Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г

Кажется, что наиболее распространенная точка зрения на понятие «прикладная математика» среди математиков состоит в том, что прикладной математики вообще нет. Впрочем, разные математики вкладывают в эти слова совершенно различное содержание в зависи­мости от того, что они, математики, включают в самое математику (1).

Одни считают, что математикой нужно называть лишь чисто де­дуктивные построения. Все, что лежит вне таких построений, к математике и к математикам отношения не имеет и не должно назы­ваться математикой, даже прикладной (2). Ныне эта точка зрения ред­ко высказывается вслух, но «неофициально» она еще довольно рас­пространена; между прочим, она представляется «удобной» многим преподавателям математики у нематематиков.

В действительности названная точка зрения, неправомерно и значительно суживающая границы Великой Науки Математики, приносит вред в первую очередь самой математике (и, конечно, делу подготовки молодых математиков). Вот что пишут по этому поводу М. Кац и С. Улам: «Попытки — к сожалению, довольно частые — изолировать «чистую» математику от всей остальной научной дея­тельности и заставить ее вариться в собственном соку могут лишь обеднить и математику, и прочие науки» [1, с. 234].

Та же мысль высказывалась Ф. Клейном: «Чисто логические кон­цепции должны составить, так сказать, твердый скелет ор­ганизма Математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но самое жизнь математики, важнейшие наведения и ее продуктивность относятся преимущественно к ее приложе­ниям, т. е. к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими областями. Изгнать приложения из математики — это то же, что искать живое существо с одной только костной основой, без мускулов, нервов и сосудов» [2, с. 44].

Процитируем, наконец, и А. Пуанкаре: «Физика не только дает нам (математикам. — Авт.) повод к решению проблем; она еще по­могает найти к этому средства. Это происходит двояким путем. Во-первых, она дает нам предчувствия решения; во-вторых, подска­зывает нам ход рассуждений» [3, с. 108] .

Здесь в сущности выражена вторая точка зрения, на наш взгляд гораздо более приемлемая; она заключается в том, что в сферу дей­ствия математики вводятся также и практические методы решения задач, приходящих извне математики (приближенные методы, при­менение математических машин и т. п.).

Однако еще более нам импонирует самая широкая — третья — точка зрения, согласно которой математика не только охватывает дедуктивные области, но и включает все математические сущнос­ти — математические объекты, методы и идеи, встречающиеся как в теоретической математике, так и в приложениях: имеются в виду построение математических моделей, математический эксперимент, индуктивные или другие рациональные (§3) рассуждения математи­ческого характера и т. п.

В весьма интересной книге Д. Пойа [4, с. 309] говорится: «Пре­делы математики — это вся область доказательных рассуждений, от­носящихся к любой науке, достигнувшей того уровня развития, при котором относящиеся к этой науке понятия могут быть выраже­ны в абстрактной, логико-математической форме». Хочется добавить, что при этом в понятие доказательности не следует вкладывать уз­ко догматическое содержание.

Конечно, приверженцам этой точки зрения, которая представля­ется нам наиболее прогрессивной и плодотворной для математики (и, что довольно существенно, также для математиков), приходится поступиться «теоретико-множественным единством» математики, оставив его лишь за неким «ядром» математики.

Приведем еще слова Р. Куранта: «На самом деле между «чистой» и «приклад­ной» математикой невозможно провести четкую грань. Поэтому-то в математике не должно быть разделения на касту верховных жрецов, поклоняющихся непо­грешимой математической красоте и внимающих только своим склонностям, и на работников, обслуживающих их. Подобная «кастовость» — в лучшем случае симптом человеческой ограниченности» [6, с. 27]. На вреде такого снобизма останавливается также Н. Бейли в своей полез­ной книге [7, с. 138] в связи с приложениями математики к биологии и медицине.

В. В. Новожилов пишет: «К сожалению, теоретик до сих пор нередко рассмат­ривает «прикладника» как математика второго сорта, как ученого, который не способен работать предельно строго, разменивается на частности в ущерб общнос­ти. Легко обнаруживая у «прикладников» промахи в строгости рассуждений, тео­ретик часто остается равнодушным к их основному достоинству — умению с дос­таточной для практических целей точностью решать такие актуальные задачи, которые он сам строгими методами решить не может» [8].

