Ментальный дарвинизм и математическое творчество

Ж.-П.Ш.: Предлагаю теперь рассмотреть, как определенные формы ментальной активности математика — или мыслительной активности вообще — следуют своего рода эволюции по Дарвину...

7. МЕНТАЛЬНЫЙ ДАРВИНИЗМ и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО 125

А. К.: Аналогичным образом можно сформулировать гипотезу о дуализме между случайным процессом дарвиновской эволюции и моей верой в независимое существование грубой математической реальности. Логичность и гармоничность этой гипотезы послужат противоядием от случайности. Некоторые сравнительно случайные размышления, приводящие к тому же результату, показывают, что мы на верном пути. На третьем уровне организации именно необъяснимая логичность математической реальности и позволяет, как мне кажется, нескольким независимым совокупностям нейронов входить в резонанс только тогда, когда они пребывают в гармонии.

Ж.-П. Ш.: Да, это комбинаторика пре-репрезентаций.

А. К.: Следует постулировать, что независимо от мозга существует внешний мир, логичность которого может быть воспринята с помощью резонанса случайных механизмов.

Ж.-П.Ш.: Я собирался подсказать тебе похожую мысль. Продвинемся в определении математических объектов как объектов мысли несколько дальше и рассмотрим их сначала как частные ментальные репрезентации, как физические состояния, наблюдаемые через установленную камеру.

А. К.: Сама по себе ментальная репрезентация никакого смысла не имеет...

Ж.-П.Ш.: Она получает вполне явный «смысл», как только ее кому-либо сообщают. Математические объекты и в самом деле представляют собой ментальные репрезентации, основным свойством которых является то, что их можно сообщить от одного индивида к другому — в отличие, скажем, от «невыразимых» состояний великих мистиков или сумасшедших. Ментальные репрезентации способны становиться репрезентациями публичными. Математические объекты можно передавать — вполне «строго и точно» — от одного мозга к другому, ими можно манипулировать, причем способ такого манипулирования практически не зависит от конкретных индивидуумов, пусть и отличающихся друг от друга как генетически, так и эпигенетически.

Некоторые антропологи (например, Спербер [96]) различают несколько типов публичных репрезентаций. Репрезентации «первого порядка» выражают, например, что хлеб — съедобен, лев — опасен, растения — зелены. Эти репрезентации записываются в долговременную память и не допускают никакой эмпирической непоследовательности и никаких противоречий между собой. Бу-

126 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

дучи основаны на частных фактах, они все же имеют универсальное значение, поскольку были множество раз подтверждены. Репрезентации второго порядка по Сперберу — это «репрезентации репрезентаций», отношения мелзду фактами и ментальными состояниями, либо мелзду межсубъектными ментальными состояниями. Он разделяет их на две категории: верования и научные модели. Я добавлю сюда третью категорию — художественные репрезентации [И, с. 20-32].

Верования по определению изменчивы. Они, тем не менее, передаются авторитарно, как и истины, что является, как отмечает Спербер, постоянной провокацией против здравого смысла. Бок о бок с верованиями развиваются гипотезы, научные модели или даже математические объекты, носящие логичный, недвусмысленный, непротиворечивый, предсказательный и генеративный характер. Помимо соответствия реальности, они противопо- || ставляются верованиям еще и в том, что такие построения легко | опровергнуть и впоследствии пересмотреть, тогда как верования 4 не подлежат критике в данном теологическом контексте! Верова- | ния также подвержены эволюции, которую можно интерпретиро- Ц вать в дарвиновских терминах, однако эта эволюция отличается от эволюции математических объектов. Таким образом, можно определить свойства собственно математических объектов как публичных репрезентаций второго порядка — как научных репрезентаций, сформулированных настолько ясно и прозрачно, насколько это вообще возможно.

В процессе отбора и распространения верований гораздо бо- ] \ лее важную роль, как нам представляется, играет не рациональная составляющая, но эмоциональная. Как же происходит отбор среди математических объектов? Из этапов работы математика ты упомянул озарение, возникающее после фазы созревания, в течение которой, по всей видимости, и действует дарвиновская комбинаторика. Можно предположить, что озарение совпадает по времени с наступлением резонанса ментальных репрезентаций. Однако фронтальная кора, где, очевидно, и происходит этот резонанс, напрямую связана с лимбической системой, ответственной за эмоциональные состояния (см."рис. 25). Наша фронтальная кора не только вырабатывает познавательные стратегии, но способна также реализовать и стратегии эмоциональные — посредством очень разветвленной сети связей между фронтальной корой и лимбической системой (см. рис. 26). Думаю, математику следует, наряду

7. МЕНТАЛЬНЫЙ ДАРВИНИЗМ и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО 127

Рис. 25. Лимбическая система и удовольствие. Очень схематичное представление лимбической системы в виде круга, впервые описанного Папе-цем. Этот круг включает в себя, в частности, гиппокамп, который получает информацию от неокортекса, от гипоталамуса (Hyp), частью которого являются сосцевидные тела (Μ), от передних ядер (А) и заднего ядра тала-муса (MD). Эти образования проецируются, соответственно, на префрон-тальную кору и на поясную долю, которая напоминает по форме кольцо или лимб, откуда, собственно, и происходит название «большая лимбиче-ская доля», данное ей Полем Брока.

Электрическая стимуляция определенных точек лимбической системы вызывает автостимуляцию и, как следствие, ощущение удовольствия. Стрелками показана реакция, выражающаяся в эрекции пениса мужской особи. (Рисунок из работы [75].)

128

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

парагиппокампальная доля

передняя доля

зона 19

зона 46

Рис. 26. Сеть анатомических связей, устанавливаемых у обезьяны между лобной долей (зона 46), височной долей (верхняя височная борозда), теменной долей (зона 7А) и лимбической системой (передняя поясная доля, задняя поясная доля и парагиппокампальная доля). В нижней части рисунка показана внешняя сторона левого полушария, в верхней — его же внутренняя сторона. Лимбическая система располагается, главным образом, на внутренних сторонах полушарий мозга, в средней его части. Взаимные соединения между неокортексом и лимбической системой устанавливают связь между познавательной способностью и эмоциями. (Рисунок из работы [41].)

с рациональными стратегиями, развивать и стратегии эмоциональные, дающие ему надежду на достижение результата. В момент озарения резонансы выходят за пределы фронтальной коры, достигая лимбической системы — т. е. можно предположить, что эмоциональное состояние вносит свой вклад и в оценку.

7. МЕНТАЛЬНЫЙ ДАРВИНИЗМ и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО 129

А. К.: Совершенно верно. И это очень важно.

Ж.-П.Ш.: Функцию оценки, способную распознать достижение «гармонии» между субъектом и его окружением или же внутренней «гармонии» между несколькими репрезентациями, можно реализовать в виде системы удовольствия или системы тревоги.

Наконец, следует различать условия, в которых происходит озарение, и условия передачи информации от одного математика к другому. Речь идет о разных процессах, творчество отлично от передачи знаний. Тем не менее, для осуществления такой передачи мозг получателя должен обладать определенной компетентностью.

А. К.: Разумеется.

Ж.-П.Ш.: Этот определенный уровень компетентности требуется для того, чтобы получатель принял или отбросил предлагаемый ему математический объект или доказательство. Следовательно, необходимо принимать в расчет эту компетентность, характерную для существующего математического контекста. Принятие какого-либо нового предположения сообществом математиков означает, в частности, соответствие этого предположения контексту, его интеграции в этот контекст. Внутренняя взаимосвязанность математических объектов, которая так тебя удивляет, вырабатывается весьма постепенно.

А. К.: Мы, безусловно, постепенно выстраиваем копии этих объектов в нашем мозге в процессе создания мысленных образов, однако это отнюдь не ставит под сомнение существование самой математической реальности.

