§ 2 ЛапластыЈ локальды› теоремасы

( француз математигі )

Жо“арыда алын“ан Бернулли формуласы -ніЈ мЩні Їлкен сан бол“анда ›олдану“а ›олайсыз да ›иын, Їйткені Їлкен сандармен амалдар орындалады.

Мысалы, егер бол“анда ы›тималды“ын есептеу Їшін мынадай йрнекті есептеуіміз керек:

Осындай, біз есептеуге тиіс ы›тималды›ты Бернуллиден бас›а формуламен есептеуге болмас па екен деген с±ра› туады. Ол болады екен. Шрекет саны Їлкен бол“анда, реттіЈ к ретінде о›и“а орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын жуы›тап есептейтін асимптоталы› формуланы ЛапластыЈ локальды› теоремасы береді. Сол теореманы дЩлелдеусіз келтірейік.

Егер А о›и“асыныЈ орындалу ы›тималды“ы Щрбір Щрекет кезінде т±ра›ты, жЩне 0 мен 1-ге теЈ болмаса, онда А о›и“асыныЈ рет Щрекет жаса“анда к рет орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ы жуы› шамамен мына функцияныЈ мЩніне теЈ болады:

О›улы›тыЈ соЈында функциясыныЈ мЩні Їшін таблица бар.

Сонымен А о›и“асы тЩуелсіз Щрекет жасал“анда ретте орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ы жуы› шамамен

Таблицадан тауып .

А о›и“асыныЈ Щрбір Щрекет кезіндегі орындалу ы›тималды“ы т±ра›ты жЩне Р-“а теЈ болатын рет Щрекет жасалсын. Осы рет жасал“ан Щрекет кезінде А о›и“асы -ден кем емес, жЩне -ден арты› емес (я“ни -ден ретке дейін) рет орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ы -ні ›алай есептейміз? Б±“ан тймендегі ЛапластыЈ интегралды› теоремасы жауап береді. (дЩлелдеуді келтірмейміз)

м±нда“ы жЩне (2)

ЛапластыЈ интегралды› теоремасын ›олданып есеп шы“ар“анда аны›талма“ан интегралы элементар функциялар ар›ылы йрнектелмейтін бол“анды›тан арнайы таблицаны ›олданамыз.

фунуциясы Їшін таблица о›улы›тыЈ соЈында“ы 2-ші ›осымшада берілген. Таблицада функциясыныЈ оЈ жЩне бол“анда“ы мЩндері берілген, ал бол“анда да сол таблицаны ›олданамыз, Їйткені та› функция, я“ни Ф. Таблицада интегралдыЈ -ке дейінгі “ана мЩндері келтірілген, ал мЩндері Їшін деп алу“а болады. функциясын кйп жа“дайда Лаплас функциясы деп атайды. Лаплас функциясыныЈ таблицасын ›олдану Їшін (1) йрнекті былай тЇрлендіреміз:

Сонымен рет тЩуелсіз Щрекет жасал“анда А о›и“асыныЈ -ден ретке дейін орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ы

м±нда“ы жЩне (2)-ші формуламен аны›талады.

ЛапластыЈ интегралды› теоремасын (3) ›олданса›:

енді мен -ті (2)-ші формула бойынша тапса›:

Демек, 2-ші ›осымшада“ы таблицаны пайдаланып, екендігін кйреміз, ендеше

1. Асханада 6 желдеткіш бар. Шр желдеткіштіЈ осы сЩттегі іске ›осылу ы›тималды“ы 0,8-ге теЈ. Осы сЩтте: а) 4 желдеткіш ›осылды; б) барлы“ы да ›осылды; в) барлы“ы да ›осыл“ан жо›, о›и“алардыЈ ы›тималды“ын тап. Жауабы: а) б) в)

2. Шрбір Щрекет кезіндегі А о›и“асыныЈ орындалу ы›тималды“ы 0,3-ке теЈ болса, 5 рет тЩуелсіз Щрекет жаса“анда А о›и“асыныЈ екіден кем емес рет орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. Жауабы:

3. В о›и“асы, тек ›ана А о›и“асы екіден кем емес рет орындал“анда “ана орындалады. Шрбір Щрекет кезіндегі А о›и“асыныЈ орындалу ы›тималды“ы 0,4-ке теЈ болатын тЩуелсіз 6 Щрекет жасал“анда В о›и“асыныЈ орындалу ы›тималды“ын тап. Жауабы:

4. Шр Щрекет кезіндегі А о›и“асыныЈ орындалу ы›тималды“ы 0,1-ге теЈ сегіз рет Щрекет жасалды (тЩуелсіз). А о›и“асыныЈ еЈ болма“анда екі рет орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап.

