Арифметическая прогрессия

166
Проблемы и перспективы развития образования
свою точку зрения, развитие творческих и исследователь-
ских навыков.
Один из важных моментов в изучении арифметиче-
ской и геометрической прогрессий — это их характери-
стические свойства. Для выведения характеристического 
свойства можно использовать аналогию — метод иссле-
дования, основанный на изучении сходства или различий 
по ряду признаков предмета исследования и его аналога.
Характеристическое свойство арифметической про-
грессии: каждый ее член, кроме первого, равен полусумме 
двух соседних с ним членов, т. е., если 
{ }
∞
=1
n
n
a
— арифме-
тическая прогрессия, то для любого натурального 
2
≥
n
выполняется формула:
2
1
1
+
−
+
=
n
n
n
a
a
a
.
Преобразуем эту формулу.
2
1
1
+
−
+
=
n
n
n
a
a
a
⇒
1
1
2
+
−
+
=
n
n
n
a
a
a
или
1
1
+
−
+
=
+
n
n
n
n
a
a
a
a
N
n ∈
∀
, 
2
≥
n
.
Последнее равенство говорит о том, что если сложить 
любой член арифметической прогрессии, начиная со вто-
рого, с самим собой, то получим сумму, равную сумме со-
седних двух членов.
Учащимся дается задание установить аналогичное 
свойство, которое будет выполняться только для геоме-
трической прогрессии.
Из вышеуказанного учащиеся могут сделать пра-
вильное предположение:
1
1
+
−
⋅
=
⋅
n
n
n
n
b
b
b
b
N
n∈
∀
, 
2
≥
n
и вывести характеристическое свойство геометриче-
ской прогрессии.
Достаточно только использовать определение гео-
метрической прогрессии и истинность данной формулы 
будет доказана.
Подобная организация исследовательской деятель-
ности на уроках способствуют развитию умения учащихся 
заниматься научно-исследовательскими проектами, как 
на уроке, так и вне урока. Речь идет об одаренных детях. 
Для таких учащихся можно предложить исследовать сле-
дующую гипотезу.
Если арифметическая и геометрическая про-
грессии основаны на арифметических действиях 
суммы (разности) и умножения (деления), то суще-
ствует прогрессия, которая основана на действии 
возведение в степень число.
Данное исследование было проведено учащимися 
нашей школы. Изучая данный вопрос, учащиеся про-
вели следующее построение искомой последовательности. 
Возьмем любое положительное действительное число, 
отличное от единицы, и возведем ее в некоторую поло-
жительную степень, не являющейся нулем и единицей. 
Полученное число снова возведем в ту же степень и т. д. 
Тогда полученные числа образуют новую прогрессию, ко-
торую назвали показательной. Например, следующая по-
следовательность является показательной:
2, 4, 16, 256, 65536, …
Результатом данной деятельности стал проект на 
тему «Показательная прогрессия и некоторые ее свой-
ства». Цель проекта — определение нового вида про-
грессии и доказательство некоторых ее свойств. Данная 
тема относится к разряду долгосрочных проектов, т. е. 
для достижения поставленной цели понадобиться не-
сколько уроков, а также несколько дополнительных за-
нятий.
Почему именно показательная прогрессия? Так как 
члены рассматриваемой прогрессии являются степенями 
и в них изменяются лишь показатели, было решено на-
звать данную числовую последовательность показа-
тельной прогрессией.
После того как была определена данная прогрессия, 
был поставлен вопрос о ее свойствах таких, как вывод 
общей формулы n-го члена, характеристического свой-
ства и т. д. Формула n-го члена определяется и доказыва-
ется аналогичным способом как в арифметической и гео-
метрической прогрессиях.
Изучая характеристические свойства арифметической 
и геометрической прогрессий, можно предположить, что 
характеристическое свойство показательной прогрессии 
будет связано со следующим равенством:
( )
r
c
n
c
n
n
r
n
c
c
1
1
1
1
−
+
=
, для любого 
2
≥
n
.
В данном проекте также доказаны небольшие теоремы, 
описывающие связь между рассматриваемой прогрессией 
и арифметической и геометрической прогрессиях.
Исследовательская деятельность на уроках матема-
тики — это прекрасное средство повышения учебной мо-
тивации, творческого, личностного развития учащегося 
и формирование мировоззрения и компетенций через со-
трудничество учителя и ученика.
Литература:
1. Арцев, М. Н. Учебно-исследовательская работа учащихся // Завуч. — 2005. № 6. — С.4–29.
2. Барсуков, М. А. Ресурс образовательного процесса — проектная и исследовательская деятельность учащихся 
в дополнительном образовании // Исследовательская работа школьников. — 2008. — N 3. — С.113–117.
3. Сергеев, И. Н., Олехник С. Н., Гашков С. Б. Примени математику. — М.: Наука. Гл. ред. Физ. — мат. лит., 
1989. — С240

жүктеу/скачать 3.86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: