Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел § Метод математической индукции §
жүктеу/скачать 186.94 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 13 x 3 . Най- 2
Глава 3. Тригонометрия§18 Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы приведения По известному значению одной из тригонометрических функций некоторого фиксированного значения аргумента могут быть найдены значения остальных тригонометриче- ских функций. При этом применяются основные тригоно- метрические тождества: cos2 x tg xsin x , cos x x n ,2 n Z; (1)
ctg xtg x 1 cos x , sin x x k , 2k Z; (3)
(5) cos2 x 1 sin2 x 2 (6) Тождество (1) следует из того, что cos x и sin x яв- ляются абсциссой и орди- натой точки Pt тригоно-
метрической окружности (см. [7] и рис. 11). Дейст- x вительно, так как радиус этой окружности равен 1, то сумма квадратов координат точки на 1. Pt рав- Тождества (2) и (3) выражают определения тангенса и котангенса. Тождество (4) получается из (2) и (3) при их почленном перемножении. Докажем тождество (5), при этом будем использовать тожде- ства (2) и (1): 1 . Тождество (6) доказывается аналогично. Пример. Известно, что ти sin x, tg x, ctg x . cos x 12 , причём 13x 3 . Най- 2Решение. Так как аргумент принадлежит промежутку (третьей четверти, если воспользоваться тригонометрической ок- ружностью), то из (1) получим: sin xтогда из (2) и (3) tg x 5 , ctg x 12 . 12 5Формулы приведения Формулами приведения называют такие формулы, кото- рые служат для упрощения тригонометрических функций от аргументов вида k . Все формулы приведения можно получить, применяя тео- ремы сложения для тригонометрических функций, или по свойствам периодичности этих функций. Перечислим формулы приведения для синуса, беря
Докажем, например, третью из этих формул. Для этого используем одну из теорем сложения: sin( Оставшиеся семь формул доказываются аналогично (при доказательстве седьмой и восьмой можно использовать, что 2 — период синуса). Все остальные формулы приведения для синуса сводятся к этим восьми, при этом используется свой- ство периодичности синуса. Например,
sinАналогично обстоит дело с формулами приведения для косинуса, тангенса и котангенса. Приведём основные из них: tg ctg , tg2 2 ctg , k, tg( ) tg , tg( ) tg , k; 2 Чтобы составить любую из формул приведения, нужно иметь в виду, что упрощаемая тригонометрическая функция f k приводится к тригонометрической функции от 2 , перед которой ставится знак или знак ; нужно лишь знать, каким будет название функции и какой знак перед ней поставить. Это определяется при помощи мнемонического правила, которое состоит в следующем: если k четно, то название функции не меняется, если же k не- чётно, то название функции меняется на сходное ( т. е. " синус" на "косинус" и наоборот, "тангенс" — на "котангенс" и на- оборот): в предположении, что 0 , определяют, в какой четвер- 2 ция f в этой четверти, и ставят этот знак перед полученным ре- зультатом. Пример. Упростить выражение cos . Решение. Так как k — нечётное, то название функции меня- ется на сходное, т. е . с " косинуса" на " синус". А так как число 9 2переходит при отображении наматывания в точку, лежащую во второй координатной четверти (в пред- положении, что 0 ), причём знак косинуса во второй чет- 2верти отрицательн ый, то перед полученным результ атом нужно поставить знак "минус". Итак, cos . Ответ: . жүктеу/скачать 186.94 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|