Жауабы:

5. Тиынды 6 рет ла›тыр“анда: а) елтаЈба 2-ден кем рет, б) 2-ден кем емес рет тЇсетіндігініЈ ы›тималды“ын тап. Жауабы: а) ; б) .

6. Мылты›тан бір ат›анда“ы дЩл тию ы›тималды“ы -“а теЈ. рет ( ) дЩл тигендегі ма›сат›а жетудіЈ ы›тималды“ы -“а теЈ. Екі рет ат›анда ма›сат›а жететіндігініЈ ы›тималды“ын тап.

Жауабы: 0,9639

Сілтеме. Толы› ы›тималды›тыЈ жЩне Бернулли формуласын ›олдану керек.

7. О›и“аныЈ Щрбір Щрекет кезіндегі орындалу ы›тималды“ы 0,2-ге теЈ болса, 400 рет Щрекет жаса“анда, о›и“аныЈ тура 104 рет орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап.

Жауабы:

8. Бір ат›анда мергенніЈ нысана“а дЩл тигізу ы›тималды“ы 0,75-ке теЈ. 100 рет ат›анда нысана“а: а) 70-тен кем емес, 80-нен кйп емес, б) 70-тен кйп емес тигізетіндігініЈ ы›тималды“ын тап.

Жауабы: а)

9. ТЩуелсіз 10000 ЩрекеттіЈ Щр›айсысында о›и“аныЈ орындалу ы›тималды“ы -ке теЈ. О›и“аныЈ орындалу жиілігініЈ, оныЈ ы›тималды“ынан ауыт›уы абсолют шамасы бойынша 0,001-ден аспайтынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап.

Жауабы:

10. Шрбір тЩуелсіз Щрекет кезіндегі о›и“аныЈ орындалу ы›тималды“ы 0,2-ге теЈ. 5000 Щрекет жаса“анда, 0,9128-ге теЈ ы›тималды›пен кЇтуге болатын, о›и“аныЈ ы›тималды“ынан оныЈ жиілігініЈ ауыт›уын тап.

Жауабы:

11. ЕлтаЈбаныЈ тЇсу жиілігініЈ, ы›тималды“ынан ауыт›уы абсолют шамасы бойынша 0,01-ден аспайтынды“ын 0,6-“а теЈ ы›тималды›пен кЇту Їшін тиынды неше рет ла›тыру керек ?

Жауабы:

Екінші бйлім. Кездейсо› шамалар.

ІІІ тарау. Кездейсо› шамалар жЩне олардыЈ

сипаттамалары.

Ойын сЇйегін ла›тыр“анда 1,2,3,4,5,6 сандары шы“уы мЇмкін еді, б±лар кездейсо› шамалар, ал 1,2,3,4,5,6 сандары осы шамалардыЈ мЇмкін мЩндері.

Жасал“ан ЩрекеттіЈ нЩтижесінде алдын ала белгісіз жЩне алдын ала ескеруге болмайтын кездейсо› себептарге тЩуелді, нЩтижесінде жал“ыз “ана мЇмкін мЩн ›абылдайтын шаманы кездейсо› шама деп атаймыз.

Кездейсо› шамаларды сия›ты бас Щріптермен, ал оныЈ мЇмкін мЩндерін кіші Щріптермен белгілейміз.

Мысалы, шамасыныЈ Їш мЇмкін мЩндері болса, оларды деп белгілейміз.
§ 1 Дискретті жЩне Їзіліссіз кездейсо› шамалар.

Жо“арыда ›арастырыл“ан екі мысал“а ›айтып оралайы›:

№1-ші мысалда шамасыныЈ мЇмкін мЩндері 0,1,2,......,100 болатын. Б±л мЩндерден, ›атар т±р“ан екеуініЈ арасында еш›андай бас›а мЩнніЈ жо› екенін кйреміз, я“ни б±л жа“дайда, кездейсо› шама жеке-жеке, бір-бірінен жекеленген мЇмкін мЩндер ›абылдайды.

