§19 Теоремы сложения для тригонометрических функций

смотрим точки

P , P , P

^{, P}₀ на

тригонометрической окружно- сти, соответствующие при отображении наматывания (см. [7])

числам динаты:

и 0; их коор-

Дуги

^P₀ ^P и ^{P P} равны, по-

этому равны и стягивающие их хорды. Выразив квадраты

расстояний между точками чим:

(cos(

P₀ и <sup>P

, P</sup> и P и приравняв их, полу-

.

Отсюда имеем (после раскрытия скобок и применения

тождества

cos² t

sin² t

1) равенство

2 2cos( ) 2 2cos cos 2sin sin , из которого и получаем соотношение (2): cos( ) cos cos sin sin . Формулу (2) называют формулой косинуса разности.

С помощью формулы (2) легко получить соотношение (1) —

формулу косинуса суммы:

cos(
Для вывода формулы (3) используем соотношение (2) и формулы приведения:

sin

Из формулы (З) получим формулу (4):
.

Применяя формулы (1) и (3), выведем формулу (5):

Аналогично получается и формула (6) (она также может быть по- лучена из формулы (5) заменой на ). Заметим, что для формул

(5) и (6)

k , n ,

2 2

m , k, n, m Z .

2

Тригонометрические функции кратных аргумен- тов

В формулах (1), (3), (5) положим , получим:

cos 2 cos²

sin²

; (7)

sin 2 2sin cos ; (8)

tg 2

2tg

(9)

1 tg²

Формулы половинных аргументов

Основными формулами являются:

sin

(10)

sin

tg ²

2sin cos

2 2

sin _;

² cos 2 cos²

2 2

sin 2sin²

1 cos

1 cos

_tg 2 2 _.

² cos 2sin cos

2 2 2

sin

§20 Формулы преобразования произведения тригонометри- ческих функций в сумму. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Формулами первого типа являются

sin cos

cos cos
cos sin

¹ (sin( ) sin( )), (1)

2

¹ (cos( ) cos( )), (2)

2

¹ (cos( ) cos( )) (3)

2

Выведем эти формулы. Складывая почленно равенства

sin sin 2sin

2

sin

cos

^b , (4)

2

(5)

cos cos 2cos

2

cos cos 2sin

2

cos

sin

, (6)

2

(7)

2

Вывод этих формул также основан на применении теорем сложения.

Складывая и вычитая почленно равенства

sin(x y) sin x

sin(x y) sin x

cos y

cos y

cos x

cos x

sin y ,

sin y ,

получим соответственно: sin(x y) sin(x y) 2sin x sin(x y) sin(x y) 2cos x
cos y ,

sin y .

Положим x y , x y , тогда
x , y .

2 2

При этих обозначениях получим формулы (4) и (5). Далее, складывая и вычитая почленно равенства

cos(x y) cos x

cos y

sin x

sin y ,

cos(x y) cos x

cos y

sin x

sin y

и изменяя обозначения (x y

ветственно (6) и (7).

, x y

) , получим соот-

Выведенные формулы справедливы при любых значениях

и , так как, каковы бы ни были числа и , можно подобрать ^{такие x и} y ^{, чтобы соблюдались соотношения}

в чём легко убедиться, разрешив эту систему относитель- но ^x и y . Сумма тангенсов

sin		sin		sin	cos	cos	sin
cos		cos			cos	cos

tg ,
откуда, используя формулу синуса суммы, получим:

tg .
Аналогично выводится формула разности тангенсов

tg .

§21 Аркфункции; их определения, свойства и графики

Функция y (арксинус)

Для тригонометрической функции y sin x , рассматриваемой на

всей области определения ( , ) , переход к обратной функции невозможен, так как она не является монотонной ( прин и-

мает всякое значение y на бесконечном множестве значений

аргумента). Переход к обратной функции станет возмо ж-

ным, если рассмотреть y на каком-либо промежутке моно-

тонности, на котором sinx принимает все свои значения. Известно, что

функция y sin x монотонно возрастает от – 1 до 1 на каждом из

промежутков [

2

2 n;

2

2 n] (n Z )

и монотонно убывает от

1. 
   до – 1 на любом из промежутков [ 2 n; ³
   
2. 
   n] (n Z ) . На
   

2 2

решим равенство y

относительно x :

x arcsin y , затем

меняем местами обозначения аргумента х и функции у, п о-

лучаем: y (1)

График обратной функции симметричен графику основной функ- ции (для которой построена обратная) относительно прямой, содер- жащей биссектрисы первого и третьего координатных углов.

На рис. 13 изображены графики функций.

y

Свойства функции y

и обратной ей y

arcsin x

arcsin x .

1. 
   . Область определения ^D_y
   

чений синуса).

[ 1;1]

(совпадает с областью зна-

2. 
   Область значений E_y
   

(совпадает с выбранным

промежутком области определения исходной функции — синуса).

3. 
   Функция y
   

нечётная: arcsin(

x) arcsin x (так

как синус — нечётная функция).

4. 
   Функция y монотонно возрастает (так как моно-
   

тонно возрастающей на промежутке [ является исходная

функция y sin x ).

1

-1 0
y=cos(x)

x
¹ π/2 π

- 1

5. 
   График пересекает оси Ox и Oy в точке O 0;0 .
   

6. 
   arcsin x при 0
   

x 1, arcsin x

0 , arcsinx < 0 при 1 x 0 .

Все свойства функции y arcsin x вытекают из свойств функции
y на промежутке [ ; ] .

2 2

Функция y arccos x (арккосинус)

всякое значение y

[ 1;1]

на бесконечном множестве значений ар-

гумента), поэтому переход к обратной функции невозм о-

жен. Этот переход станет возможным, если рассмотреть y cos x на

каком-либо промежутке монотонности, на котором cosx принимает

^{все свои значения. Функция} y cos x ^{монотонно возрастает от —1}

до 1 на каждом из промежутков [ 2

n; 2

n], (n Z ) и монотон-

но убывает от 1 до – 1 на любом из промежутков

[2 n; 2 n], (n Z ) . На любом из промежутков монотонности

функция y cos x имеет обратную функцию. В качестве промежут-

ка, на котором рассматривается функция y cos x и строится обрат-

ная к ней функция, обычно берут [0; ]. Функцию, обратную

косинусу, взятому на указанном промежутке монотонности, называют арккосинусом и обозначают ^arccos .

Определение 2. Арккосинусом называется функция, обратная

функции y cos x на промежутке 0 .

Разрешив равенство y

cos x относительно x :

x arccos y ,

затем меняя местами обозначения аргумента х и функции у, получаем:

y arccos x (2)

График функции y arccos x симметричен графику функции

y cos x (0

относительно прямой, содержащей биссектри-

сы первого и третьего координатных углов. Эти графики изо- бражены на рис. 14.

Свойства функции y arccos x

1. 
   . Область определения D_y = [-1:1] (совпадает с областьюзначе- ний косинуса).
   
2. 
   Область значений Е_у = [0;π] (совпадает с выбранным проме- жутком области определения исходной функции — косинуса).
   
3. 
   Функция y arccos x ни чётная, ни нечётная. Для неё выпол-
   

няется тождество arccos x arccos x. (3)

4. 
   Функция y arccos x монотонно убывающая.
   
5. 
   График пересекает ось (Ох) в точке (1;0), а ось (Оу) – в точке
   

.

6. 
   arccos x на всём отрезке 1
   

x 1.

Свойства функции y arccos x выводятся из свойств функции

y cos x ^{, взятой на промежутке} [0; ]^.

Функция y (арктангенс)

Рассмотрим функцию y tg x . Областью определения этой

функции является множество действительных чисел, за ис-

ключением , область значений — множество

^{действительных чисел} R ^{. Функция} y tg x ^{монотонно возрастает от}

до на любом интервале вида

n, n

2 2

, n Z .

Для того чтобы получить функцию, обратную тангенсу,

рассматривают функцию y на промежутке монотонности
, на котором она монотонно возрастает, принимая
все значения от до . Функцию, обратную тангенсу, взятому на указанном промежутке монотонности, называют арктан- генсом и обозначают arctg .

Определение 3. Арктангенсом называется функция, обратная

функции y

на промежутке

2 2

Разрешив равенство y относительно x :

затем меняя взаимно обозначения х и у получаем:

y arctg x (4)

График функции y arctg x симметричен графику функции

y (где

2

x ) относительно прямой, содержащей бис-

2

сектрисы первого и третьего координатных углов. Эти графи- ки изображены на рис. 15.

1. 
   . Область определения ^D_y
   

тангенса).

2. 
   Область значений E_y
   

(совпадает с областью значений

(совпадает с выбранным

промежутком области определения исходной функции — тангенса).

3. 
   Функция y нечётная (так как нечётной является ис-
   

ходная функция – тангенс): arctg( x) arctg x .

4. 
   Функция y монотонно возрастающая.
   
5. 
   График пересекает оси (Ох) и (Оу) в точке O(0; 0) .
   

6. arctg

при

и arctg

при

x 0 .

7. 
   П р я м ы е y
   

графика функции y

2

arctg x .

y горизонтальные асимптоты

2

Свойства функции y arctg x вытекают из свойств функции
y tg x , взятой на промежутке ; .

2 2

Функция y

Функция y

arcctg x (арккотангенс)

ctg x , рассматриваемая на всей области определения

( , ), x n, n Z не является монотонной и принимает всякое значение y R на бесконечном множестве значений аргумента,

на каждом из промежутков (2

n; 2

n)(n Z ) . На любом из

промежутков монотонности функция y

функцию.

ctg x имеет обратную

В качестве промежутка, на котором рассматривается функция

y и строится обратная к ней функция, обычно берут (0; ) ¹.

Функцию, обратную котангенсу, взятому на указанном промежутке монотонности, называют арккотангенсом и обозначают arcctg .

Определение 4. Арккотангенсом называется функция, обратная

функции y на промежутке 0 .

Разрешая равенство y ctg x ; относительно x :

затем меняя местами обозначения аргумента х и функции у,

получаем:

y arcctg x

(5)

График функции y arcctg x симметричен графику функции

y ctg x

(0 x

) относительно прямой, содержащей бис-

сектрисы первого и третьего координатных углов. Эти гра- фики изображены на рис. 16.
¹ В некоторых старых учебниках и даже в новейших компьютерных математических системах, таких как Mathematica, рекомендуется для по- строения функции, обратной котангенсу, брать его на промежутке ( / 2;0) (o; / 2] . Это мотивируется тем, что на данном промежутке котангенс принимает любое заданное значение; кроме того, промежуток сим- метричен относительно нуля, а поскольку котангенс – нечётная функция, то нечётной будет и обратная к ней. Однако такой выбор был бы неудобен, так как в точке 0 котангенс неопределён, поэтому обратная функция имела бы разрыв. К тому же существует традиция российской математической школы, согласно которой при построении обратной функции котангенс рассматрива- ется на промежутке (0; ) .

1. 
   . Область определения D_y
   

котангенса).

2. 
   Область значений E_y
   

R (совпадает с областью значений
(совпадает с выбранным проме-

жутком области определения исходной функции — котангенса).

3. 
   Функция y arcctg x ни чётная, ни нечётная. Для неё выпол-
   

няется тождество arcctg(

х) arcctg x

(6)

4. 
   Функция y arcctg x монотонно убывающая.
   

4. 
   График пересекает ось (Оу) в точке
   

ресекает.

, а ось (Ох) не пе-

4. 
   arcctg x 0 на всём интервале .
   

4. 
   Прямые y
   

тами графика.

0 и y являются горизонтальными асимпто-

Свойства функции y arcctg x выводятся из свойств функции

y ctg x , взятой на промежутке (0; ) .

жүктеу/скачать 186.94 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: