Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий

Философские проблемы математики

Новосибирск

2006

УДК

Ф

Философские проблемы математики: Материалы для выполнения учебных заданий. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2006.

Д-р филос. наук, профессор Л.С. Сычева

Целищев В.В. Поиски новой философии математики

Коллинз Р. Социальная реальность объектов математики и естествознания

Розов Н.С. Природа «упрямой реальности» в философии естествознания и математики

Сычева Л.С. Проблема реальности математических объектов

Веркутис М.Ю. Рефлексивная симметрия как механизм новаций в условиях неведения

Философские проблемы математики

Книга А. Френкеля (математик, один из авторов важной системы аксиом Цермело-Френкеля для теории множеств) и И. Бар-Хиллела (специалист в области семиотики) представляет собой полный обзор результатов, полученных в основаниях теории множеств к 1958 году. Приведенный в хрестоматии параграф 8 из главы Y содержит изложение философских проблем, связанных с обоснованием математики, и различных точек зрения на их решение. Основное внимание направлено на исследование вопроса об онтологическом статусе множеств. Рассматриваются решения, предложенные платонистами, неономиналистами, неоконцептуалистами. Рассмотрены также попытки осознать математику как эмпирическую науку, качественно никак не выделяемую из других эмпирических наук, когда доказывается, что формальные науки менее «формальны», чем принято думать, а также попытка Куайна, которая исходит из того, что эмпирические науки не столь уж «эмпиричны».

Целищев Виталий Валентинович, директор Института философии и права СО РАН, логик, доктор философских наук, выпустил несколько книг по философии математики. В первой главе книги «Философия математики», приведенной в хрестоматии, дает сводку направлений в философии математики, более подробно характеризует структурализм, номинализм, реализм. Анализирует платонизм как представление о том, что математические объекты сущест­вуют вне и независимо от человеческого сознания, существуют не в материальном мире, а в мире идеальных сущностей. Если платонизм как «рабочая» вера математика не вызывает у математиков никаких сомнений, то в философском отношении платонизм отягощен массой неприятных аспектов. Реакцией на философски затруднительную позицию платонизма является эпистемологизация математики, т.е. переход от рассмотрения традиционных вопросов о природе математических объектов и математической истины к исследованию вопросов математического познания.

Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966. Глава Y, § 8. Стр.398-416.

Во многих местах этой книги, когда нам приходилось ка­саться некоторых щекотливых «философских» вопросов, мы пре­рывали изложение замечанием, что проблема эта будет освещена «позже». Теперь наступил последний срок выплаты накопив­шихся долгов. Вряд ли читатель после чтения этого заключи­тельного параграфа проникнется ощущением, что все возникшие перед ним проблемы получили теперь свое окончательное разре­шение. Почти никаких окончательных суждений он здесь не встретит; единственно, в чем мог бы состоять прогресс, так это в самой формулировке некоторых из этих проблем, а также различных точек зрения на них, что могло бы способствовать лучшему пониманию их существа.

Первая из этих проблем — это онтологический статус множеств; не того или иного конкретного множества, а множеств вообще. Под словом «множество» обычно понимают то, что философы называют универсалиями (universals); таким образом, интересующая нас сейчас проблема есть частный случай давно известной и широко обсуждавшейся классической проблемы об онтологическом статусе универсалий. Три основных ответа на общую проблему универсалий, идущие еще от средневековых дискуссий, известны под именами реализма, номинализма и концептуализма. Мы будем рассматривать здесь не сами по себе эти направления мысли в их традиционных версиях (1), а только их современные аналоги, известные как платонизм (2), неономинализм и неоконцептуализм (впрочем, приставку 'нео' мы будем, как правило, опускать, так как здесь у нас не будет случая обсуждать старинные версии). Мы рассмотрим затем еще одну позицию, согласно которой вся эта проблема онтологиче­ского статуса универсалий вообще и онтологического статуса множеств в частности есть не что иное, как метафизическая псевдопроблема.

От такой точки зрения остается всего один шаг до принятия философии «как-будто» („As-if "philosophy"); Генкин (11) указывает, что финитистски настроенный номиналист, т.е. тот, кто верит, что мир (который для него представляется всегда в виде некоторой однородной области индивидов, причем природа этих индивидов роли не играет) состоит лишь из конечного числа элементов, вполне мог бы допустить, что существование беско­нечного числа предметов есть полезный обман (pretense) (рань­ше в таких случаях говорили 'фикция' (fiction)). Он, конечно, видит, что уж если быть готовым к фикциям, то с таким же успехом можно было бы согласиться с фикцией о существовании универсалий и пользоваться в полном объеме платонистским языком, отрицая в то же время, что тем самым приходится принимать онтологические соглашения, связываемые обычно с таким языком; однако он чувствует, что между этими двумя фикциями есть существенное различие, вследствие которого по­следовательный номиналист охотнее согласится с первой фик­цией, чем со второй; Генкин признает при этом, что никакого объективного критерия для такого различения фикций ему неизвестно. Конечно, он прав, говоря, что такой образ действий, при котором использование языков форм не предполагает принятия онтологических допущений, производит несколько легко­мысленное впечатление и нуждается поэтому в дальнейших разъяснениях (12).

Имеются и такие авторы, которых не привлекает ни сочная растительность платонистских джунглей, ни суровый пустынный ландшафт неономинализма. Им больше нравится жить в тщательно распланированных и хорошо обозримых садах неоконцептуализма. Они претендуют на понимание того, что такое множество, хотя и предпочитают пользоваться метафорой по­строение (или придумывание (inventig}), а не любимой мета­форой платонистов выбор (или открытие); эти метафоры заменяют собой более старую антитезу: существование в созна­нии— существование в некотором внешнем (реальном или иде­альном) мире. Неоконцептуалисты готовы допустить, что лю­бое вполне определенное и ясное условие действительно опреде­ляет соответствующее множество — коль скоро в этом случае они могут «построить» это множество, исходя из некоторого за­паса множеств, существование которых либо интуитивно оче­видно, либо гарантировано предварительными построениями,— но не согласны принимать никаких аксиом или теорем, в силу которых им пришлось бы согласиться с существованием каких бы то ни было множеств (13), не характеризуемых конструктив­ным образом. Поэтому они не допускают множеств, соответствую­щих непредикативным условиям (за исключением, конечно, тех случаев, когда можно доказать, что такое условие можно заме­нить равносильным ему предикативным), и отрицают справед­ливость (validity) теоремы Кантора в ее наивной, абсолютной интерпретации, в силу которой множество всех подмножеств любого данного множества имеет мощность большую, чем мощность самого этого множества. Абсолютное понятие несчетности объявляется лишенным смысла, хотя и может случиться, что какое-либо бесконечное множество окажется не перечислимым с помощью некоторых данных средств.

