Геометрия Лобачевского и ее модели
IV. Система аксиом Гильберта
жүктеу/скачать 0.51 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Группа 1. Аксиомы принадлежности.
IV. Система аксиом Гильберта.По Гильберту, предполагается, что даны три различных множества. Элементы первого множества называются точками, элементы второго множества — прямыми, а элементы третьего множества — плоскостями (основные объекты). Точки, прямые и плоскости обозначаются соответственно буквами А, В, С, ...; а, b, с, ...; , , , ... . Элементы этих множеств находятся в определенных отношениях, которые называются: «принадлежность», «лежать между» и «конгруэнтность» (основные отношения). Природа основных понятий, т. е. основных объектов и основных отношений, может быть какой угодно, но они должны удовлетворять определенным аксиомам, которые я перечислю ниже. Список Гильберта содержит 20 аксиом, которые разделяются на пять групп. Группа 1. Аксиомы принадлежности.Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, выражаемые словом «принадлежит» (или «лежит ,на», «проходит через»). Группа I содержит следующие восемь аксиом. 11 Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки. 22. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки. 13. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. 14. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость а, проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка. 15. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки. 16. Если две точки А и Б прямой а лежат в плоскости а, то каждая точка прямой а лежит в плоскости а. В этом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости а или плоскость а проходит через прямую а. 17. Если две плоскости а и b имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В. 18. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство из которых в школьном курсе геометрии не доказываются, так как они наглядно очевидны. Перечислю лишь некоторые из этих теорем. 1о. Две прямые имеют не более одной общей точки. 2°. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей. 3°. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость. 4°. На каждой плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой. жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|