Лекция конспектісі 6В070400-Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы үшін
Бірдей қашықтықта орналасқан тораптар үшін Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы. Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
| Бірдей қашықтықта орналасқан тораптар үшін Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы. Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы
f(x) функциясының мәндері у , у бірдей қашықтықта орналасқан интерполяциялау тораптарында берілсін х , х ,…, х . Мына шартты қанағаттандыратын P (x )=y ,P (x )=y ,…, P (x )= ,n – ші дәрежелі P интерполяциялық көпмүшелігін тұрғызу керек. f(x) – функциясының n+1 - мәнімен тұрғызылған n - ші дәрежелі көпмүшелік P тек біреу ғана болғандықтан, бұл интерполяциялық көпмүшелік Лагранждың көпмүшелігімен бірдей болуы керек. Көпмүшелікті мына түрде іздейміз. a ,a ,…,a - коэффициенттері белгісіз. a - ді табу үшін х=х мәнін (1) – ші формулаға қоямыз , ал нүктесінде функцияның мәні берілген , демек а . а - коэффицентін табу үшін, P (x) көпмүшелігінің х - нүктесіндегі бірінші шектік айырымын құрамыз Орнына қойып мынаны аламыз. а = P көпмүшелігінің х нүктесіндегі бірінші шектік айырымын есептейтік, а коэффициентін есептеу үшін екінші шектік айырымды құрайық. х=x деп Осы жерден а . Жоғарғы шектік айырымдарды есептеп, х=x деп - коэффициентін есептеудің жалпы формуласын аламыз а (і=0,1,2,..n),0!=1 және Коэффициенттердің табылған мәндерін 1-ші формулаға қойып, Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласын аламыз . (2) Жаңа белгісіз енгізіп q=(x-x )/h, мұнда h - интерполяция қадамы, q-қадамдардың саны, Ньютонның формуласын былай жазуға болады. P . (3) 3–ші формула интерполяциялау кесіндісінің [a,b] бас жағында пайдалануға ыңғайлы. Егер тораптар саны n=1 болса, онда сызықтық интерполяциялау формуласын аламыз
Егер n=2 болса, параболалық немесе квадраттық интерполяциялау формуласын аламыз . Кестенің соңында интерполяциялау үшін әдетте Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы қолданылады. Мейлі, кесіндісінде аргументтің n+1 әр түрлі мәні беріліп, оларға сәйкес функцияның мәндері
ал интерполяциялау қадамы тұрақты h-қа тең, яғни т.е. (i=0, 1, 2, …, n-1) болсын.Интерполяциялау көпмүшелігін мына түрде тұрғызамыз (1) Бұл көпмүшеліктің коэффициенттері белгісіз. Оларды теңдігі орындалатындай етіп таңдап аламыз. Ол үшін Δ Δ (i=0, 1, …, n) (2) болуы қажетті және жеткілікті. (1)-ші теңдікке мәнін қойып коэффициентін табамыз
осыдан
Бірінші шектік айырымның өрнегінен -ді табамыз: Осы жерден деп болжап және (2)-ші байланысты ескеріп Δ Δ екенін аламыз. Демек, Екінші шектік айырымның өрнегінен -ні табамыз: Δ
Δ Δ осы жерден
Математикалық индукция әдісімен (i=0, 1, 2, …, n) екенін дәлелдеуге болады. Коэффициенттердің табылған мәндерін (1)-ші формулаға қойып (3) аламыз. Бұл Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы. Есептеулерде Ньютонның формуласын басқа түрде қолданады. делік, сонда
(3)-ші формула мына түрге келеді Δ Δ Δ Δ (4) Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы кесіндісінің бас жағында интерполяциялау үшін қолданылады, яғни алға интерполяциялау және артқа экстрополяциялау. Ньютонның бірінші формуласымен интерполяциялағанда Артқа экстрополяциялағанда, бұл жағдайда Кестенің соңында интерполяциялағанда, яғни артқа интерполяциялағанда, интерполяциялау қадамы тұрақты болған жағдайда, Ньютонның екінші формуласы қолданылады, мұнда Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы алға экстрополяциялағандада қолданылады, онда
y(0,58) мәнін есептеу керек. Шешімі. Мұнда интерполяциялау қадамы h=0,1.Осы жерден y(0,58)мәнін есептеу үшін Ньютонның екінші интерполяциялық формуласын қолданамыз: жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|