№2-ші мысалда кездейсо› шамасы аралы“ында жат›ан кезкелген мЩнді ›абылдауы мЇмкін. ЖЩне де б±л мЩндерді бір-бірінен арасында мЩн жо› болатындай аралы›пен бйлуге болмайды.

Дискретті кездейсо› шаманыЈ мЇмкін мЩндері шекті немесе шексіз бола алады.

®зіліссіз кездейсо› шаманыЈ мЇмкін мЩндерініЈ саны шексіз.

Їлестіру заЈы.

Кейде кездейсо› шамалардыЈ мЇмкін мЩндерініЈ саны бірдей, ал ы›тималды›тары ЩртЇрлі болуы мЇмкін (мысалы, Щр›айсысында 20 студенттен бар 2 топтыЈ емтихан тапсыру нЩтижесі).

Сонды›тан да дискретті кездейсо› шамалардыЈ берілуі деп, оныЈ мЇмкін мЩндерімен ›оса, олардыЈ ы›тималды›тарын да кйрсетуіміз керек.

Сонымен дискретті кездейсо› шамалардыЈ Їлестіру заЈы деп, оныЈ мЇмкін мЩндері мен олардыЈ ы›тималды›тарыныЈ сЩйкес келуін айтамыз, жЩне б±л таблицалы›, аналитикалы› немесе графиктік тЇрде беріледі.

Таблицалы› тЇрде былай беріледі:

м±нда“ы, таблицаныЈ бірінші жолы мЇмкін мЩндер, ал екінші жолы олардыЈ ы›тималды›тары.

Бір Щрекет кезінде кездейсо› шама бір-а› мЩнге ие болатынды›тан, мына о›и“алар толы› топ ›±райды, я“ни олардыЈ ы›тималды›тарыныЈ ›осындысы 1-ге теЈ:



Мысал. Заттай лотерея“а 100 билет шы“арылды. ОныЈ ішінде 50 теЈгелік бір ±тыс, жЩне бір теЈгелік он ±тыс бар. Бір билет ал“ан адамныЈ ±ту мЇмкіндігініЈ я“ни, кездейсо› шамасыныЈ Їлестіру заЈын тап.

Шешуі. -тіЈ мЇмкін мЩндері:

Б±лардыЈ ы›тималды›тары мынадай:

Сонда іздеп отыр“ан Їлестіру заЈы:

Тексеру: 0,0,1+0,1+0,89=1

Таблицалы› тЇрде берілген дискретті кездейсо› шаманыЈ мЩндерін мен осьтеріне салып, содан шы››ан нЇктелерді тЇзумен ›осса›, онда оныЈ графиктік кескіні шы“ады (1-сурет).

Ал егерде мЇмкін мЩндерініЈ сЩйкес ы›тималды›тарын белгілі бір формуламен (мысалы, ) есептейтін болса›, онда дискретті кездейсо› шама аналитикалы› тЇрде берілген деп аталады.

Шрбір Щрекет кезінде А о›и“асыныЈ орындалуы да, орындалмауы да мЇмкін болатын рет тЩуелсіз Щрекет жасалсын. Барлы› Щрекет кезінде о›и“аныЈ орындалу ы›тималды“ы т±ра›ты, жЩне -“а теЈ болсын. (Демек о›и“аныЈ орындалмау ы›тималды“ы .)

Дискретті кездейсо› шамасы ретінде, осы жасал“ан Щрекеттер кезіндегі А о›и“асыныЈ орындалу санын ›арастырайы›. Демек шамасыныЈ Їлестіру заЈын табу керек, я“ни -тіЈ мЇмкін мЩндері мен олардыЈ сЩйкес ы›тималды›тарын табу керек.

