Курсовая работа по предмету «методы вычисления» по теме: «Методы аппроксимации функций. Аппроксимация алгебраическими многочленами. Единственность решения интерполяционной задачи.»
жүктеу/скачать 0.55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение.
| Теорема Чебышева. Для того, чтобы многочлен P0n(x) был многочленом наилучшего приближения для непрерывной функции f(x) на отрезке [a,b], необходимо и достаточно, чтобы существовали по крайней мере (n+2) точки аx0 f(xi ) - P0n(xi)=(-1)imin , i=0,1,...,n+1, где = (+1) либо(-1) одновременно для всех точек xi (i = 0,1,...,n+1), min - минимально возможное отклонение. По Теореме многочлен P0n(x) должен по крайней мере (n+2) раз отклоняться по оси y на величину minот функции f(x), причем знак отклонения при последовательном прохождении точек x0 , . . .,xn+1 каждый раз изменяется на противоположный. Определение. Набор точек (x0 , . . .,xn+1 ), в которых разность f(xi ) - P0n(xi) попеременно достигает величины (+min) и (-min), называется чебышевским альтернансом. На Pис. 7, 8 показаны примеры наилучших равно-мерных приближений при n=0 (горизонтальный отрезок прямой) и n=1 (наклонный отрезок прямой) для некоторой функции f(x). Рис. 7. Пример наилучшего равномерного приближения при n=0. В общем случае (для произвольных f(x)) задача определения многочлена наилучшего равномерного приближения аналитического решения не имеет. Для функции f(x)=0 на отрезке [-1,+1] аналитическое ре-шение для многочленов Pn(x)со старшим коэффициентом (при x ), равным 2 , дано Чебышевым.
Среди всех рассмотренных многочленов наилучшее рав-номерное приближение дают многочлены T (x), которые определяются рекуррентной формулой n=0; Т0(x) =1; n =1; Т1(x) =x; (15) n 2; Тn(x)=2xТn-1(x) - Тn-2(x). Поскольку функция cos(n arccos x) также удовлетворяет соотношениям (15), то в тригонометрической форме многочлены Чебышева можно представить в виде: Тn(x) =cos(n arccos x).(16) Используя рекуррентную формулу (15) и выражение (16), многочлены Чебышева при n≥2, можно найти в алгебраическом и тригонометрическом виде: T2(x) = 2x2 –1 = cos(2 arccos x); T3(x) = 4x3 –3x = cos(3 arccos x); T4(x) = 8x4 – 8x2 + 1 = cos(4 arccos x); T5(х) = 16x5 – 20x3 +5x = cos(5arccosx) и т.д. Несложно заметить, что при четном nполином Тnявля-ется четной функцией (как сумма четных степеней х). При нечетном n Тn(x) является нечетной функцией. При –1 x 1 выполняется ограничение Тn(x) = cos(n arccos x) ,по-этому максимальное отклонение min у всех Тn(x) равно1. Графики многочленов Т0(x), Т1(x), Т2(x)показаны на Рис.9. Рис. 9. Графики многочленов Т0(x), Т1(x), Т2(x). Координаты точек альтернанса являются реше-ниями уравнения Tn(x)=cos(narccos(x)=1. Решением являются значения
Если функция f(x)=0 задана на произвольном интервале [a,b], то точки альтернанса и сам многочлен Чебышева можно получить для нее с помощью линейной замены x = 0,5[(b+a)+(b-a)x], переводящей точки из отрезка [-1,1] в точки отрезка [a,b]. Применяя замену к значениям (17), получим что координаты точек альтернанса функции f(x)=0 на отрезке [a, b] равны xi = 0,5[(b+a)+(b-a) cos(i/n)], , i=0,...,n (18) В случае произвольного задания кривых y = f(x) для опре-деления многочленов наилучшего равномерного прибли-жения применяют численные итерационные алгоритмы. Наиболее употребительны алгоритмы, в которых искомый полином Pn(x) и отклонение min определяются следую-щим образом. жүктеу/скачать 0.55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|