Конечно, в номиналистически интерпретируемой теории мно­жеств, при которой '' интерпретируется как 'является членом', заключено contradictio in adiecto (14 - противоречие по определению). Но мы говорили уже, что некоторые номиналисты согласны пользоваться теорией мно­жеств как неинтерпретированным исчислением, выполняющим чисто трансформационные функции. И платонисты, и концеп­туалисты настаивают на том, что теория множеств (как и вооб­ще математика) должна быть интерпретируемой и понимаемой сама по себе и не использовать никаких неинтерпретируемых исчислений. Расходятся же эти два направления в своем понимании того, что такое «понимаемость» (intelligibility).

Было бы легко, даже слишком легко, продолжать в том же духе. Лишь очень немногие современные логики и математики последовательно и неуклонно придерживались в течение всей своей жизни одной и той же философской линии. Говоря об исключениях из этого правила, можно назвать Брауэра, всю жизнь являющегося искренним и бескомпромиссным концеп­туалистом (позиция эта, между прочим, не помешала ему дока­зать несколько «классических» теорем топологии), Чёрча, про­поведующего прямолинейный (хотя отнюдь не догматический) платонизм, и Гудмена, до сих пор не поддавшегося концептуа­листским соблазнам и стойко исповедующего самый крайний но­минализм, который если и меняется в чем-либо со временем, то разве что в сторону еще большей радикальности. Следует, прав­да, отметить, что номинализм его несколько особой марки и имеет мало общего с классическим номинализмом. Номинализм этого рода можно было бы назвать чисто синтаксическим номи­нализмом; Гудмен настаивает на том, что единственной законной формой языка является некоторое функциональное исчисление первого порядка, но без каких бы то ни было ограничений, по крайней мере официально принятых им, на онтологический ста­тус самих индивидов, до которых ему нет решительно никакого дела; в качестве таковых можно рассматривать хотя бы сообщения с того света, или числа, или множества, вернее «множества», поскольку про такие множества нельзя сказать, что они содержат какие-либо члены. Короче говоря, девиз Гудмена та­ков: он ничего не имеет против множеств, он только не может понять, что значит множество чего-либо (21) .

Самый выдающийся представитель этой четвертой, антионтологической, точки зрения — Карнап. В одной из своих послед­них работ (22) он ввел для обозначения двух названных нами во­просов термины: внутренняя проблема {question) существования и внешняя проблема существования. Правда, Карнап не зани­мается непосредственным приложением этого различения к про­блемам оснований теорий множеств; но нам представляется, что такое приложение осуществляется совсем легко и прямо, и мы надеемся, что не исказим точку зрения самого Карнапа на обсу­ждаемый сейчас вопрос.

Точка зрения эта также не свободна от своих собственных трудностей. Мы не будем обсуждать их здесь. Считаем только необходимым сказать, что наше изложение могло породить не­сколько преувеличенное представление о степени расхождения позиций Куайна и Карнапа. Верно, что Куайн часто повторял, принять какую-либо теорию можно, лишь связав себя некоторыми абсолютными онтологическими соглашениями; верно, что Карнап как раз это самое отрицал. И тем не менее далеко не ясно, до какой степени это расхождение не является чисто (или преимущественно) словесным (23).

Мы уже говорили (гл. III, стр. 216), что некоторые неокон­цептуалисты отвергают не только непредикативные способы образования понятий, но и более широкий класс методов нео­пределенного (в смысле Карнапа) образования понятий; если говорить об этом в терминах метаязыка, речь идет об отказе от языков с неограниченной квантификацией. Сторонники такой позиции (среди них можно назвать Пуанкаре, Брауэра, Витген­штейна, Кауфмана, Сколема и Гудстейна) приходят к своему отказу от таких трансфинитных операций под влиянием того соображения, что не существует разрешающей процедуры, ко­торая позволяла бы решать вопрос об истинности квантифицированных предложений. Отождествляя осмысленность с эффек­тивной проверяемостью (effective verifiability) (24), они немедлен­но приходят к заключению, что выражения, содержащие неогра­ниченные кванторы, вообще говоря, бессмысленны.

В четко определенных языках, хотя они и подчиняются пра­вилам классической пропозициональной логики, те употребления принципа исключенного третьего, против которых возражают интуиционисты и которые часто ответственны за возникновение антиномий (26), остаются в стороне как раз потому, что они не мо­гут быть сформулированы. Неограниченная общность предложе­ний выразима с помощью свободных переменных; что же ка­сается неограниченных экзистенциальных предложений, то они вообще не могут быть выражены в таком языке: утверждать

‘F(х)’- значит утверждать, что все х суть F, но утверждать ‘~ F(x)’ — значит утверждать вовсе не то, что не все х суть F, а то, что все х суть не F или что никакое х не есть F.

Тот факт, что запрещение обычных (неограниченных) кванторов не приводит к таким тяжелым ограничительным последствиям, каких можно было бы ожидать, можно проиллюстрировать следующим, довольно тривиальным примером. Пусть в некоторой теории натуральных чисел уже определен дву­местный предикат ‘D’ («делит»); тогда можно дать обычное определение одноместного предиката ‘Р’ («есть простое»), скажем, следующим образом:

Вся хитрость теперь состоит в замене ‘(Ау)’ на ‘(Ау)’х (читается: ‘для всех у от 0 до х включительно’). Вообще всякий раз, когда мы, вводя какое-нибудь разрешимое свойство, хотим заменить неограниченные кван­торы ограниченными, нам нужно только найти какую-нибудь верхнюю границу рассматриваемых чисел.