В этих цитатах достаточно ярко освещена психологическая сто­рона вопроса. Но независимо от этого нужно подчеркнуть, что ныне все чаще признается объективное существование прикладной мате­матики. Однако и за подобным признанием скрываются различные точки зрения.

Так, некоторые считают, что прикладная математика — это «ширпотребная», в дурном смысле, часть математики, существующая в виде логически недоработанного и несовершенного (возможно, из-за низкой математической культуры специалистов в этой области) набора некоторых приемов, рецептов и правил. Указанные недо­статки прикладной математики должны быть преодолены, в резуль­тате чего эта «недоматематика» возвысится до нормального матема­тического уровня. Иногда подобная точка зрения является реакцией на те, отнюдь не редкие, работы, в которых математическое легкомыслие приводит к прямым ошибкам (мы ниже будем подробно говорить о таких ошибках), или, что гораздо хуже, на те работы, в которых математическая малограмотность «компенсируется» ссылка­ми на прикладную значимость результатов. К сожалению, эта точка зрения порой проникает и в сознание прикладников, вызывая у них некий комплекс неполно­ценности. Это, в свою очередь, приводит к самым нелепым (часто комическим) наукообразным упражнениям.
Думается, что эта наивная, но распространенная точка зрения, если она не является проявлением снобизма, основана на тяжелом непонимании истинной ситуации. В самом деле, как с этой точки зре­ния можно объяснить то, что физики, инженеры-теоретики и другие специалисты, среди которых, бесспорно, имеется немало неглупых людей, применяя математику, упорно уклоняются от строго дедук­тивного языка? И хотя в институтах их систематически учат этому языку, они (себе во вред?) предпочитают переучиваться, переходя на язык прикладной математики и перестраивая весь образ мате­матического мышления. В действительности такая перестройка порой напоминает ломку, так как при этом отбрасываются многие «чистые» определения, теоремы и приемы, на которых категориче­ски настаивает чисто дедуктивный образ мышления. По нашему мне­нию, такая перестройка вполне естественна и единственное объясне­ние ее состоит в том, что она необходима. Ниже мы постараемся до­казать, что отсутствие категорического требования о формально­логическом совершенстве в приложениях математики неизбежно и представляет собой не признак слабости, а источник особой силы прикладной математики.

Другая точка зрения отождествляет прикладную математику с вычислительной и машинной математикой. Эта точка зрения пред­ставляется узкой и создающей одностороннюю ориентацию.

Остановимся теперь на точке зрения, высказанной в нашей статье [9]. Мы исходили из того, что математическое решение прикладных задач обладает серьезной спецификой. Прежде всего, здесь принци­пиально недостижима доказательность того же уровня, что в чисто математических исследованиях, хотя бы потому, что математическая модель реального объекта может описывать лишь существенные в том или ином смысле черты этого объекта, но никогда не претендует и не должна претендовать на его полное описание. С другой сто­роны, к решению прикладных задач предъявляются требования, которые в чисто математических исследованиях считаются второсте­пенными: прикладная задача должна быть решена не только пра­вильно, но и своевременно, экономно по затрачен­ным усилиям, решение должно быть доступным для суще­ствующих вычислительных средств и пригодным для фактического использования, точность решения должна со­ответствовать задаче и т. п. В этом же духе пишут И. Бабушка, Э. Витасек и М. Прагер в своей очень интересной книге [10, с. 9]: «...сегодня задача считается решенной только в том случае, если имеется эффективный метод, дающий требуемый результат с достаточ­ной точностью за приемлемый отрезок времени». В книге Н. С. Бахвалова [11, с. 14], написанной с глубоким пониманием реальных прикладных ситуаций, го­ворится, в частности: «Лучше найти удовлетворительное решение задачи, но в срок, чем получить полное решение задачи к тому времени, когда оно станет бес­полезным».

Наилучшее выполнение всех этих порой противоречащих друг другу требований мы условно назвали оптимальностью решения (по отношению к приложениям), хотя и предупредили, что на данном эта­пе развития науки единую функцию цели было бы указать затруд­нительно. Исходя из этого, было предложено определение прикладной математики как науки об оптимальных, грубо говоря, практически приемлемых методах решения математических задач, возникающих вне математики. Таким образом, прикладная математика — это математика, опосредствованная практикой, это как бы составная дисциплина наподобие биохимии или теплотехники. Развитие этой дисциплины определяется как расширением круга приложений, так и изменением конкретного содержания понятия оптимальности ре­шения задачи; в частности, это содержание существенно изменилось под влиянием современных вычислительных средств. Само собой разумеется, что если мы ищем оптимальное решение, то это не зна­чит, что мы должны отвергать решения, лишь приблизительно от­вечающие требованию оптимальности. Значительная часть реаль­ных решений, которыми мы пользуемся, как раз и есть решения, в данное время в какой-то мере удовлетворяющие этому требованию.

По данному поводу можно напомнить известный афоризм: «Чис­тая математика делает то, что можно, так, как нужно, а приклад­ная — то, что нужно, так, как можно» (3) . Он в целом правильно пе­редает тенденции, хотя слово «нужно» здесь употреблено в различных смыслах. Имея в виду только второй смысл, скажем, что ниже де­лается попытка показать, что прикладная математика призвана де­лать то, что нужно, так, как нужно.

Представляется привлекательной и точка зрения, устно выска­занная Л. В. Овсянниковым: прикладная математика — это наука о математических моделях; более подробно можно сказать — о построении, исследовании, интерпретации и оптимизации матема­тических моделей. Это определение, выделяющее объект науки, на наш взгляд, отнюдь не противоречит предыдущему, которое имеет более функциональный характер. Таким образом, если проводить аналогию — в целом, довольно далекую — между математикой и языком, то чистая и прикладная математика будут напоминать грам­матику и семантику соответственно.

Дискуссии о том, образует ли прикладная математика самостоя­тельную науку, представляются несколько схоластическими из-за многозначности выражения «самостоятельная наука». Возможно, что более правильно говорить не о науке, а об определенном ас­пекте математики, возникающем при ее приложениях, так ска­зать, о результате своеобразного «проецирования» математики на цивилизацию; важно, что при таком проецировании математика при­обретает качественно новые черты. Это проецирование, эти черты и определяют прикладную математику.

Поэтому мы будем пользоваться словами прикладная математи­ка как рабочим термином, определенным последними из приведен­ных выше точек зрения, оставив вопрос о самостоятельности суще­ствования прикладной математики как науки философам (4). В отличие от этого, говоря о чистой математике, мы будем, в первую оче­редь, иметь в виду «ортодоксальную» математику от Вейерштрасса до Бурбаки, основанную на наивной теории множеств. Подчеркнем, что выделение чистой и прикладной математики никак не имеет абсолютного характера, так как это по существу различные аспекты науки, сохраняющей важнейшие черты единства (прежде всего, в основном предмете изучения — структурах, но и не только в этом). В каждом из этих аспектов воз­никают свои глубокие активно взаимодействующие идеи. (Поэтому представля­ется неудачным говорить не о «чистой», а о «теоретической» математике.) Однако это взаимодействие далеко от оптимального!

Основное внимание мы уделим более конкретным вопросам: ка­ковы характерные черты, возникающие при приложении математи­ки; в чем специфика метода рассуждений прикладной математики, в частности, какие рассуждения признаются в ней доказательными, и т. д. Обсуждение этих вопросов может сказаться полезным, даже жизненно актуальным и в исследованиях совершенно конкретного характера.

Приведем в заключение яркие слова Р. Куранта [6, с. 27], гово­рящие о различии подхода к проблемам чистой и прикладной мате­матики и служащие своеобразным введением к нашему последую­щему изложению.

«Одна и та же математическая проблема может быть решена по-разному; приверженец строгого математического подхода (а стремление к таковому времена­ми возникает у всякого человека, склонного к научному мышлению) требует бескомпромиссного совершенства. Он не допускает никаких пробелов в логике мыш­ления и в решении поставленных задач, а достигнутый результат, по его мнению, должен быть венцом неразрывной цепи безупречных рассуждений. И если сторон­ник такого подхода сталкивается с трудностями, которые ему кажутся непреодо­лимыми, то он скорее попытается переформулировать задачу или даже поставить другую, родственную ей, трудности которой он может преодолеть («то, что мож­но — так как нужно».— Авт.). Существует и другой обходной путь: заново опреде­лить то, что считалось «решением проблемы»; в действительности подобная про­цедура иногда представляет собой довольно общепринятый предварительный шаг к подлинному решению исходной задачи.

В исследованиях прикладного характера все выглядит по-иному. Прежде всего, поставленную задачу нельзя с такой легкостью видоизменить или обойти. Здесь требуется другое: дать правильный и надежный с общечеловеческой точки зрения ответ. В случае необходимости математик может пойти на компромисс: он должен быть готов внести догадки в цепь рассуждений, а также допустить из­вестную погрешность в числовых значениях. Однако даже задачи в основном прак­тического направления, например, о течениях с ударными волнами, могут потребовать фундаментального математического исследования, чтобы установить, корректно ли поставлена такая задача. В прикладных исследованиях могут понадобиться и доказательства чисто математических теорем существования, поскольку уверенность в том, что имеется решение, может гарантировать досто­верность используемой математической модели. (На самом деле это несколько слож­нее и мы будем об этом далее говорить.— Авт.) И, наконец, в прикладной математике доминируют аппроксимации (приближения) — без них невозможно обой­тись при переносе реальных физических процессов на математические модели.

Обращение с реальностью, преобразованной в абстрактные математические модели, и оценка точности достигаемых при этом соответствий требуют интуитив­ных навыков, совершенствуемых опытом. Часто необходимо как-то преобразовать исходную математическую проблему, которая оказывается слишком сложной для решения современными методами. Это отчасти объясняет характер интеллекту­ального риска и удовлетворение, которое испытывают математики, работающие с инженерами и естествоиспытателями над решением реальных задач, возникаю­щих всюду, куда проникает человек в своем стремлении к познанию природы и управлению ею».

§ 2. О РАЗЛИЧИИ НЕКОТОРЫХ ПОДХОДОВ В ЧИСТОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Однако имеются понятия и утверждения, трактовки которых в чистой и в прикладной математике принципиально различаются. Здесь мы остановимся именно на случаях, когда понятия и утверждения чистой математики не приемлемы для прикладной математики и вынуждают последнюю искать свои пути, в свою очередь, не­приемлемые с точки зрения чистой математики; сюда же примыкает важный вопрос о понятии строгости.

Для прикладника математический объект всегда представляет собой схематизацию реального, например физического, объекта. Поэтому голое утверждение о существовании математического объекта, например утверждение «решение данной задачи существует», обычно для прикладной математики совершенно недостаточно. В лучшем случае оно может иметь какое-либо вспомогательное, промежуточное значение, либо может иметь наводящий характер для «подлинного» утверждения о существовании, в котором математический объект фактически конструируется с приемлемой точностью, например, в случае (а) находится решение, а в случае (б) указыва­ется элемент х₀ (5).

Разумеется, доказательство теоремы о существовании всегда служит вдохновляющим фактором для исследователя в его поисках конструктивного решения (6); отсутствие такого доказательства может вообще удержать наиболее осторожных исследователей пессимистического склада от фактического конструирования решения.

Однако в целом можно сказать, что неконструктивное доказатель­ство существования не обладает большой ценностью для прикладни­ка, а отсутствие такого доказательства неспособно его обезоружить в поисках фактического решения. Многое зависит от способа доказа­тельства теоремы о существовании. Пусть, например, бесконечное множество М достаточно простой структуры служит математиче­ской моделью реального (конечного!) объекта R с неопределенно или просто достаточно большим числом элементов. Например, множество натуральных чисел может служить моделью упо­рядоченной дискретной реальной совокупности, состоящей из конечного, но неопределенно большого числа элементов. Аналогичная ситуация возникает, когда мы какой-либо реальный объект неопределенно большой или просто доста­точно большой протяженности во времени или в пространстве заменяем при иссле­довании на объект бесконечной протяженности.

