13-билет Дәлелдеу. Математикалық дәлелдеу түрлері
Математиканы оқытудағы анализ және синтез
жүктеу/скачать 244.06 Kb.
|
| 2.Математиканы оқытудағы анализ және синтез.
Анализ деп бүтінді ойша немесе практикалық түрде құрамды бөліктерге бөліп, ол бөліктерді және олардың қасиеттері мен арақатынастарын жеке-жеке қарастыру арқылы зерттейтін әдіс түсініледі. Синтез деп анализ арқылы бөлінген бөліктерді ойша немесе практикалық түрде біріктіру деп түсінеміз. Қарапайым мағынада анализ бен синтезді былай түсінуге болады: егер бала велосипедті бөлшектеп, “шашып” тастаса, онда оның әрекеті анализ; ал егер ол сол бөлшектерден велосипедті қайта құрастырса, онда ол әрекеті синтез болып табылады. Анализдеу үрдісінде күрделіден қарапайымға, бір түрліден еөп түрліге, нақтыдан абстрактілікке, белгісізден белгіліге салдардан салдарды туғызатын себепке қарай қозғалу жүзеге асырылса, синтезде бұл үрдістер керісінше жүреді. Математиканы оқыту процесінде бұл екі әдіс бірігіп, аналитикалық-синтетикалық әдіс ретінде қолданылады. 2. Элементтер анализ және синтез. Математикада элементар анализ бүтінді құрамды бөліктерге ажырату, ал элементар синтез сол құрамды бөліктерді қайтадан бүтінге жинақтау ретінде қолданылады. Осы әдістердің қолданылу мысалдарын қарастырайық. 1) Ұғымдарды қалыптастыруда берілген ұғымды қамтитын жалпы қасиеттер көрсетіледі, одан соң ол қасиеттердің ішінен елеулілері бөлініп алынады, яғни элементар талдау жасалынады. Элементар синтез ұғымның елеулі қасиеттерін біріктіреді. 2) Барлық ғылымдар сияқты, математика да ұғымды жіктеуді пайдаланады. Тектік ұғымдарды түрлі ұғымдарға жіктеу, кейін түрлі ұғымдардың өзін басқа кластарға ажырату элементар талдау арқылы жүзеге асырылады. Мысалы, натурал сан ұғымын жіктеген кезде, натурал сан жиыны жай санға, құрама санға және бірліктерге жіктеледі. Кеңістіктегі түзулердің өзара орналасуын ескеріп, оларды параллель, қиылысатын және айқас деп бөледі. Функциялардың үзіліс нүктелерін жіктеу кезінде мынадай типтерге ажыратады: а) жөнделетін үзілісті нүкте; ә) бірінші шекті үзілісті нүкте; б) екінші текті үзілісті нүкте. 3) Көптеген математикалық сөйлемдерді дәлелдеу барысында оларды бірнеше бөліктерге ажыратуға тура келеді, яғни элементар талдау қолданылады. Мысалы, косинустар теоремасын дәлелдеу үшін үшбұрыштың доғал, сүйір және тік болатын жағдайлары қарастырылады. Осы жағдайлардың бәрін біріктіру элементар синтез болып табылады. Теоремаларды қарсы жору әдісімен дәлелдеу кезінде де элементар талдау пайдаланатынына оңай көз жеткізуге болады. Мысалы, А=В екендігін көрсету үшін А≠В деп жориды. Нәтижеде дәлелдеп отырған теореманың шартына немесе аксиомаға немесе бұрын дәлелденген теоремаға қайшылық пайда болады. Үшіншінің болмайтындығы туралы заңға сәйкес, жоруымыз қате делінеді де, дәлелдеу керек ұйғарым дұрыс деп табылады. Демек, дәлелдеу кезінде А және В арасындағы мүмкін болатын барлық жағдайларға талдау жасалынады. Салу есептерін шығарудағы зерттеу жүргізу элементар талдау болса, салуды орындау элементар синтез болып табылады. 4) Мектеп геометрия курсындағы кез келген аксиома элементар синтездің мысалы болады. «Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы бір, тек бір ғана жазықтық жүргізуге болады» деген аксиомада элементар синтез жүзеге асырылып тұр, яғни алғашқы ұғымдар болып табылатын нүкте, түзу және жазықтықтың арасында қандай да бір байланыс тағайындалған. Синтетикалық әдіс. Теоремаларды дәлелдеу кезінде теореманың шартынан оның қорытындысына қарай жүретін логикалық тізбектер құрылады. Теореманың қорытындысының дұрыстығы теореманың шартынан басталып, бұрыннан белгілі сөйлемдердің (аксиома, бұрын дәлелденген теорема т.б.) логикалық салдары ретінде тағайындалады. Дәлелдеудегі осындай әдіс синтетикалық әдіс деп аталады. Мысалдар қарастырайық. 1-мысал. Теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеңдер , 0, 0. 2 ab a b a b Бұл теңсіздіктің дұрыстығын синтетикалық әдіспен дәлелдеу үшін a0 мен b 0 болғанда, дұрыстығы ақиқат мына теңсіздікті 0 2 ab негізге аламыз. Оны мына түрде жазамыз: 2 0. 2 2 a abb Теңсіздіктің екі жағына да бірдей 4ab-ны мүшелеп қоссақ. a 2ab b 4ab 2 2 болады. Енді соңғы теңсіздіктің екі жағынан бірдей квадрат түбір тапсақ: a b 2 ab . Осы теңсіздіктің екі жағында бірдей 2-ге мүшелеп бөлсек, онда дәлелденілуге тиісті төмендегі теңсіздік келіп шығады: ab a b 2 . Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді. тындыдан бастап жүргізілетінін көреміз. Өрлей анализ әдісі бірінен соң бірін шешетін екі сұрақтың мәнін ашуға келеді. 1) Нені дәлелдеу керек; 2) Оны дәлелдеу үшін нені дәлелдеу жеткілікті. Өрлей анализ әдісін пайдалануды меңгеру оқушылардың өз бетінше жұмыс істеуін жетілдіреді. 5. Ылдилай анализ әдісі. Ылдилай анализ әдісінің екі түрі бар: жетілмеген анализ және қарсы жору арқылы дәлелдеу. жүктеу/скачать 244.06 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|