рет Щрекет жаса“анда А о›и“асы 1 рет, не 2 рет, ...... , не рет орындалуы, немесе мЇлдем орындалмауы мЇмкін; я“ни -тіЈ мЇмкін мЩндері мыналар болады:

Осы мЇмкін мЩндердіЈ ы›тималды›тарын табу Їшін Бернулли формуласын ›олданамыз, я“ни

м±нда“ы к=0,1,2,......,

(1) формула іздеп отыр“ан Їлестіру заЈыныЈ аналитикалы› йрнегі болып табылады. Бернулли формуласымен аны›талатын ы›тималды›тыЈ Їлестірілуін Биномиалды› Їлестіру деп атаймыз. Биномиалды› Їлестіру деп атайтын себебіміз (1) формулада“ы теЈдіктіЈ оЈ жа“ын Ньютон биномыныЈ жалпы мЇшесініЈ жіктелуі сия›ты ›арастыру“а болады:

М±нда“ы бірінші мЇше ›арастырып отыр“ан о›и“аныЈ тЩуелсіз Щрекет жаса“анда рет орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын аны›тайды, екінші мЇшесі о›и“аныЈ рет орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын аны›тайды,........, соЈ“ы мЇшесі о›и“аныЈ бір де бір рет орындалма“анын аны›тайды. Енді осы биномиалды› заЈды таблица тЇрінде жазайы›:

Я“ни о›и“асыныЈ елтаЈбаныЈ тЇсу саныныЈ мЇмкін мЩндері мен олардыЈ сЩйкес ы›тималды›тарын табу керек.

Тиынды екі рет ла›тыр“анда елтаЈба: не 2 рет, не 1, не мЇлдем тЇспеуі мЇмкін. Сонымен -тіЈ мЇмкін мЩндері мыналар:

Енді осылардыЈ ы›тималды›тарын Бернулли формуласы бойынша табайы›:

Енді іздеп отыр“ан Їлестіру заЈын жазайы›:

Тексеру: 0,25+0,5+0,25=1

(француз “алымы)

ТЩуелсіз рет Щрекет жаса“анда о›и“аныЈ рет орындалуын есептеу Їшін Бернулли формуласын, ал мен Їлкен сандар бол“анда ЛапластыЈ асимптоталы› формуласын ›олданатынымызды жо“арыда айтты›. Біра› та б±л формулалар ы›тималды› йте аз сан бол“анда жарамайды. М±ндай жа“дайда ПуассонныЈ асимптоталы› формуласын пайдаланамыз.

Сонымен Щр Щрекет кезінде о›и“аныЈ орындалу ы›тималды“ы йте аз, ал Щрекет саны йте Їлкен болсын да, о›и“а тура рет орындалсын, жЩне де кйбейтіндісі т±ра›ты сан болсын, я“ни

Б±л дегеніміз -ніЈ ЩртЇрлі мЩнінде о›и“аныЈ орындалуыныЈ орташа саны йзгермейді деген сйз.

Бернулли формуласы бойынша рет Щрекет жаса“анда о›и“аныЈ рет орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын есептейік:

(2) бол“анды›тан олай болса,

(3)

йте Їлкен сан бол“анды›тан (3)-ші формулада“ы йрнекте ±мтылдырып шекке кйшсек

Сонымен (4)

Б±л формула ( аз сан, ал Їлкен сан, оныЈ Їстіне сирек) о›и“алардыЈ ы›тималды›тарын Пуассонды› Їлестіру заЈы деп аталады. (Тегінде б±л формула жуы› шамамен есептейді,Їлкен сан бол“анымен шектеулі сан, ал біз ±мтылдырып шек алды› ›ой).

Мысал. Зауыт баз“а 5000 жарамды заттар жйнелтті. Жолда заттыЈ б±зылу ы›тималды“ы 0,0002 болса, баз“а 3 жарамсыз заттыЈ келетіндігініЈ ы›тималды“ын тап.

Шешуі. ЕсептіЈ шарты бойынша сонда Іздеп отыр“ан ы›тималды› ПуассонныЈ формуласы бойынша


§5 љарапайым о›и“алар а“ыны

Аны›тама. Кездейсо› уа›ыт мезгілінде орындалатын о›и“алар тізбегін – а“ыны дейміз.

Мысал. 1) АТС-›а тЇсетін ша›ырулар (›оЈыраулар), 2) Шуежай“а келіп ›онатын ±ша›тар, 3) Жедел жЩрдем станциясына тЇсетін ша›ырулар т.с.с.

О›и“алар а“ыны мынадай ›асиеттермен сипатталады:

1. Т±ра›ты ›асиет, 2. Жал“асудыЈ (Їзбей) жо›ты“ы ›асиеті, 3. љарапайымдылы› ›асиеті.

Т±ра›тылы› ›асиетін былайша тЇсінеміз: саны о›и“алардыЈ кезкелген уа›ыт аралы“ында“ы орындалу ы›тималды“ы саны мен уа›ыт аралы“ыныЈ ±за›ты“ына “ана тЩуелді болады, я“ни Щрбір уа›ыт аралы“ында тЇсетін ша›ырулар (›оЈыраулар) саныныЈ ы›тималды›тары йзара теЈ болады.

Я“ни, т±ра›тылы› ›асиеті орындалатын а“ында, ±за›ты“ы уа›ыт аралы“ында о›и“асыныЈ орындалу ы›тималды“ы мен -“а тЩуелді функция болады. – десе тЇсінікті.

Жал“асудыЈ жо›ты“ы ›асиетін былайша тЇсінеміз: о›и“алардыЈ ы›тималды›тары, йткен уа›ытта“ы алдыЈ“ы о›и“алардыЈ орындалу-орындалмауына тЩуелді емес.

љарапайымдылы› ›асиетін былайша тЇсінеміз: Аз уа›ыт аралы“ында 1-а› о›и“а, 1-еуден саны аспайтын о›и“алар орындалса, оны ›арапайымдылы› ›асиеті бар дейміз.

Осындай ›асиеттері бар а“ынды ›арапайым немесе Пуассонды› о›и“алар а“ыны дейміз. А“ынныЈ ›ар›ыны деп, бірлік уа›ыт аралы“ында орындалатын о›и“алардыЈ орташа саны А-ны айтамыз. Егер а“ынныЈ ›ар›ыны белгілі болса, онда уа›ыт аралы“ында“ы ›арапайым о›и“алардыЈ орындалу ы›тималды“ын мына тЇрдегі Пуассон формуласымен есептеуге болады:

Б±л формула Їшін, ›арапайым а“ынныЈ жо“арыда айтыл“ан Їш ›асиеті де орындалады. Шынында да:

1. 
   Формуладан кйрініп т±р“андай, берілген А ›ар›ыны бойынша ы›тималды“ын тек мен -“а тЩуелді, олай болса т±ра›тылы› ›асиеті орындалады.
   
2. 
   Формулада -“а дейінгі уа›ыт аралы“ында орындалатын о›и“а туралы шартты ы›тималды› хабар жо›, олай болса, жал“асудыЈ жо›ты“ы ›асиеті де орындалып т±р.
   
3. 
   Енді ›арапайымдылы› ›асиеттіЈ орындалатынды“ын кйрсетейік. Егер , деп формула“а ›ойса›, о›и“аныЈ орындалмайтынды“ыныЈ, жЩне бір рет те орндалатынды“ынЈ ы›тималды“ын табамыз:
   

Енді о›и“аныЈ 1-ден кйп рет орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ы былайша есептеледі:

Енді мен -ді салыстырса›, -ныЈ аз мЩнінде -діЈ мЩні жо› десе де бол“андай.

Сонымен ПуассонныЈ формуласы ›арапайым о›и“алар а“ыныныЈ математикалы› моделі болып саналады.

Мысал. АТС-›а 1 минутта тЇсетін ша›ырулардыЈ орташа саны 2-ге теЈ болса, 5 минутта: а) 2 ша›ыру ( ), б)ша›ыру саны 2-еуден аз ( ), в) ша›ыру саны екеуден кем емес ( )болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап ? (Ша›ырулар ›арапайым деп есептелсін).

Шешуі. а)ЕсептіЈ шарты бойынша

формуласы бойынша Р₅(2)-ні есептейік:

б±л о›и“а орындалмайды десе де болады.

б)

в) «Ша›ыру саны екеуден аз» о›и“асы мен «Ша›ыру саны екеуден кем емес» о›и“асы ›арама-›арсы о›и“а бол“анды›тан, 5 минутта «екеуден кем емес» ша›ыру болатынды“ыныЈ ы›тималды“ы былайша есептеледі:

Б±л жауап о›и“аныЈ а›и›атты“ын кйрсетеді.
§6 Дискретті кездейсо› шаманыЈ

математикалы› Їміті

иткенде бай›а“анымызда, Їлестірім заЈы кездейсо› шаманы толы› сипаттай алады. Біра›, кйбінесе кездейсо› шаманыЈ Їлестірім заЈы белгісіз болады да, ол туралы азда“ан ма“л±мат ›ана белгілі болады. Онда не істейміз со“ан то›талайы›.