Поэтому и было предложено (27) считать один из определенных языков, а именно Язык I Карнапа, «в известном смысле» осуществлением наиболее решительных концептуалистских тенденций, иногда именуемых ‘финитистскими’ или ‘конструктивистскими’. Некоторые авторы (например, Сколем или Гудстейн) согласились бы, пожалуй, с такой формулировкой их взглядов, но интуиционисты не согласились бы, хотя, быть может, лишь по той причине, что они вообще считают, что интуицию нельзя адекватно выразить посредством какой бы то ни было формализации.

Отдельно стоит сказать о Лоренцене, который решительней­шим образом отвергает непредикативное образование понятий и в то же время с полной определенностью допускает неогра­ниченную квантификацию (28), отказываясь иметь дело с затруд­нениями, связанными с критерием верифицируемости. Он не придерживается концептуалистической философии, множества для него — это всего-навсего пропозициональные формы (29), ус­ловия со свободными переменными, а вовсе не внеязыковые сущности, соответствующие этим формам, как для настоящего концептуалиста. Но Лоренцен не является и синтаксическим но­миналистом и уже тем более платонистом. Не примыкает он и к последователям Карнапа. Математика для Лоренцена — не лингвистическая неинтерпретированная схема, оцениваемая в зависимости от ее плодотворности и т. п., а интерпретированная теория схематических операций над неинтерпретированными исчислениями.

Несмотря на многочисленные расхождения, философия ма­тематики Карри (30) ближе всех связана с философией Карнапа. Подобно Карнапу, Карри отвергает любые онтологические допу­щения (commitments) (31) и в качестве критерия для оценки математических теорий настойчиво выдвигает их приемлемость (acceptability}(32). Он называет свою концепцию эмпирическим формализмом, подчеркивая этим ее отличие от гильбертовской версии формализма, с которой она и в самом деле значительно расходится; более уместным был бы, пожалуй, термин прагма­тический формализм. Утверждение Карри, что формалистское (предлагаемое им) определение математики не нуждается ни в каких предварительных философских допущениях и что разго­вор о философских различиях было бы разумнее вести в тер­минах «приемлемости», вполне согласуется с теперешней точкой зрения Карнапа, а проводимое Карри различение между обсу­ждением вопроса об истинности какого-либо данного математи­ческого предложения (statement) в данной системе и вопроса о приемлемости этой системы в целом, по-видимому, равносильно карнаповскому различению внутренней и внешней проблем су­ществования.

В отличие от гильбертовского формализма Карри с прене­брежением относится к доказуемой непротиворечивости, отводя более важную роль приемлемости. Это различие позиций, по-ви­димому, не столь уж принципиально, поскольку и сам Гильберт не считал, что непротиворечивость является достаточным усло­вием приемлемости (33). Что же касается интуитивной очевидно­сти, то это, по мнению Карри, роскошь, без которой математика может превосходно обойтись. «Поскольку дело касается приемлемости для физики, анализ не более нуждается в доказательствe непротиворечивости, чем в интуитивной очевидности» (34).

Наконец, аргументы Карри в защиту терпимости (tolerance) допросах приемлемости (35) отражают, вероятно намеренно, знаменитый карнаповский принцип терпимости (36). Всякому, кто настаивает, основываясь на своей интуитивной убежденности, что raison d'etre имеют лишь математические системы определенного рода, стоит еще раз как следует подумать, не тормозит ли его нетерпимость научный прогресс, а не пытаться втиснуть науку в узкую колею единственного пути, обещающего надежду. В некоторых случаях конструктивность является необходимым условием приемлемости математической теории — так, сажем, обстоит дело с метаматематикой или с машинной математикой; поэтому теории конструктивного (theories of the conctructible} (термин этот, в противовес употребляемому в следующей фразе, недавно предложен Гейтингом (37)) стоят того, чтобы их изучали математики с любыми философскими убе­ждениями; и их действительно изучают математики с совершенно различными убеждениями, равно как и те, что обходятся без всяких философских убеждений. Что же касается утвер­ждения, согласно которому единственная законная математи­ка — конструктивная математика (constructible mathematics}, то очень мало шансов, что оно убедит кого-либо из тех, кто не разделяет особой точки зрения интуиционистов.

В наши намерения не входило давать здесь полную сводку всех существующих направлений философии математики. Все же будет уместно сделать еще несколько замечаний на эту тему.

Мы совсем пока не говорили о той концепции математики, согласно которой математика рассматривается как эмпириче­ская наука, качественно никак не выделяемая из других эмпи­рических наук. Мы не говорили об этом до сих пор по той при­чине, что просто не можем себе представить, каким образом можно было бы обосновать веру в то, что «источником и окон­чательным raison d'etre понятия числа, как натурального, так и действительного, является опыт и практическая применимость» (38), хотя именно эту веру исповедует Мостовский, и аналогичные заявления можно встретить также в других, весьма многочисленных сочинениях, начиная еще с Джона Стюарта Милля. Разумеется, можно было также считать, что за такого рода заявлениями не скрывается ничего большего, нежели тривиальная констатация того факта, что опыт привел человечество к математике. Трудно, однако, согласиться с этой тривиализацией; совершенно непонятно, например, как из такого истолкования можно «сделать вывод, что имеется только одна арифметика натуральных чисел, одна арифметика действитель­ных чисел и одна теория множеств» (39). Но какой же еще смысл может иметь заявление, что источник бесконечных множеств заключается в опыте? (У нас нет особых возражений против того взгляда, что окончательный raison d'etre понятий числа и множества лежит в их практической применимости, но мы ре­шительно не понимаем, как из этого можно извлечь единствен­ность арифметики и теории множеств.)

Эту попытку игнорировать качественное отличие формальных наук (логики и математики) от реальных (эмпирических) наук, представляющуюся нам недостаточно обоснованной, не следует смешивать с другой недавней попыткой, предпринятой Куайном (40) и другими, игнорировать границу между этими науками. Последняя отличается от первой тем, что основным ее тезисом является не столько утверждение, что формальные науки менее «формальны», нежели принято думать, сколько утверждение, что эмпирические науки не столь уж «эмпиричны». В защиту этой точки зрения приводятся довольно убедительные аргументы, но выводы, которые можно сделать из этих аргументов, вовсе не предопределены с необходимостью. С таким же (а пожалуй, даже с большим) успехом можно прийти к заключению, что в эмпирической теории следует различать теоретическую подтеорию и экспериментальную подтеорию, так что математика — или требующиеся к данному случаю ее разделы — составляла бы вместе с некоторой конкретной теоретической подтеорией исчисление, хотя непосредственно и не интерпретированное, но получающее частичную и косвенную интерпретацию с помощью специальных правил соответствия, связывающих теоретические термины с почерпнутыми из наблюдения и опыта понятиями экспериментальной подтеории (41).

За последнее время было предпринято немало попыток ис­толкования некоторых метаматематических теорем, например теоремы Лёвенгейма — Сколема или теоремы Гёделя о неполноте в качестве доводов, опровергающих одни онтологические воззрения и поддерживающих другие. Эти попытки, по нашему мнению, к успеху не привели. Свои сомнения по этому поводу, касающиеся теоремы Лёвенгейма — Сколема, мы уже выражали раньше (гл. II, стр. 138—139). Что же касается теоремы Гёделя, то мы склонны признать точку зрения Майхилла (42), глубоко критикующего доводы, основанные на различии понятий «дока­зуемое» и «истинное», и присоединиться к его утверждению, что доводы эти вовсе не опровергают номиналистическую позицию (но никоим образом не разделяем майхилловской интерпрета­ции ограничительных теорем Гёделя, Чёрча и др., носящей пси­хологический характер). Вообще мы считаем маловероятным, что какие бы то ни было математические и метаматематические результаты смогут окончательно опровергнуть какую-либо из онтологических позиций, хотя и вполне возможно, что в ка­честве факторов иррациональной природы они смогут оказы­вать значительное влияние на готовность принять какую-либо из этих позиций. Если кому-нибудь будет угодно заключить отсюда, что ни одна онтологическая концепция, ввиду неопро­вержимости каждой из них, не имеет никакого значения для математики (именно для математики, а не для математиков), мы не станем ему особенно возражать.

Теперь нам легче оценить — хотя, пожалуй, и не решить — выдвинутую выше (стр. 379—382) проблему. Мы видели тогда, что непополнимость некоторых логистических систем может иногда быть истолкована как неаксиоматизируемость некото­рых формализованных теорий. Но если такое истолкование для арифметических теорий было вполне естественным, то по от­ношению к теориям множеств оно внушает сомнения. Дело в том, что существует по крайней мере одна формализованная арифметика, полная относительно ясного и естественного поня­тия общезначимости (validity), а именно арифметика Сколема; что же касается теорий множеств, то ничего подобного о них сказать нельзя.

В каком же тогда смысле существует, если только этому действительно придается смысл, единственное в своем роде понятие множества (натурального числа), подчиняющееся един­ственной настоящей Теории Множеств (соответственно Арифме­тике Натуральных Чисел), неполными приближениями к кото­рой являются имеющиеся аксиоматические теории множеств (арифметики)? Мы уже знаем, что некоторые эмпирические реалисты, например Мостовский, ответили бы на этот вопрос заявлением, что множества и натуральные числа существуют и (приблизительно) том же смысле, в каком существуют живот­ные или камни, и что Теория Множеств и Арифметика един­ственны опять-таки в том же самом смысле, в каком единствен­ны Зоология (43) и Минералогия. Возможно, что другие предста­вители эмпирического реализма проводили бы здесь различие, утверждая реальность и единственность только для чисел и арифметики, но не для теории множеств. Мы уже признались в своей неспособности понять любую из этих позиций.

Все платонистски настроенные реалисты убеждены в един­ственности чисел — не как эмпирических сущностей, а как платонистских идей — и их теории (т.е. арифметики- 44). (Для интересующих нас це­лей не существенно, какие термины используются для обозначе­ния специфической «формы бытия» этих сущностей, в отличие от формы бытия животных и камней. Некоторые авторы упо­требляют в таких случаях различные поясняющие эпитеты, дру­гие проводят различие между «бытием» (being), «существова­нием» различного рода («existence», «subsistence»), «реальностью» (reality) и т. п.) Например, Гёдель полагает, «что допущение таких объектов [классов и общих понятий] столь же законно, как и допущение физических тел, и имеются столь же веские осно­вания верить в их существование» (45). Однако не ясно, следует ли из этой точки зрения единственность классов и понятий, или же различные, возможно даже несовместимые между собой, си­стемы таких сущностей могли бы выполнить задачу «получения удовлетворительной системы математики». Мы не убеждены, что расстояние между прагматическим платонизмом Гёделя и праг­матическим формализмом Карнапа и Карри так уж велико, как это принято считать. Действительно ли так глубока пропасть между следующими двумя позициями: верой в существование множеств, обосновываемой их необходимостью для получения некоторой удовлетворительной системы, и принятием некоторой теории множеств, обосновываемым тем, что эта теория способ­ствует получению некоторой удовлетворительной системы?

Концептуалисты и номиналисты имеют мало оснований ве­рить в однозначную определенность понятия множества, хотя большинство концептуалистов верят в однозначную определен­ность натурального ряда чисел, который служит им в качестве основы для их построений. Но сами построения вовсе не обя­зательно должны осуществляться однозначным образом.

