СОЦИАЛЬНАЯ РЕАЛЬНОСТЬ ОБЪЕКТОВ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

Данная работа представляет собой фрагмент эпилога из книги Р. Коллинза "Со­циология философий: Глобальная теория интеллектуального изменения". Новосибирск, 2002, стр. 1114 - 1131. (Collins R. Sociology of philosophies: A global theory of intellectual change. - Cambridge (Mass.); London (England): Belknap Press of Harvard Univ. Press, 1998). Публикуется с любезного разреше­ния автора. Перевод с англ. Н.С.Розова. ФИЛОСОФИЯ НАУКИ № 2 (10) 2001

Выводы, к которым мы приходим, следуя эмпирическому пути in medias res, усиливают полученные априорные следствия из социологического cogito. При движении в обоих направлениях социальный конст­руктивизм ведет к социологическому реализму.

Фактически никто и не сомневается в реальности мира обыденного опыта, - вопрос о том, может ли эта банальная реальность быть доказана в соответствии со строгими стандартами аргументации, поднимался толь­ко в специализированных интеллектуальных сетях. Да и сами интеллек­туалы, будучи "не на службе", всегда возвращаются к признанию реаль­ности обычного пространственно-временного мира. Социологический реализм показывает, что даже на самом высоком уровне рефлексии в интеллектуальном споре можно поддерживать банальный реализм. От­сюда не следует, что тем самым утверждается существование любого типа онтологической реальности. Есть несколько видов реализма и антиреа­лизма, и давайте теперь посмотрим, что предполагается в социологичес­ком реализме относительно областей, выходящих за пределы обычной повседневности.

Социологический реализм утверждает, что существуют ментальные и физические реальности в соразмерных человеку времени и простран­стве. Проблемы возникают, когда делаются утверждения о реальностях, лежащих за пределами |этого соразмерного человеку мира. Сюда относятся объекты науки (если это целостности или структуры, не наблюдаемые невооруженным глазом и не позволяющие оперировать ими просто с по­мощью рук), понятия математики, сама по себе концептуальная или абстрактная реальность — идеи и в особенности универсалии, а также ра­зум, рассматриваемый как некая целостность или субстанция. Относитель­но такого рода вещей было выработано множество разнообразных пози­ций, направленных как на отрицание их реальности, так и на утвержде­ние их реальности более высокой степени, чем обыденный опыт. Эти позиции, отрицающие банальную реальность или выходящие за ее пре­делы, были продуктом интеллектуальных сетей, в которых борьба за нов­шества в аргументативном пространстве внимания вновь и вновь толка­ла за пределы соразмерного человеку мира.

Математика есть социальный дискурс. Этот факт неизбежен, если мы прямо рассмотрим имеющуюся данность. Перед нами математический аргумент очень небольшой технической сложности:

Данная последовательность суждений истинна и осмысленна для меня лишь постольку, поскольку я знаю, что означают эти символы, и знаю допустимые операции по преобразованию этих символов, такие, что урав­нение (1) становится уравнением (2). Символы, как и любая иная форма дискурса, предполагают коммуникацию. Приведенное скромное сужде­ние из области математической абстракции предполагает, что у меня был контакт с сетью учителей, которые, без сомнения, на много связующих звеньев отстоят от тех, кто создал данную область математики. Давайте возьмем пример из области более высокой абстракции [Kline, 1972, р.1128].

Если А_л - это компонент ковариантного тензора ранга 2, то его ковариант, производный в отношении к x^l, можно представить как

.

Теперь сеть математиков становится более ограниченной. На неко­тором уровне она сводится к сети активно работающих математиков, со­здающих исследовательский фронт математических истин.