Кйптеген тЩжірибелік мЩселелерді шешкенде, Їлестіру заЈын аны›тау кейде ›иын“а со“атынды›тан, сол кездейсо› шаманыЈ маЈызды ерекшеліктерін ›амтитын кейбір санды› сипаттамалармен ›ана“аттану“а болады. Б±л санды› сипаттамалар мен олар“а ›олданылатын амалдардыЈ ы›тималды›тар теориясында маЈызы йте зор. Осы санды› сипаттамаларды біліп ›олдану нЩтижесінде ы›тималды›тыЈ кйптеген есептерін шешу жеЈілденеді. М±ндай санды› есептер кйп бол“анды›тан, біз тек математикалы› Їміт, дисперсия, орташа квадратты› ауыт›у жЩне ЩртЇрлі реттік моменттерді ›арастырамыз.

Алдымен математикалы› Їміт ±“ымына то›талу Їшін мына мысалды ›арастырайы›.

Мысал. ДЇкендегі кітапты тезірек сату ма›сатымен ±тыс лотереясы ±йымдастырыл“ан. Таратыл“ан 500 лотерея белетініЈ бЩрі де ±тады,

біра› ±тыс мйлшері ЩртЇрлі. БелеттіЈ 250-і 10 тиыннан, 150-і 20 тиыннан, 50-і 30 тиыннан, ›ал“ан 50-уі 60 тиыннан ±тады. Сатып алын“ан лотерея белетініЈ орташа ±тыс мйлшері, я“ни ±тыс›а берілген кітаптыЈ орташа ба“асы неге теЈ ?

теЈге болады.®мітеніп отыр“ан б±л ±тысты аны›тау Їшін Щр мйлшерлі ±тыс›а сЩйкес келетін белет санын барлы› белет санына бйліп сЩйкес ±тыс мйлшерін кйбейтіп те табу“а болады, я“ни

Осы жазыл“андарды ы›тималды›тар теориясы тілімен айтса›, онда ±тыс мйлшері болып т±р“ан шамасы: 0,1; 0,2; 0,3; 0,6; мЩндерін, солар“а сЩйкес: ы›тималды›тарымен салыстырмалы жиілікпен ›абылдайды дейміз. Осы айтыл“андар“а сЩйкес таблица мынадай болады:

°тыс мйлшері 0,10,20,30,6Ы›тималды“ы 0,50,30,10,1

Б±л таблицада“ы мЩндерін сЩйкес мЩндеріне кйбейтіп ›осса›, онда Щрбір белетке сЩйкес келетін орташа ±тыс мйлшері 0,2 екенін аламыз. Осы ›арастырыл“ан мысал“а ±›сас орташа мЩні орнына математикалы› Їміт ±“ымын енгізейік.

Х 3 5 2

1-формуланы ›олданса›

1. Т±ра›ты шаманыЈ математикалы› Їміті, т±ра›ты шаманыЈ йзіне теЈ.

2. Т±ра›ты кйбейткішті математикалы› Їміт белгісініЈ сыртына шы“ару“а болады

1-ескертуді ескеріп кездейсо› шамасыныЈ Їлестірім заЈын жазамыз:

Онда кездейсо› шамасыныЈ математикалы› Їміті:

Сонымен,

2-Ескерту. Егер екі кездейсо› шаманыЈ біреуініЈ Їлестірім заЈы, екіншісініЈ ›андай мЇмкін мЩн ›абылдайтынды“ына тЩуелді болмас, онда, ондай екі кездейсо› шамаларды тЩуелсіз кездейсо› шамалар деп атаймыз. Кері жа“дайларда оларды тЩуелді кездейсо› шамалар деп атаймыз.

3-Ескерту. ТЩуелсіз кездейсо› жЩне шамаларыныЈ кйбейтіндісін кездейсо› шамасы ретінде аны›таймыз. М±ныЈ мЇмкін мЩндерін, -тіЈ Щрбір мЇмкін мЩнін -тіЈ Щрбір мЇмкін мЩніне кйбейтіп табамыз. кйбейтіндісініЈ мЇмкін мЩндерініЈ ы›тималды›тары олардыЈ кйбейткіштерініЈ мЇмкін мЩндерініЈ ы›тималды›тарыныЈ кйбейтіндісіне теЈ. Мысалы, егер мЇмкін мЩнініЈ ы›тималды“ы -ге, –дікі, -ге теЈ болса, онда мЇмкін мЩнініЈ ы›тималды“ы -ге теЈ болады.

Кейбір кйбейтінділері йзара теЈ болуы мЇмкін. Б±л жа“дайда кйбейтіндініЈ мЇмкін мЩнініЈ ы›тималды“ы сЩйкес ы›тималды›тардыЈ ›осындысына теЈ болады. Мысалы, егер болса, онда ніЈ ы›тималды“ы (немесе -тікі) ке теЈ болады.

3. ТЩуелсіз екі кездейсо› шаманыЈ кйбейтіндісініЈ математикалы› Їміті, олардыЈ математикалы› ЇміттерініЈ кйбейтіндісіне теЈ.

(4)

ДЩлелдеу. ТЩуелсіз кездейсо› жЩне шамалары йздерініЈ Їлестірім заЈымен берілген:



кездейсо› шамасы ›абылдай алатын барлы› мЩндерді ›±райы›. Ол Їшін -тіЈ барлы› мЇмкін мЩндерін -тіЈ Щрбір мЇмкін мЩніне кйбейтеміз, нЩтижесінде жЩне шы“ады. 3-ші ескертуді ескеріп, жЩне кйбейтіндініЈ барлы› мЇмкін мЩндері ЩртЇрлі деп ±й“арып (›арапайым жа“дай Їшін) -тіЈ Їлестірім заЈын жазайы›:

м±ныЈ математикалы› Їміті (1)-формула бойынша:

немесе

Сонымен, дЩлелденді.

Х 5 2 4 у 7 9

Р 0,6 0,1 0,3 Р 0,8 0,2 -ті тап.

Шешуі.

Енді Х жЩне У кездейсо› шамалары тЩуелсіз бол“анды›тан

Кейде ›осыл“ыштарыныЈ кейбіреулері йзара теЈ болуы мЇмкін. Б±л жа“дайда ›осындыныЈ мЇмкін мЩнініЈ ы›тималды“ы, сЩйкес ы›тималды›тарыныЈ ›осындысына теЈ. Мысалы, егер болса, жЩне б±л мЇмкін мЩндердіЈ сЩйкес ы›тималды›тары жЩне болса, онда -ніЈ (немесе -тіЈ) ы›тималды“ы -ке теЈ болады.

4. Екі кездейсо› шама ›осындысыныЈ математикалы› Їміті, ›осыл“ыштардыЈ математикалы› ЇміттерініЈ ›осындысына теЈ.

(5)

ДЩлелдеу. жЩне кездейсо› шамалары мынадай Їлестірім заЈдарымен берілсін:



шамасыныЈ барлы› мЇмкін мЩндерін ›±райы›. Ол Їшін -тіЈ Щрбір мЇмкін мЩніне -тіЈ Щрбір мЇмкін мЩнін ›осамыз, сонда жЩне болады. љарапайым жа“дайда, б±лар ЩртЇрлі деп ±й“арайы› та, олардыЈ сЩйкес ы›тималды›тарын жЩне деп белгілейік.

шамасыныЈ математикалы› Їмітін тапса›:

немесе

Енді екендігін дЩлелдейік. « шамасы мЩнін ›абылдайы›» – о›и“асы (м±ныЈ ы›тималды“ы -ге теЈ) мына о›и“асын да йзімен ала келеді, я“ни б±л о›и“а немесе мЩнін ›абылдайды. М±ныЈ ы›тималды“ы, ›осу теоремасы бойынша -ге теЈ, жЩне керісінше болады. Б±дан екендігі шы“ады. Осы жолмен жЩне теЈдіктері де шы“ады, я“ни дЩлелденеді. Осы теЈдіктердіЈ оЈ жа›тарын (*) йрнегіне ›ойса›:

®ш ›осыл“ыш Їшін былай болады:

Енді (5) формула бойынша:

4-›асиет бойынша

теЈдіктіЈ оЈ жа“ында“ы Щр мЇше, бір реткі Щрекет кезіндегі о›и“аныЈ орындалу саныныЈ математикалы› Їміті, я“ни – бірінші реттегі, – екінші реттегі, т.с.с. Бір реткі Щрекет кезіндегі о›и“аныЈ орындалу саныныЈ математикалы› Їміті о›и“аныЈ ы›тималды“ына теЈ бол“анды›тан м±ны (7)-ге ›ойса›

дЩлелденді.