Для антионтологистов вся эта проблема вообще не возни­кает. Источник веры в единственность Теории Множеств совер­шенно ясен. В неэлементарные теории повсеместно проникают теоретико-множественные понятия, и если сама теория множеств понимается как элементарная аксиоматическая теория, то вся­кая неэлементарная теория может тогда рассматриваться как объединение двух элементарных теорий: элементарной теории множеств и некоторой элементарной теории, специфичной для рассматриваемой дисциплины. Решающее понятие «абсолютной модели» неэлементарной теории, т. е. такой модели, в которой теоретико-множественные понятия получают их стандартную интерпретацию, определена однозначно лишь в той же мере, в какой однозначно определена стандартная интерпретация этих понятий. Поэтому верно утверждение, что понятие абсо­лютной модели «получит более глубокое значение только то­гда, когда будут решены трудные проблемы оснований теорий множеств, благодаря чему математики могут единодушно при­нять один способ обоснования этой теории» (46). Но мы не ви­дим пока решительно никаких оснований верить в единствен­ность решения проблем оснований теории множеств, которое привело бы всех математиков к принятию одной такой теории в качестве подлинной (47) Теории Множеств. Прагматическая необходимость такой веры, мотивируемая тем, что в случае отказа от нее возник бы хаос, когда каждый математик говорил бы о своей собственной теории множеств, более чем сомнительна. Для того чтобы быть хозяевами положения, нам вполне достаточно прагматического критерия приемлемости. Наличие многих конкурирующих между собой теорий множеств, по, крайней мере до тех пор, пока они не вносят существенных перемен в каждодневную деятельность математиков и физиков, вряд ли настолько опасно, чтобы оправдывать навязывание какого бы то ни было credo в этом отношении. Поскольку вера в объективную реальность (что бы под этим ни подразумева­лось) и обусловленная ею однозначная определенность понятия множества и самой теории множеств — это всего лишь своего рода успокоительные средства, вовсе не приводящие к догматическому отказу от каких-либо предложенных теорий множеств (заметим, что даже Мостовский самым недвусмысленным образом заявляет, что «у нас нет критериев, которые могли бы указать на правильный выбор из этих многих систем [теорий множеств] (48)), такой метафизический акт веры оказы­вается совершенно безобидным, даже в известном смысле по­лезным. Но часто всего один шаг отделяет веру в существова­ние объективного критерия, с помощью которого можно было бы однозначным образом решить спор между конкурирующими теориями, от веры, что этот критерий уже найден, и от присвое­ния права предать анафеме все эти теории, кроме как разве что какой-нибудь одной, во имя некой земной или небесной реальности. И многие предпочитают беспокойную свободу рабскому спокойствию.

Во взглядах на то, каким образом можно было бы достигнуть удовлетворительного обоснования теории множеств, все еще имеется большое расхождение, и громадное количество возникающих в этой связи проблем еще далеко не решено. И все же подавляющее большинство математиков отказывается счи­тать, что идеи Кантора были всего лишь болезненным бредом. Несмотря на то что основания теории множеств все еще довольно шатки, эти математики продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты теории множеств в большей части разделов анализа и геометрии, и даже отчасти в арифметике и алгебре, твердо веря в то, что работы по обоснованию теории множеств приведут в конце концов к реабилитации теории множеств в полном (или по крайней мере почти полном) ее классическом объеме. Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще.

Примечания

1. Доступное описание этих классических точек зрения, выполненное с современных позиций, см. в статьях Штегмюллера, 56—57, где представлены также и некоторые из новейших направлений.

2. Этот термин (в принятом здесь нами смысле) впервые употреблен, по-видимому, Бернайсом, 35. Был ли (да и вообще мог ли быть) платонистом сам Платон — вопрос спорный. Ср., например, рецензию П. Хенле на книгу Гудмена, 51, в Journal of Symbolic logic, 17 (1952), 130—133.

3. Манеру выражаться (франц.). — Прим. перев.

4. На первый взгляд (лат.). —Прим, перев.

5.То есть —для какого-либо данного бинарного отношения R —такое отношение между х и у, которое равносильно наличию цепочки , где и для всех i, , ; см., например, Гудстейн, 57, стр. 138 русского издания, т- Прим. перев.

6. Ср. Гудмен — Куайн, 47; Гудмен, 51, 56; Куайн, 53.

7. См. Гудмен, 51, стр. 37 и сл.

8. О причинах безнадежности нахождения для (какой-нибудь формы) аксиомы бесконечности такой интерпретации, которая удовлетворила бы финитистски настроенных номиналистов, см. Генкин, 53а, стр. 27.

10. Подробное обсуждение современного состояния очень близкого вопроса — статуса теоретических понятий в эмпирических науках — см. у Карнапа, 56, и в упоминавшейся выше (стр. 385, примечание 2) статье Хемпела.

11. Генкин, 53а, стр. 28.

12. См. Карнап, 50а, 56, Алстон, 58, Иссман, 58. Можно ожидать, что материалы готовящегося к печати сборника “The philosophy of Rudoff Carnap» — The Library of Living philosophers — внесут существенный вклад в такого рода необходимое разъяснение.

13. Обсуждение этого вопроса, так же как и всего круга проблем, рас­сматриваемых в данном пункте, см. у Бета, 56, стр. 41 и ел

14. Противоречие по определению; противоречивое свойство (лат.).— Прим. перев.

15. Подобные случая могут быть объяснены эволюцией науки: номинали-­
стические тенденции в свое время привели к логицизму, а впоследствии
логицизм уже стал рассматриваться как разновидность платонизма, и т. п.—
Прим. ред. /
16. *Хан, 7, 9, 10.

17. Ср. Куайн, 53, стр. 122—123.

18. Куайн, 53, стр. 129 [буквально: «... не вкусил лотоса с платонистами» (идиома lotus-eater («поедатель лотоса») имеет два значения: 1) праздный мечтатель, 2) человек, живущий в свое удовольствие. — Перев.].

19. Куайн, 53, стр. 129.

20. Ср., например, Тарский, 56, стр. 62.

21. [Курсив добавлен при переводе; в оригинале ^эsets-of '. — Перев.] Чрезвычайно ясное описание этого оттенка номинализма и убедительная защита его непривычных утверждений от всяческих нападок изложены в статье Гудмена, 56.

22. См. Карнап, бОа.

23. Ср. между собой последние параграфы книги Карнапа, 50а, и вторую статью из сборника Куайна, 53 (стр. 46) .

24. Аналогичное отождествление, касающееся эмпирических предложений, идёт еще от Пирса и в качестве верификационного критерия-смысла играло важнейшую роль в начальной стадии развития логического эмпиризма. Об истории этого вопроса см., например, *Карнап, 18.

25. Классическим изложением этой теории может служить книга Гуд-
стейна, 57. Не предполагается никакой предварительной основы, даже про-­
позиционального исчисления. Ср. также Гудстейн, 54; по поводу стоящей за
этой теорией философии см. Гудстейн, 52.

26. Уже отмечалось, что ответственность за возникновение антиномий ле­жит (если принимается положительное исчисление предикатов) не на упо­треблениях закона исключенного третьего, а на неограниченном употреблении аксиом свертывания. — Прим. ред.

27. См. Карнап, 37, стр. 46.

28. Лоренцен, 55, стр. 6.

