Топологияның базасы.
Анықтама. (X, Г) топологиялық кеңістігінің ішкі жиынының тобы В - Г топологияның базасы деп аталады: егер
∀χ ∈ Χ нүктесі және оның кез келген Uχ маңайы үшін χ ∈ β ⊂ Uχ шарты орын-далатындай β жиынының Βχ элементі табылса, онда (β - (Χ,Γ) топологиялық кеңістігінің базасы) ⇔ (∀χ ∈ Χ,
∀Uχ ∃Βχ ∈ β, χ ∈ Βχ ⊂ Uχ).
Мысал: Интервалдар жиыны R жиынында берілген топологиялық база болады. Кез келген Г топологиясы үшін база табылады. Себебі Г тобының өзі база болады.
Анықтама. (X, Г) топологиялық кеңістігі β ={Βλ} - осы топологиялық кеңістігінің ашық жиынының кейбір тобы болсын. Егер (X, Г) кеңістігінің кез келген ашық жиыны β тобының кейбір жиынының бірігуі болса, онда β (X, Г) топологиялық кеңістігінің базасы деп аталады.
Базаның негізгі қасиеті:
Теорема. (X, Г) топологиялық кеңістігінің ашық жиынының β тобы Г топологиясының базасы болу үшін Г-ның әрбір элементі β тобының кейбір элементінің бірігуі болуы қажетті және жеткілікті.
Анықтама. (X, Г) кеңістігі саналатын базаны кеңістік деп атайды, егер Г топологиясында Х жиынының ашық ішкі жиынының шекті немесе саналатын тобынан тұратын ең болмағанда бір база бар болса.
Жиынның тұйықтық шарты.
A − (X,τ) топологиялық кеңістігінің құр емес жиыны болсын. А жиынының барлық ішкі нүктесінің жиыны оның іші
деп аталады. A0 түрінде белгіленеді. А ашық жиын болу үшін ол өзінің ішімен беттесуі қажетті және жеткілікті. A ∈ τ ⇔ A = A0
Анықтама. Х нүктесі А жиынының жанасу нүктесі деп аталады, егер оның кез келген маңайының А жиыны мен қимасы құр емес жиын болса.
Анықтама. А жиынының барлық жанасу нүктесінен тұратын жиын А жиынының тұйықталуы деп аталады. А түрінде белгіленеді. А А0 b A, мұндағы b(A) – А жиынның шекарасы.
Мысалы: А = (а, b) болса, онда
А [a, b]
болады. Ашық
дөңгелектің тұйықталуы жабық болады.
Анықтама. А жиыны ( x, τ) топологиялық кеңістігінде тұйық деп аталады, егер с А ашық жиын болса.
Мыс: ℜ ⊂ [ a,b] тұйық жиыны Ce=!∃ (−∞ ; a) 𝖴 (b; +∞ )
Жабық шар.
Теорема. (жиынның тұйық белгісі) A⊂ X топологиялық кеңістікте тұйық жиын болу үшін оның өзінің тұйқталуы мен беттесуі қажетті және жеткілікті.
А Х , А х, ка А А
Ішкі топологиялық кеңістік.
A−(X, τ) топологиялық кеңістікке ішкі жиын болсын.
τ жиынның элементтерінің А жиынның қимасының жиының Т делік, яғни T = {u ∩ A | u ∈ τ } бұл жиын А жиынның ішкі жиынының тобы. Осылайша құралған Т жиыны үшін I, II, III аксиомалары орындалады, яғни
I тобының элементтерінің кез келген жиынның бірігуі Т жиынына тиісті.
Достарыңызбен бөлісу: |