы n 2 Әрине, жасалған бақылау жоғарыдағы формуланың дұрыстығына әлі дәлел бола алмайды. Толық индукция математикада шектеулі қолданылады. Көптеген қызықты математикалық мәлімдемелер ерекше жағдайлардың шексіз санын қамтиды, бірақ біз жағдайлардың шексіз санын тексере алмаймыз. Толық емес индукция жиі қате нәтижелерге әкеледі. Көп жағдайда мұндай қиындықтан шығудың жолы – математикалық индукция әдісі деп аталатын арнайы пайымдау әдісіне жүгіну. Ол келесідей. Кез келген натурал n саны үшін белгілі бір тұжырымның дұрыстығын дәлелдеу керек делік (мысалы, бірінші n тақ санның қосындысы n 2-ге тең екенін дәлелдеу керек). Бұл мәлімдемені n-дің әрбір мәні үшін тікелей тексеру мүмкін емес, өйткені натурал сандар жиыны шексіз. Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін алдымен оның n = 1 үшін жарамдылығын тексеріңіз. Сонда k-ның кез келген натурал мәні үшін n = k үшін қарастырылатын тұжырымның дұрыстығы n = k + 1 үшін де оның дұрыстығын білдіретіні дәлелденді. Сонда мәлімдеме барлық n үшін дәлелденген болып саналады. Шынында да, мәлімдеме n = 1 үшін дұрыс. Бірақ бұл келесі n = 1 + 1 = 2 саны үшін де дұрыс. n = 2 үшін мәлімдеменің жарамдылығы оның n = 2 + үшін жарамдылығын білдіреді 1 = 3. Бұл n = 4 үшін мәлімдеменің дұрыстығын білдіреді және т.б. Ең соңында кез келген натурал n санына жететініміз анық. Демек, мәлімдеме кез келген n үшін дұрыс. Айтылғандарды қорытындылай келе, біз келесі жалпы принципті тұжырымдаймыз. Математикалық индукция принципі. Егер n натурал санына байланысты A (n) сөйлемі n = 1 үшін ақиқат болса және n = k үшін ақиқат болу фактісінен (мұндағы k - кез келген натурал сан), ол үшін де ақиқат болатыны шығады. келесі сан n = k +1, онда кез келген натурал n саны үшін A (n) болжамы дұрыс. Кейбір жағдайларда белгілі бір тұжырымның дұрыстығын барлық натурал сандар үшін емес, тек n>p үшін дәлелдеу қажет, мұндағы p - тұрақты натурал сан. Бұл жағдайда математикалық индукция принципі былай тұжырымдалады. жүктеу/скачать 388.51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|