Пример. Решить систему Решение

тельства неравенства

f (a,b,..., k)

f (a,b,..., k) на заданном множе-

стве значений переменных a, b,..., k , составляют разность

f (a,b,..., k)

g(a,b,..., k)

и доказывают, что она положительна при

и для доказательства неравенств вида

f g,

f g,

f g .)

Пример. Докажем, что если ab

0 , то ^{a b} 2

b a

(1)

Доказательство. Составим разность

b a ab ab

Так как неравенство

ab

выполняется при любых значе-

ниях ^a и b , удовлетворяющих неравенству ab 0 , то неравенство

1. 
   доказано (знак равенства имеет место лишь при a b ). 2°. Синтетический способ доказательства неравенств
   

Суть этого способа заключается в следующем: с помощью ряда преобразований выводят требуемое неравенство из не- которых известных («опорных») неравенств. В качестве опорных могут использоваться, например, неравенства:

, где a 0, b 0;

где ab 0;

b a

ax² где a

Пример.	Докажем,	что	если	a1	0,..., an	0,	причём
a1 a2 ...an	1, т о

⁽¹ (3)

Доказательство. На основании (2) имеем

Перемножив эти п неравенств, получим

откуда следует, что (1

то есть (1

. Неравенство (3)

доказано (знак равенства имеет место лишь в случае
3°. Аналитико-синтетический способ доказательства нера- венств Суть этого способа заключается в следующем. Снача- ла предполагают, что доказываемое неравенство справедли- во, затем, исходя из этого предположения, выводят с помо- щью ряда преобразований некоторое известное или очевидное неравенство (этап анализа), после чего, используя полученное неравенство как очевидное, выводят доказываемое неравен- ство (этап синтеза).

4°. Доказательство неравенств методом математической индукции Этот метод рассмотрим на примере неравенства Коши Неравенство Коши

Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чи- сел не меньше среднего геометрического этих чисел, то

есть если

a₁, a₂ ,..., a_n

— неотрицательные числа, то

. (4)

Равенство возможно только тогда, когда
Сначала докажем лемму:

Лемма. Если

x₁

x₁ , x₂ ,..., x_n

.

и x₁x₂ ...x_n

1, то

Доказательство. Применим метод математической индук- ции.

1. n

1, то ^x₁

и ^x₁

— верно.

2. 
   Пусть утверждение верно при n
   

. Докажем, что

тогда утверждение верно при n k 1 .

Пусть ^x₁

и ^x₂ ¹ . Тогда

(x₁

1)(x₂

1) 0 , откуда

x₁ x₂ 1 x₁ x₂ .

А тогда x₁

x₂ ...

^xk 1

1 (x₁x₂

x₃ ...

x_{k 1} ) 1

k , так как

по индуктивному предположению

x₁x₂

x₃ ...

^xk 1

k , если

x₁ x₂ , x₃ ,..., x_{k 1} 0 и (x₁x₂ )x₃ x₄ ...x_{k 1} 1 .

Из 1) и 2) следует, что утверждение верно для любого нату- рального п.

Переходим к доказательству неравенства (4). Если хотя бы одно из чисел a₁, a₂ ,..., a_n равно нулю, то очевидно:

¹ (a

_n 1

Пусть ни одно из чисел a₁, a₂ ,..., a_n

не равно нулю, т. е. каждое из

чисел a₁ , a₂ ,..., a_n

0. 
   . Положим
   

x_i

Тогда x₁, x₂ ,..., x_n

1

согласно лемме

x₁ x₂ ...x_n

n , следовательно,

_n (a₁ .

§13 Теоремы о среднем геометрическом и среднем гармони- ческом, о среднем арифметическом и среднем квадратичном Неравенство Коши устанавливает соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим не-

скольких неотрицательных чисел.

Пусть имеется несколько неотрицательных чисел

a₁, a₂ ,..., a_n . Будем считать, что они пронумерованы в по-

рядке возрастания, т. е. a₁

a₂ ...

a_n .

Средней величиной для этих чисел называется всякое чис-

ло ^a , удовлетворяющее неравенствам a₁ a a_n .

Вообще говоря, средних величин имеется сколько угодно. Мы рассмотрим четыре средние величины, наиболее употре- бительные в математике:

1. 
   среднее арифметическое M₁
   

a₁ a₂ ...

n

a_{n ;}

(1)

2. 
   среднее геометрическое M₂
   

ⁿ a₁a₂...a_n ;

(2)

3. 
   среднее гармоническое M ₃
   

3. 
   среднее квадратичное M₄
   

a₁ a₂

(3)

a_n
(4)

Наша задача состоит из двух частей: во-первых, доказать,

что числа

M₁, M ₂ , M₃ , M ₄

— действительно средние величи-

ны, во-вторых, установить неравенства между ними.

Теорема 1. Числа

a₁, a₂ ,..., a_n .

M₁, M ₂ , M₃ , M ₄

— средние величины для чисел

Доказательство. В выражении (1) заменим все a_i

самым меньшим

из них a₁ . Получим: M₁ a₁ . Теперь в выражении (1) заменим все a_i

самым большим из них a_n . Получим: M₁

a_n . Итак, a₁

M₁ a_n .

Мы доказали, что M₁

— среднее для чисел

a₁, a₂ ,..., a_n . Точно

так же доказывается, что

a₁, a₂ ,..., a_n .

M ₂ , M ₃ , M ₄

— средние для чисел

Теорема 2. Для средних величин

M₁, M ₂ , M₃ , M ₄

справедливы

следующие неравенства: M₃ M ₂ M₁ M ₄ .

Доказательство. Из неравенства Коши известно, что M ₂ M₁ .

Остаётся доказать, что: 1°) M ₃ M ₂ ; 2°) M₁

1°) На основании неравенства Коши для чисел

¹ , ¹ ,..., ¹

име-

ем:

a₁ a₂ a_n

.
Отсюда получаем (используя следующее свойство число-

вых неравенств: из a b, a

0, b 0

1 1 _):

a b

a₁ a₂ a_n

, то е ст ь M ₃

M ₂ .

2°) Мы хотим доказать, что

a

(5)

Возведя каждую часть неравенства (5) в квадрат, получим нера- венство

a

n² n
(6)

Из неравенства (6) вытекает неравенство (5). Для того чтобы доказать неравенство (6), достаточно доказать неравен- ство

(a₁

(7)

Неравенство (7) можно доказать методом математической индукции. (Доказать самостоятельно.)