Если утвержде­ние «в М существует по крайней мере один элемент х₀, обладающий свойством α», доказано с помощью прямого конструирования этого элемента, то обычно бывает сравнительно просто разобраться, что отвечает этому утверждению в R. Но если оно получено путем при­ведения к логическому противоречию противоположного утвержде­ния («каждый элемент М не обладает свойством α»), то ситуация оказывается более сложной. Так, элемент из R, который должен был бы отвечать х₀, может оказаться в той «неопределенной дали», где примененная математическая схематизация теряет свою отчет­ливость.

Отметим, что известные возражения интуиционистов против применения закона исключенного третьего (7) к бесконечным множествам (см., например, [12; 13]) имеют основания, по-видимому, до некоторой степени сходные с приведенными. Упрощенно говоря, интуиционисты считают, что математический объект признается су­ществующим, только если он фактически указан.

Неконструктивные утверждения о существовании могут получаться также при применении закона исключенного третьего к ко­нечным множествам. Правда, если элементов у множества немного - а свойство α, которым должен обладать искомый элемент х₀, легко проверяемо, то эффективное построение этого элемента можно осу­ществить хотя бы с помощью простого перебора или какого-либо ино­го метода, на указание которого может вдохновить чистая теорема существования. Но если названные условия нарушены, то утверж­дение становится менее конструктивным, причем такая неконст­руктивность может дойти до полной.

Приведем пример. Одним из первых начал применять неэффек­тивные доказательства существования для конечных множеств П. Ди­рихле на основании выдвинутого им утверждения, которое теперь называется принципом Дирихле. Этот принцип, легко вытекающий из закона исключенного третьего, гласит, что если п предметов разложено по т ящикам, причем п > т, то по крайней мере в одном из ящиков будет более одного предмета. Так, с помощью принципа Дирихле легко доказывается, что в городе с полумиллионным населени­ем в любой момент всегда существуют по крайней мере два человека с одинаковым числом волос (для этого надо к одному классу — «ящику» — отнести людей с одинаковым числом волос). Но ведь установ­ление этого факта никак не помогает персонифицировать эту пару «равноволосых» людей; более того, по отношению к любому прошед­шему моменту такая персонификация вряд ли возможна когда-либо в будущем, хотя теорема о существовании равноволосых пар установлена!

Между прочим, утверждение типа «среди первых 100 натуральных чисел существует число п, обладающее свойством α», уже имеет прикладное содержание, если число 100 в рассматриваемой реальной задаче является на самом деле конечным, т. е. до него можно фактически добраться. Если задача состоит в отыска­нии числа, обладающего свойством α, то приведенное утвержде­ние содержит не менее «0,01 полного решения», которое можно получить хотя бы с помощью перебора (в реальной возможности такого перебора и состоит «истинная конечность» числа 100 в рассматриваемой ситуации), если не представится ничего лучшего. Впрочем, возможны и реальные задачи, для которых утверждение, приведенное в начале абзаца, служит полным решением.

Итак, мы видим два принципиально различных взгляда на понятие существования математического объекта: в прикладной математике он существует как математическая модель реального объекта, принципиально идентифицируем и конструируем, тогда как в чистой математике он существует как идея, не противоречащая принятой системе аксиом. Интересно отметить, какой метаморфозе подвергается понятие существования, переходя из естественных наук в чистую математику и превращаясь при этом из служебного понятия в объект изучения! Здесь проявляется общий тезис о том, что одни и те же слова могут иметь для различных людей далеко не одинаковый смысл. Различные группы людей как бы говорят на хотя и значительно взаимосвязанных, но не идентичных и порой сильно отличающихся друг от друга языках. Игнорирование этого служит посто­янным источником недоразумений.

В заключение приведем две цитаты из книги Р. Куранта и Г. Роббинса [14, с. 136—137 и 139], относящиеся к описанной выше проблеме существования.

«Когда речь идет о доказательстве существования объекта определенного типа, то есть существенное различие между тем, чтобы построить осязаемый пример объекта, и тем, что из несуществования объекта можно вывести противо­речивые заключения. В первом случае получается осязаемый объект, во втором ничего, кроме противоречия».

«Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете упи­раются в один основной вопрос: что понимать под существованием в математике? К счастью, существование самой математики не зависит от того, найден ли удовле­творительный ответ на этот вопрос. Школа «формалистов», во главе которой стоял великий математик Гильберт, утверждала, что в математике «существование» означает «свободу от противоречия». Если принять эту точку зрения, то очевидной и необходимой задачей является как раз построение системы постулатов, из ко­торых всю математику можно было бы вывести путем логической дедукции, и до­казательство того, что эти постулаты не могут привести ни к какому противоречию. Недавние результаты Геделя и других как будто бы показывают, что такая программа, по крайней мере, в той форме, в какой она была намечена самим Гильбер­том, не может быть осуществлена (8). Весьма многозначительно то обстоятельство, что гильбертова теория формализованного построения математики существенно опирается на интуитивные процедуры. Тем или иным путем, в открытой или скры­той форме, даже прикрытая самым безупречным формалистическим, логическим, аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда остается самым жиз­ненным элементом в математике».

3. Проблема бесконечности. Мы уже затронули выше эту важ­нейшую проблему, которая также по-различному трактуется в при­кладной и чистой математике. Реальные объекты всегда конечны, поэтому бесконечный математический объект (бесконечная последо­вательность, бесконечный интервал и т. п.) может появиться в результате упрощающей математической схематизации, когда «да­лекие» элементы, участки теряют свою индивидуальность, их влия­ние сходит на нет (9). Таковы понятия упругого пространства (полу­пространства и т. д.) или бесконечно длинной балки на упругом основании в теории упругости, или понятие об установившемся ре­жиме вынужденных колебаний (или автоколебаний), на который не влияют начальные условия. Реальное количество элементов или реальный размер интервала, дающие возможность перехода к математи­ческой бесконечности, в различных задачах даже при изучении од­ного и того же объекта весьма различны; они зависят от «скорости за­тухания» влияния далеких элементов и принятой оценки существен­ности этого влияния. Поэтому такая бесконечность является, по существу, незавершенной и притом счетной: в дискретном случае количество «конечных» элементов, которые имеют «персональное» значение, может в аналогичных рассмотрениях и даже в процессе одного и того же рассмотрения меняться, бесконечное множество может при этом заменяться на конечное и обратно. Аналогичные метаморфозы в непрерывном случае происходят со временем установ­ления, пограничным слоем и т. д.

Другой тип бесконечности в прикладной математике появляется в результате схематизации конечной системы, в которой каждый элемент потерял индивидуальное значение. При такой схематизации дискретность заменяется на непрерывность, суммы — на интегралы и т. п. Интересно, что в некоторых конкретных примерах число элементов в си­стеме, обеспечивающее возможность такой упрощающей замены, может оказаться весьма небольшим. В качестве примера сошлемся на задачу о вычислении наиболь­шего прогиба круглой пластинки, нагруженной в середине и свободно опертой в n точках на контуре, которые расположены в вершинах правильного n-угольника. Расчеты показывают, что уже при п = 5 эту систему опор можно с достаточной точностью заменить на кольцевую шарнирную опору вдоль всего контура. Таким образом, в рассматриваемой задаче уже 5 ≈ ∞.

Таким образом, результаты, полученные в терминах актуально (завершенно) бесконечных множеств, при переводе на язык приложе­ний нуждаются в тщательном анализе.

Имеется еще одно существенное отличие в подходе чистой и при­кладной математики к бесконечному: речь идет о понятии бесконеч­но малого. Как известно, чистая математика уже давно отвергает концепцию актуальной бесконечно малой, а современные математи­ческие курсы для математиков вообще обходятся без упоминания это­го понятия. В то же время все дифференциальные законы приклад­ных дисциплин выводятся и трактуются на уровне актуальных бес­конечно малых, причем стихийно, без явных формулировок вырабо­тались навыки действий с такими величинами, например представ­ления о том, когда можно, а когда нельзя отбрасывать величины высшего порядка малости и т. п. Например, при рассмотрении криволинейного движения материальной точки для построения вектора скорости можно малый (точнее, актуальный бес­конечно малый) участок траектории заменить на малый прямолинейный отрезок, отбросив малые высшего порядка, определяющие искривление этого участка. Однако в динамике при рассмотрении действующих на точку сил уже приходится удерживать малые 2-го порядка, а малый участок траектории можно заменить на дугу окружности. Если же изучается кручение траектории в пространстве, то начинают играть роль даже величины 3-го порядка малости по сравнению с дли­ной участка траектории.

Впрочем, отсутствие разверну­того исчисления бесконечно малых и сейчас может привести в более сложных ситуациях к недоразумениям и даже к прямым ошибкам.

Иногда думают, что вывод и трактовку дифференциальных за­конов можно сделать «вполне строгими» с помощью «строгого» (на ε-уровне) перехода к пределу. На самом деле положение существен­но сложнее: такой переход невозможен уже из-за квантовых и моле­кулярных свойств, в силу которых рассматривать физические вели­чины, уменьшенные сверх некоторых разумных границ, вообще лишено смысла. В связи с этим физики вводят «физически» или «практически» бесконечно малые величины, допустимые при рассмот­рении физических дифференциальных законов, впрочем, не давая это­му понятию определения на уровне чистой математики. Строгий (в смысле чистой математики) предельный переход производится на самом деле в некоторой математической модели физической карти­ны, однако правила построения этой модели не являются в этом же смысле строгими. Иногда просто говорят, что такая модель получает­ся в результате осреднения реальной картины по областям физи­чески бесконечно малых размеров, но такую оговорку чистая мате­матика, конечно, не может признать строгой.

В качестве типичного примера рассмотрим определение плотнос­ти в точке неоднородного тела

где (ΔV) означает малую область, содержащую точку A, a ΔV — объем этой области, а прочие обозначения очевидны. Ясно, что реально (ΔV) не должна безгранично уменьшаться, ее размеры долж­ны быть существенно больше межмолекулярных расстояний, хотя и существенно меньше характерных конечных размеров, на кото­рых плотность может заметно измениться. Применяя для области таких размеров букву d вместо Δ, приходим к формулам

в которых dm и dV представляют собой физически бесконечно ма­лые величины, т. е. величины, удовлетворяющие описанным оцен­кам; эти величины можно рассматривать как переменные или как постоянные. Формулу (1) можно понимать в смысле чистой матема­тики, если реальное вещество, состоящее из частиц, предварительно заменить с помощью осреднения и «сглаживания» результата на мате­матическую сплошную среду.

Физические бесконечно малые, имеющие совершенно иные мас­штабы протяженности, возникают при рассмотрении плотности на­селения на Земле или плотности распределения звезд во Вселен­ной. Конечно, и здесь можно применить осреднение, хотя в первом примере оно выглядело бы несколько странно...

Примененные выше выражения «существенно больше», «суще­ственно меньше», «заметное изменение» не имеют точного чисто ма­тематического смысла, это типичные рациональные понятия (§ 3). В большинстве теоретических рассуждений эти понятия и не нуж­даются в полном уточнении, достаточно иметь уверенность в том, что величина выбирается с необходимым «запасом прочности», который может понадобиться в этих рассуждениях. Во многих случаях пере­ход к величинам высшего или низшего порядка означает по тради­ции попросту увеличение или уменьшение не менее чем в 10 раз, хотя в ряде случаев такой коэффициент, как бы меняющий качест­во величины, имеет существенно иное значение. Какие-либо обосно­ванные общие соображения о выборе этого коэффициента пока отсут­ствуют и трудно себе представить, на что они могли бы опираться.

Итак, рассуждения, связанные с выводом или интерпретацией дифференциальных законов, имеют всегда не чисто дедуктивный, а рациональный характер.