29. Или, еще вернее, они получаются в результате акта абстракции от эквиполлентных пропозициональных форм — всем эквиполлентным фор­мам соответствует одно и то же множество.

30. Взгляды Карри претерпевали с годами значительные изменения. Кро­ме того, многие из его работ были опубликованы (из-за второй мировой войны) гораздо позднее времени их написания, иногда уже после опублико­вания более поздних сочинений. Эти обстоятельства (а также многократные изменения в терминологии) осложняют оценку вклада Карри в разработку проблем обоснования математики. Наш беглый очерк основывается главным образом на книге Карри, 51 (написанной еще в 1939 г.), содержание кото­рой было впоследствии изложено более сжато в статье Карри, 54.

31. Карри, 51, стр. 31.

32. Карри, 51, стр. 59 и сл.

33. Ср. Гильберт, 25, стр. 163 [стр. 340 русск. изд. Здесь Гильберт гово­рит буквально следующее: «... если, помимо доказательства непротиворечи­вости, может иметь смысл еще вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом или нет. Действительно, успех здесь необходим; он является высшей инстанцией, перед которой преклоняется каждый». Насколько уместно делать из подобных высказываний заключения «о не столь уж принципиальном различии позиций» Карри и Гильберта, предоставляем судить читателю. — Перёв.].

34. Карри, 51, стр. 62.

35. Карри, 51, стр. 64.

36. Карнап, 37, стр. .51.

37. На Коллоквиуме по конструктивным проблемам математики (Амстер­дам, 1957).

42. Майхилл, 52а; ср. Тюркетт, 50.

43. Отметим, что даже Рассел одно время выражался в том же духе, Так, в книге *Рассела, 5 (стр. 169), мы читаем: «Логика связана с реальным миром так же точно, как зоология, несмотря на присущие ей большую аб­страктность и большую общность». Разумеется, последняя оговорка возбуж­дает некоторые сомнения в серьезности расселовской манеры выражаться, oт которой он, во всяком случае, очень скоро отказался.

44. То есть арифметики. — Прим. перев.

45. Гёдель, 44, стр. 137; ср. также статью 47, уже цитированную нами на стр. 119—120, гл. II. Пояснение в квадратных скобках принадлежит не Геделю, а авторам настоящей книги, — Перев.]

46. Мостовский, 55, стр. 12 [стр. 11 русск. изд. — Перев.].

48. Мостовский, 55, стр. 19 [стр. 17 русск. изд.; пояснение в квадратных скобках принадлежит авторам — Перев.].

1. 
   Каков онтологический статус множества как математического объекта?
   
2. 
   Что значит ответить на вопрос об онтологическом статусе множества?
   
3. 
   Как платонисты решают этот вопрос? Какую роль при этом играют аксиомы свертывания?
   
4. 
   Как решают вопрос об онтологическом статусе множеств неоплатонисты? К каким чисто математическим трудностям приводит признание только исчисления индивидов? От каких математических теорий должны отказаться те, кто не признает существование множеств?
   
5. 
   Какие два выхода из затруднений неоплатонистов называют авторы книги?
   
6. 
   Как понимают множество неоконцептуалисты? Какие множества они считают существующими?
   
7. 
   Какие «метафоры» по отношению к множествам признают названные выше направления?
   
8. 
   Как, по-вашему, почему многие математики, высказав ту или иную методологическую программу, ей не следовали в своих математических исследованиях?
   
9. 
   Согласны ли Вы с точкой зрения, что «теории множеств следует оценивать не по их онтологиям (в смысле Куайна), а по их плодотворности»
   
10. 
    К каким следствиям ведет отказ от непредикативных способов образования понятий? Отказ от языков с неограниченной квантификацией?
    
11. 
    Рассмотрите плюсы и минусы концепции Карри, который отвергает любые онтологические допущения и в качестве критерия для оценки математических теорий выдвигает их приемлемость.
    
12. 
    Приведите аргументы «за» и «против» концепции математики, согласно которой математика рассматривается как эмпирическая наука, качественно никак не выделяемая из других эмпирических наук.
    
13. 
    В каком смысле существует «единственное в своем роде понятие множества (натурального числа), подчиняющееся единственной настоящей Теории Множеств (соответственно Арифметике Натуральных чисел), неполными приближениями к которой являются имеющиеся аксиоматические теории множеств (арифметики)»?
    
14. 
    Как Вы думаете, почему «несмотря на то, что основания теории множеств все еще довольно шатки, математики продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты теории множеств в большей части разделов анализа и геометрии, и даже отчасти в арифметике и алгебре»?
    

В.В. Целищев

Поиски новой философии математики

В.В. Целищев. Философия математики. Новосибирск, «Наука». 2002. Стр. 6-48.

Философия математики есть философия в ее чистейшем состоянии, свободном от всяких мирских соображений, философия без всякого подслащивания в виде претензий на Важность для Повседневных Проблем.

Поль Бенацерраф

С другой стороны, написание таких книг и апелляция через них к потенциальному читателю всегда проблематичны, поскольку сама область исследований просто зачастую непонятна. Все знают о ма­тематике, некоторые знают о философии, но не так много тех, кто имеет представление о философии математики. Известный философ математики П. Мэдди, говорит, что ее признание в обществе образованных людей в том, что она является философом математи­ки, приводит к некоторому замешательству — всем более или менее понятно, что такое математика, менее ясно, что такое философия, но философия математики?..

Известно, что сами работающие математики спокойно обходят­ся без философии (кроме, может быть, некоторых выдающихся, ко­торых беспокоят вечные философские вопросы). Известно также, 6

что подавляющее число философов находятся в счастливом неведе­нии относительно тех проблем, которые обсуждаются в математи­ке. Так что эти проблемы могут касаться только весьма узкого круга читателей. Эта ситуация вполне понятна и на обыденном уровне. Для того чтобы читать работы по философии математики, требует­ся знание не только философии, но и некоторое представление о математике, в частности, о математической логике, а также спо­собность следить за математической аргументацией. Обычному чи­тателю философских книг будут непонятны математические и ло­гические детали, работающему математику будет непонятна возня вокруг «тривиальных» философских положений.

Необходимость разбираться в технических деталях представля­ет одну из причин того, что часто философии математики отказыва­ют в статусе подлинной философии, которая должна заниматься «реальными» и «жизненными» проблемами. Так, математик Ж-.К. Рота утверждает, что «...философы этого века больше, чем когда-либо страдали от диктата определенности. Иллюзия окончательного от­вета, который не смог быть получен на протяжении двух с полови­ной тысяч лет в Западной философии, обернулась в нынешнем веке рабской имитацией математики» (1). Далее он говорит: «Снобическое разбрасывание по страницам философских статей символов просто удивляет математиков. Ситуацию можно уподобить тому, как если бы вы расплачивались в магазине долларами из настольной игры Монополия» (2).

Этому мнению противостоит мнение известного философа и математика X. Патнэма: «Орды интеллектуалов жалуются, что фи­лософия стала слишком "технической", что она "отреклась" от ре­альных проблем, и т.п. ...Но печальным фактом остается то, что добротная философия есть и всегда была трудна, и что гораздо лег­че выучить имена немногих философов, чем прочитать их книги. Тот, кто находит философию слишком "технической" сегодня, не смог бы найти времени или желания уследить за длинной цепью аргументов Сократа, или же прочитать одну из Критик Канта» (3).

Чем занимается философия математики? Прежде всего, такими фундаментальными вопросами, как «Что такое математика?», «Ка­кого рода знанием является математическое знание?», «Какова специфика математических объектов?» Все эти вопросы традиционны для философии математики, но сейчас на первый план выходит воп­рос о том, каким образом люди, с их ограниченным чувственным видением мира, входят в контакт с идеальными объектами матема­тики и получают знание математических истин об этих объектах. Заранее нужно отметить важный факт по поводу того, как понима­ется философия математики разными научными сообществами. Философы и математики, занятые основаниями математики, имеют одну точку зрения, а работающие математики — другую. Филосо­фы заинтересованы в поиске философских категорий, которые по­зволили бы объяснить природу математических объектов, т.е. от­крыть нечто большее о математических объектах, чем это делается в математических теориях. Для этой цели соотносятся математичес­кие объекты, например множества, и философские категории, на­пример универсалии. Математические утверждения об объектах математики анализируются в терминах теории познания, а матема­тические теории оцениваются как свидетельства в пользу той или иной философской концепции. При таком подходе осуществляется сведение проблем о природе специфических математических объек­тов к общефилософским проблемам.

Работающие математики совсем по-другому рассматривают про­блемы оснований математики, не считая важными те вопросы, ко­торые считаются таковыми философами. Здесь взгляды на природу математических утверждений и математических объектов в силь­нейшей степени зависят от степени интереса математиков к теоре­тико-познавательным проблемам. Следует признать, что существу­ют две ориентации, которые можно назвать ориентацией работаю­щего математика и ориентацией философского логика. Обе пози­ции превосходно охарактеризованы Р. Мартином:

«Внимание математика приковано главным образом к матема­тической структуре, и его интеллектуальный восторг вызывается открытием того, что данная теория проявляет такие-то и такие-то структуры, или открытием, что одна структура "моделируется" дру­гой, или открытием некоторых других структур, и показом того, как они соотносятся с уже изученными структурами... Математик удов­летворен работой с некоторыми "сущностями" или "объектами" ("множествами", "числами", "функциями", "пространствами", "точ­ками"), и он не исследует их внутренний характер или онтологичес­кий статус. Философский логик, с другой стороны, более чувстви­телен к онтологии и будет особенно заинтересован в том, какого рода сущностями они являются в действительности... Он не удовлетворяется тем простым фактом, что такие-то и такие-то сущности про­являют такую-то и такую-то математическую структуру. Он хотел более глубоко исследовать, что это за сущности и как они соотно­сятся с другими сущностями... Он также хотел бы знать, выступа­ют ли эти сущности как sui generis, или же они в некотором смысле сводимы (или построены в терминах) к другим, вероятно, более фундаментальным» (4).

Учитывая все вышесказанное, ясно, что эта книга обращена к философам, и только к ним. Дело в том, что многие вещи, кажущие­ся тривиальными математикам, в сильнейшей степени озадачивают философов. В качестве типичного примера можно указать теорию трансфинитных чисел Кантора. В обычном учебнике по математи­ке, где есть глава с изложением теории множеств, основные резуль­таты этой теории излагаются на нескольких страницах. Между тем философам известно, что при создании теории Кантор огромное значение придавал метафизическим и даже теологическим сообра­жениям о бесконечности. Поэтому для философа математики инте­рес представляет, скажем, логика теории Кантора, ее генетическая структура, и если прибегнуть к крайностям, можно сказать, что фи­лософа интересует как раз то, что совсем не интересует математика.

Однако для понимания проблем философии математики и их решений требуется знание деталей. Степень детализации при изло­жении таких вопросов — дело тонкое, и зависит от многих вещей. Одним из тезисов этой книги является то, что зачастую невнимание к этим деталям приводит к существенным искажениям интерпрета­ции формализмов, и больше того, к необоснованным философским заключениям. Поэтому технические детали приводятся, по большей части, там, где следует опасаться именно такой напасти.

В книге избегались «избитые» вопросы философии математи­ки, в частности, обсуждение тезисов классических школ филосо­фии математики XX в., а именно логицизм, интуиционизм, форма­лизм, потому что по выражению X. Патнэма «ничего из этого уже не работает». Больше того, содержание книги практически ограни­чено обсуждением проблем, концентрирующихся вокруг двух тем. Это теория множеств Кантора и ее аксиоматизация, а также теорема Левенгейма — Сколема. Хотя обе темы хорошо известны, в тради­ционных изложениях философии математики они зачастую избега­ются, уступая место таким темам, как парадоксы теории множеств и способы их решения в логицизме, интуиционизме и формализме, теорема Геделя о неполноте, формализация математики и пр. Меж­ду тем показательно, что теория Кантора, которая часто рассматри­вается в традиционных курсах лишь как повод для разговора о па­радоксах, совсем по-другому рассматривалась теми же классиками в области оснований математики. Б. Рассел, который одновременно с Э. Цермело предложил выход из парадоксов теории множеств (Рас­сел предложил в 1908 г. теорию типов, а Цермело в том же году — аксиоматическую теорию множеств), уже после публикации Principia Mathematica, в работе Наше познание внешнего мира 1914 г. значи­тельнейшее место уделил тем следствиям, которые теория Кантора имела для философии. Что касается теоремы Левенгейма — Сколема, то она вообще обойдена вниманием философов, в то время как она породила в последнее время целое философское направление, а именно так называемый внутренний реализм X. Патнэма, направ­ление, которое оказало большое влияние на дискуссии о природе реальности и ее «схватывании» языком.