Для сравнения рассмотрим утверждение, сделанное в китайской математике - алгебре эпохи Сун (см. рисунок). Трудность заключается не только в том, что мы, если принадлежим к западному миру, не знаем от­дельных символов, подобно тому, как представители этого западного мира обычно не могут понять уравнения 4 + 5 = 9, если оно записано так:
Трудность состоит в том, что мы не знаем операций, определяющих, как работать с этими знаками. Китайская математика представлялась на счетной доске, разделенной на квадраты <. . .>. Сунская алгебра, назван­ная "методом небесного элемента", была набором процедур представле­ния выражений, обозначающих константы и неизвестные, возведенные в различные степени, путем помещения числовых знаков на конкретные места доски, окружающие центральный элемент. Например, в общепри­нятой европейской системе обозначений рамка в середине первого пра­вого столбца может быть записана так: ху²-120у-2ху+2х²+2х. Китайские иероглифы между рамками представляют в словесной форме некое рас­суждение (читается сверху вниз и справа налево), объясняющее, как одно алгебраическое выражение может быть преобразовано в другое. Таков словесный способ хранения математических результатов. В живой практике математик использует набор стандартных процедур манипулиро­вания фишками на этой доске - процедур, состоящих в преобразова­нии одного выражения в другое. Физические операции и символичес­кая структура (а не просто отдельные символы) отличаются от карте­зианских правил переноса выражений из одной стороны относитель­но знака равенства (=) в другую. Сходство заключается в общей фор­ме данной практики, позволяющей выводить строки математических выражений одну из другой.

Приверженец платонизма сказал бы, что форма данного утвержде­ния нерелевантна, что вывод одного математического выражения из дру­гого верен независимо от того, записан ли он в виде словесного рассуж­дения на латыни, в виде посткартезианских символов, в виде сунской алгебры или еще каким-либо образом. Однако платонизм - это лишь те­ория. В нем предполагается то, что должно быть доказано - что матема­тические истины существуют в некотором особом царстве, никак не со­относящемся с человеческой деятельностью по формулированию мате­матических утверждений. Это можно показать с помощью квазиматема­тического cogito: если я отрицаю, что математическое утверждение долж­но существовать в форме какого-то конкретного типа дискурса, то в са­мом этом высказывании я представляю утверждение в некотором дискур­се. Если я отступаю назад, утверждая, что математика должна быть транс­цендентной, поскольку может быть переведена с одного языка на другой, то я основываю мое утверждение на существовании переводов - опера­ций, соединяющих между собой несколько дискурсов. Это не только не позволяет избежать дискурса, но добавляет еще один его вид [1].

Математика имеет социальную реальность в том смысле, что она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе. Это может показаться каким-то минимальным уровнем реальности. Тем не менее, не следует думать, что социальный дискурс не имеет никакого объективного, твердого качества, того типа сильного принуждения, кото­рый соответствует понятию истины. Чтобы показать, почему математи­ческий дискурс имеет это качество, мы должны исследовать отличитель­ные характеристики математических сетей.

Математические сети исторически связаны с математиками предше­ствующих эпох. Дело здесь не только в генеалогической преемственнос­ти, типичной для всех интеллектуалов, занимающихся творчеством, ког­да центральная сеть знаменитых творцов одного поколения порождает следующие поколения тех, кто будет делать открытия. Математики осо­бым образом сосредоточены на своей истории, поскольку главный путь математического открытия состоит в разработке темы методами, уже использовавшимися в математике предшествующих уровней, в создании такой символической системы, которая делает явными некоторые ранее молчаливо предполагавшиеся операции, а также в изучении следствий на этом более высоком уровне абстрактного символизма. В алгебре обоб­щаются правила арифметики и формулируются методы, которыми могут решаться целые классы арифметических задач. На последующих высших уровнях алгебры разрабатываются общие правила, касающиеся разрешимости различных типов алгебраических уравнений. Сходные последова­тельности имели место в математическом анализе, теории чисел, геомет­рии и разнообразных смешанных областях.

В ходе таких последовательных шагов создаются новые понятия, в которых обобщаются и суммируются целые классы результатов преды­дущей работы. Общепринятые алгебраические символы для неизвестных х, у могут означать какое угодно число; на более высоком уровне знак функции f(x) пригоден для обозначения целых выражений какой угодно формы. Еще более высокую абстракцию представляют собой функции функций; таковыми являются группы, кольца, поля и т.д. Это не означа­ет, что абстрагируемое непременно считается, в конечном счете, числом, неизвестным или операцией. На более высоком уровне операции обыч­ной арифметики абстрагируются как класс операций, которые могут от­бираться и разрабатываться различными способами, что приводит к воз­никновению альтернативных арифметик, альтернативных алгебр, или, короче говоря, к появлению высшей математики.

Математика - это самая историчная из дисциплин в том смысле, что ее главной темой являются углубление, движение вспять к тому, что счи­талось само собой разумеющимся в работе предшественников. Алгебра не только предполагает арифметику, равно как и высшие уровни алгеб­ры, математического анализа и т.д. не только предполагают ранее иссле­дованные более низкие уровни абстракции в соответствующих областях. В каждой точке истории математики символическая система последней относится к типам операций, разработанным на более раннем уровне ее развития. Невозможно избежать исторического накопления прошлых ре­зультатов, заключенных в значении любого математического выражения. Сама история математики воплощена в этом символизме.

После Декарта механизм обращения с уравнениями состоял в про­цедурах переноса символов из одной стороны уравнения в другую и пе­регруппировки членов до тех пор, пока уравнение не примет форму того, что уже следует решать или доказывать. Ключ к использованию такого метода - это обратимость. Результаты выполнения операций могут быть взяты как начальные точки через приписывание им символов, которыми также можно оперировать в данном уравнении. Символические обозна­чения неизвестных чисел х, у, удовлетворяющих конкретным уравнени­ям, рассматриваются, как будто они уже известны. Таким же образом выражения любого иного класса, включающие то, что должно быть най­дено, представляются как некие позиции в уравнении. Работе данного механизма не мешает наше незнание какого-то конкретного факта. Метод символизации целых классов, включающих прошлые результаты, будущие результаты, возможно, даже недостижимые или невозможные результаты, позволяет приводить в движение процедуры преобразования уравнений и приходить к заключениям о том, как соотносятся между собой члены этих уравнений.

В некотором смысле такой способ символизации - это реификация, или овеществление. При этом используемые элементы рассмат­риваются как вещи, поскольку они символизируются подобно симво­лическому обозначению вещей. Это дает видимую твердость данному х или данной функции f(x), что является еще одной попыткой отно­ситься к математическим объектам, как будто они являются реальнос­тями в платоновском смысле. Однако эта реификация носит лишь вре­менный характер и осуществляется ради реализации технологии пре­образования уравнений. Данная система символизации принадлежит к продолжающейся истории. Это видно как при движении назад, в прошлое, так и при движении вперед, в будущее: назад, поскольку самый очевидный референт (обозначаемый объект) символической позиции есть нечто того типа, который уже был обнаружен на более конкретном уровне. Так, х может быть заменен числом, являющимся решением некоторой арифметической задачи; для f(х) может быть пред­ставлен пример конкретного алгебраического выражения. Поскольку данная система символизации имеет абстрактный и общий характер, она обращена вперед к охватывающим областям математики - не толь­ко ко всем конкретным неизвестным, которые могли бы быть замене­ны каким-либо символом, но и к внешнему пространству абстрактных возможностей во всем семействе родственных операций. На этом пути разработка новой системы символизации, что всегда означает появле­ние новых систем практики, процедур оперирования группами сим­волов, обнаруживает новые области для открытий, новые математи­ческие уровни, подлежащие изучению. Таким образом, последователь­ные порядки символизации обращены не только вспять к той предше­ствующей работе, на которой они основаны, но также и вперед - к новым типам проблем.

Итак, математика социальна в двух смыслах, второй из которых еще сильнее первого: каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и ис­следователей, делающих открытия. Символы и процедуры, составля­ющие математику, рефлексивным образом воплощают историю этой творческой сети на всем протяжении до самых ее ранних связей, а рефлексия над собственными прошлыми операциями - это само зда­ние высшей математики.

Следует подчеркнуть другой аспект, еще более ярко показываю­щий, что математика насквозь социальна. Предметом математики являются операции, а не вещи. Это не та область, где исследуется, какие типы вещей существуют в этом мире, либо в каком-то ином мире за пределами этого. Вернемся к нулевому уровню математики - числам. Поскольку некое число может считаться существительным в предло­жении, постольку легко полагать число вещью. Однако первоосновой числа является просто счет, а он состоит в выполнении жестов, сло­весных или иных, относительно чего-либо при произнесении после­довательности "1, 2, 3 ...". Ответом на вопрос "сколько?" является число, на котором человек останавливается, когда завершает свое ука­зание жестами на то, что подсчитывает. Числа изначально являются деятельностью (или операцией) перечисления.

В этом отношении числа сходны с другими символами, составля­ющими человеческий дискурс. Универсальность чисел происходит из их унивeрcaльнoro использования, а вовсе не из какого-то характера объектов, для которых они используются. Перечисление - это процесс разделения и указания. Оно может быть применено к чему угодно: к ма­териальным объектам, среди которых могут быть очевидные разделения, но также к вещам, чьи контуры расплывчаты и изменчивы (к облакам, например), либо же к таким "вещам", которые вообще вещами не яв­ляются, но могут быть операциями, абстракциями или воображаемы­ми предметами. Перечисление - это операция, делающая элементы (единицы) эквивалентными друг другу через их подсчет, и они стано­вятся единицами, поскольку к ним относятся как к таковым. Это не означает, что числа иллюзорны. Они реальны как операции, выполня­емые человеческими существами, как деятельность, осуществляемая в каком-то времени и месте. Они также могут быть обобщены и пере­несены из одной ситуации в другую, поскольку являются операция­ми, которые могут применяться вновь и вновь. Общность чисел про­исходит из того, что они суть операции человеческого дискурса.

Операции математики социальны начиная от элементарного уровня счета и далее. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение считать широко распространено в большинстве обществ. Здесь следует применить принципы социологии мышления. Счет может быть явной социальной деятельностью: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагаю и вам тоже их посчитать или же со­гласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых процедур вы придете к тому же заключению [2]. Посколь­ку понятийное мышление интериоризировано из внешнего дискурса и становится осмысленным лишь потому, что предполагает внешнюю аудиторию, мой счет "про себя" - это также операция в некоторой социальной рамке. Вывод, сделанный ранее, можно в данном случае еще раз повторить: счет ведет к появлению универсалий, ибо осуще­ствляется в некоторой универсальной позиции - позиции любого че­ловека вообще, который следует данному соглашению, или конвенции, в дискурсе.

То, что было сказано о счете, можно сказать и о любых более аб­страктных формах математики. Арифметика обобщает результаты сче­та: сложение дает правила сокращения операций, указывая, например, что будет при подсчитывании одной группы вещей, затем другой груп­пы, затем при подсчете их всех и т.д. Элементарная алгебра обобщает результаты решения различных типов арифметических задач. Такова цепочка обобщения и рефлексии от одной формы математики к дру­гой, от операций подсчета к изучению операций над операциями и к дальнейшим замысловатым ступеням абстрактной математики. На каждом своем уровне математика исследует и классифицирует опера­ции. Она делает операции эквивалентными друг другу, рассматривая их как эквивалентные, подчиняя их какому-то систематическому на­бору операций более высокого порядка. Мы делаем эквивалентными числа в некоторой системе счета, вводя соглашения об их сложении и вычитании. Для математики смешать яблоки с апельсинами не составля­ет проблемы: математик придумывает какое-нибудь новое понятие для того, что является в них эквивалентным. Причем вовсе не обязательно, чтобы этот эквивалент был "естественным", понятием в вещах (напри­мер, "фрукт"), - достаточно того, чтобы эквивалентность придавалась операциями, введенными для обращения с этими предметами. Если счет состоит в осуществлении ряда жестов, которые тем самым представляют нечто как ряд, то арифметика состоит в выполнении жестов по отноше­нию к числовым операциям, элементарная алгебра - в выполнении жес­тов по отношению к арифметическим операциям, высшая алгебра - в выполнении жестов по отношению к элементарным алгебраическим опе­рациям, рассматриваемым как эквивалентные.

Эти жесты в сообществе математиков делаются совместно. Некто становится членом такого сообщества, усваивая конвенции относитель­но коммуникации. Социальная структура математики имеет вид пирами­ды. В основании находится огромное сообщество тех, кто использует конвенции счета и арифметики. На каждой более высокой ступеньке располагаются сообщества все более специализирующихся и эзотерически мыслящих математиков - сети, в которых коммуникативные операции и конвенции более низкого уровня берутся в качестве предмета абстраги­рования и рефлексивного обобщения.

Математические объекты реальны в том же смысле, в каком реально человеческое общение. Это реальность процессов деятельности реальных человеческих существ, выполняемой во времени и локализованной в пространстве. И это вдвойне мощная, упрямая реальность социально­го, - широко распространенных соглашений (конвенций) дискурса, т.е. деятельности, выполняемой сообща, которая и составляет сообщество как раз из тех людей, кто принимает эти условные (конвенциональные) опе­рации. Можно даже сказать, что это втройне мощная реальность, посколь­ку сеть математиков - это то, что выросло вокруг главной деятельности по конструированию способов построения метаопераций, предметом которых являются предыдущие операции того же сообщества.

Устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство платонистских идеалов ошибочен. Некоторые греческие фи­лософы и математики утверждали, что объекты математики должны быть идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовер­шенным линиям, начерченным на песке [3]. Другие утверждали идеаль­ность математики, используя в качестве объекта критики эмпиризм: чис­ла - это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помо­щью чисел мы можем вещи перечислять. В обеих линиях аргументации делается одна и та же ошибка (то же относится и к полагающим, что математика возникает на основе индукции из опыта восприятия вещей) - допускается, что реальность должна состоять либо из субстантивных ве­щей, либо из самостоятельных идей. Однако математические объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий - операций математического дискурса. Универсалии и идеалы - это деятельность социального дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дис­курс. Иными словами, они столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру.

Другая ошибка - считать математику состоящей из тавтологий. Тож­дественность между элементами в разных сторонах математического уравнения - это не тот же тип тождественности, которая устанавливается при приписывании чему-либо имени, это не пустая тавтология, приме­ром которой может служить объяснение "тяжести" как "стремления к падению". Математическая эквивалентность и словесная тавтология yкoренены в различных языковых играх — в разных системах операций. Про­извольные тавтологии обыденного языка никуда не ведут, тогда как мате­матическая процедура - это машина по получению открытий. Механизм математических уравнений действует во многих направлениях, как отме­тил Фреге, говоря о различении смысла и отнесенности к предмету (ре­ференции). Устанавливающие эквивалентность математические конвен­ции приводят к обнаружению последовательных классов абстрактных операций, свойства которых могут изучаться. Конвенции произвольны, но математическое открытие состоит в исследовании неких устойчивых структур, или паттернов, обнаруживаемых при принятии разнообразных типов конвенций. Математика - это особая область эмпирических откры­тий, причем в той мере, в какой "эмпирическое", или "опытное", означа­ет изучение опыта во времени. Именно исследовательский опыт матема­тической сети - вот что предполагается в принимаемых этой сетью кон­венциях относительно символических обозначений.

Теории о том, что математика должна быть неким трансцендентным царством платонистских объектов или, по крайней мере, собранием апри­орных истин, заключенных в тавтологиях, привлекательны, поскольку помогают объяснить ощущение того, что математика - это нечто досто­верное, что ее результаты обладают такой высокой степенью неопровер­жимости и истинности, какую только люди могут достичь. Эту достоверность можно объяснить особым социальным характером математических сетей. Поскольку содержание математики выстроено в некую цепь во времени, постольку от самых высоких и утонченных абстракций и до обычных операций счета, все это здание внутренне скреплено самым тесным образом. Дело не только в том, что результаты лениво переходят от одного поколения к другому как некая устоявшаяся традиционная пара­дигма, которую никто не удосуживается поставить под вопрос. Напротив, данная связность глубока и неизбежна, поскольку темы все более абст­рактной математики были внутренними моделями операций предыдуще­го периода развития математики. В математике, в ее процедурах исполь­зования символических обозначений воплощена ее собственная история, причем в такой степени, которая не обнаруживается ни в какой иной области. Самый наивный практикующий математику приходит к тем же результатам, что и любой другой, поскольку каждый, кто учится следо­вать данным конвенциям, может повторить эту цепь аргументации. Ма­тематика достоверна, поскольку она надежно воспроизводима, что озна­чает воспроизводимость в цепи социальных конвенций.