Наконец, еще одно соображение, которым руководствовался автор книги, избегая «избитых» тем вроде парадоксов, их значимос­ти для ситуации в математике. В большинстве учебников приводит­ся распространенная история о том, что теория множеств возникла как результат наивной интуиции, которая привела к парадоксам, вследствие чего интуиция объявлялась ненадежной, и существую­щие аксиоматизации теории множеств исторически возникли как реакция на парадоксы. Многие исследователи опровергают эту точ­ку зрения (5). История с парадоксами касается логического понятия множества, которое использовалось Расселом в чисто философской программе. А в математике применяется комбинаторное понятие множества, и собственно математические исследования Кантора касались этого понятия, связанного с обобщенным понятием функ­ции как полностью произвольного соответствия. Эта точка зрения принимает совсем четкий вид у Геделя: «Более близкий взгляд по­казывает, что теоретико-множественные парадоксы не причиняют особых неприятностей. Они представляют серьезнейшую пробле­му, однако не для математики, а скорее для логики и эпистемологии» (6). Поворот в философии математики скорее к математической прак­тике, а не традиционным философским программам, знаменует со­бой натурализацию этой дисциплины. Поворот этот прослеживается очень зримо на работах одного из ведущих специалистов в облас­ти оснований математики П. Мэдди. Если в книге Математичес­кий реализм (7), опубликованной в 1990г., она придерживается реа­лизма, считая его доминирующим взглядом в философии математи­ки то в новой книге Натурализм в математике (8) 1997 г. она отказы­вается от философских тенет и исповедует принцип «максимиза­ции», согласно которому математик может постулировать любые виды объектов и изучать их, не вопрошая, «а существуют ли эти объекты?». Так что стратегия, принятая в нашей книге по филосо­фии математики, и заключающаяся в том, что мы избегаем традици­онных вопросов об истине математических утверждений и о суще­ствовании математических объектов, имеет свои резоны. Между тем краткую сводку этого традиционного материала можно найти в не­которых Прелюдиях к главам; этот нетрадиционный способ препод­несения материала также имеет свои резоны.

С философской точки зрения философия математики претерпе­ла в известной степени «эпистемологический поворот», напомина­ющий «лингвистический» поворот в аналитической философии по­лувеком ранее. В значительной степени именно эти тенденции бу­дут фоновыми при рассмотрении различного рода проблем. В це­лом это книга о взаимоотношениях математики и философии (или математиков и философов). На этот счет имеются самые разные мнения. Цеховые интересы и предпочтения проявляются тут с уди­вительным непониманием противоположной стороны. Так, по пово­ду Б. Рассела с его логицистской программой ныне говорят, что в кон­це концов Б. Рассел был все-таки философом, а по поводу Я. Брауэра говорят о его философских «чудачествах». Об увлечении К. Геделя последние четыре десятка лет его жизни философией И. Канта и Э. Гуссерля говорят со смешанным чувством уважения к дости­жениям логика и недоумения по поводу странностей гения. Этот перечень можно продолжать достаточно долго, и всякий раз мы стал­киваемся с тем, что превосходно выразил Ж.-К. Рота в статье Мате­матика и философия: история взаимного непонимания ( 9).

Рота говорит о том, что математика имеет дело, во-первых, с фактами, как и любая другая наука. Во-вторых, математика имеет дело с доказательствами, которые кодифицируются в аксиоматичес­ких системах. В этом, по его выражению, проявляется двойная жизнь математики, вполне успешная жизнь, вызвавшая зависть филосо­фии. Во-первых, философия имеет дело со способами описания мира, а во-вторых, философия опирается на аргументацию. Но по поводу методов аргументации среди философов никогда не было согласия. «Отношения философов с богиней Разума всегда были ближе к вынужденному сожительству, чем к романтической связи между богиней Разума и математиками» (10).

Попытка устранить неясности в философской аргументации с помощью математики давно превратилась в мощную индустрию. Однако по ходу того, как основная «производительная сила» этой индустрии — математическая логика — становилась все более ма­тематической дисциплиной, стало закрадываться сомнение в том, насколько формальный аппарат логики, а также математические те­оремы могут быть правильно интерпретированы философски. Имен­но этим вопросам и посвящена данная книга.

В момент возникновения Науки матема­тика и религия были партнерами. От их союза произошли два отпрыска, Платонизм и Основания, с притязаниями на знатность. (Математические истины суть вечные исти­ны в уме Бога; интуиция, способность человека взаимо­действовать с этими истинами может дать неоспоримые основания.) После Канта этот союз распался, и религия была изгнана из страны Науки. Одна из главных защит­ниц Оснований, Евклидова геометрия, была вытеснена своими молодыми кузенами — Неевклидовыми геомет­риями, и была ущемлена Анализом и Арифметизацией. Их дитя, Множество, обещало защитить отпрысков, но не смогло по причине своей нетвердости. Вопреки усилиям трех защитников — Лог(ицизма), Инт(уиционизма) и Форм(ализма), Основания умерли. Платонизм выжил, и не­смотря на то, что его теологические претензии граждана­ми государства Науки были преданы анафеме, доминиру­ющая философия продолжала предоставлять ему убежи­ще. По ходу всей истории гуманистическое меньшинство пыталось свергнуть Платонизм с его притязаниями. Математика не должна, по заверениям гуманистов, подчи­няться диктату Платонизма. Она должна жить своей соб­ственной жизнью, подчиняясь лишь установленным са­мой правилам. С некоторыми заметными гуманистичес­кими исключениями (среди них Аристотель, Локк, Вит-тгенштейн, Лакатос, Китчер) доминирующая тенденция включает традиционную и современную философию ма­тематики.

Р. Херш. Что же такое математика, на самом деле? (Hersh R. What is Mathematics, Really! — Oxford: University Press, 1997)