Ж.-П.Ш.: Математическая реальность выстраивается постепенно, посредством открытий, модификаций, а также резонансов с прочим контекстом. Вот почему я отрицаю реальность математики, предшествующую опыту ее применения. Взаимосвязанность объектов достигается, как мне кажется, не a priori, a a posteriori, и является результатом отсутствия между ними противоречий. Именно поэтому Моррис Клайн и называет свою книгу, посвященную новой истории математики, «Математика: утрата определенности».

А. К.: Итак мы вернулись к исходной точке нашего спора. Думаю, пора через нее, наконец, перешагнуть.

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Дарвинизм в математике не кажется мне новой идеей. Прежде чем её развивать, думаю, не помешает еще раз уточнить уровни, о которых мы оба уже говорили, для того, чтобы мы могли более четко определить «точки перехода», в которых каждый из нас будет вступать в обсуждение.

АЛЕН Конн: Мне почти нечего добавить. Очень формально можно различить в рамках нашей дискуссии три уровня. Однако я вовсе не претендую на то, что они имеют какой-то абсолютный смысл. Прежде всего, первый уровень определяется способностью к счету, применению заданного алгоритма как быстро, так и правильно. Этот уровень мы уже можем наблюдать в современных компьютерах.

Ж.-П.Ш.: Уровень символических операций.

А. К.: Да, но эти операции могут быть весьма сложными. И всё же какова бы ни была степень сложности, алгоритм всегда задается заранее. Исполнитель этого алгоритма абсолютно не понимает. Таким образом, никакие вариации, никакие изменения стратегии на данном уровне невозможны.

Ж.-П.Ш.: Для этого необходимо перейти на символический уровень, уровень понимания, который Кант помещает между чувствительностью и разумом.

А. К.: На втором уровне, напротив, можно для достижения определенной цели — например, решения задачи — выбрать стратегию и изменять ее в зависимости от результата. Когда происходит ошибка, можно произвести сравнение с другими вычислениями. Иначе говоря, этот уровень предполагает понимание используемого механизма. Выполняя, например, операцию деления, мы понимаем, почему мы выполняем именно эту операцию, а не какую-либо иную. Еще один пример, немного, правда, преувеличенный: запоминая цифру при сложении, мы понимаем, что используем при этом 2-коцикл группы. Следовательно, необходимо,

1. ПОЛЕЗНОСТЬ ДАРВИНОВСКОЙ СХЕМЫ 131

чтобы используемые операции были формализованы, составляли некую иерархию, зависящую от цели, к которой адаптируется выбранная стратегия. И для того, чтобы этого добиться, нужно очень хорошо разбираться в том, что делаешь. В математике именно такой подход часто позволяет решить задачу, если она не слишком сложна или не требует каких-то новых идей. При условии, разумеется, что она не относится к первому уровню, т. е. не является простым вычислением или применением алгоритма.

Ж.-П. Ш.: Можно предположить, что такая форма разума (возможно, низшая) соответствует тактическому разуму Гранже. Здесь вводится применение стратегии и, в случае необходимости (если первая тактика себя не оправдала), поиск новой тактики.

А. К.: Нить рассуждения на втором уровне никогда не обрывается. Мне кажется, именно эта деталь и отличает его наиболее очевидно от третьего уровня. Ни в какой момент времени не возникает разделения между функционированием мозга и объектом, к которому оно применяется.

Ж.-П.Ш.: Мне кажется, именно такое определение и дает Гранже тактическому разуму. Меняется тактика, меняются средства, методы, но математическая интенция остается все той же. Третий же уровень позволяет изменить стратегию целиком, что повлечет за собой и изменение цели.

А. К.: Здесь нужно быть осторожнее. Это не совсем то различие, о котором я говорил. На мой взгляд, третий уровень можно определить следующим образом: в то время, как «разум» (или «мысль») занят какой-то другой задачей, первоначальная задача находится в стадии внутреннего — можно даже сказать, «подсознательного» — разрешения. Главным является именно это разъединение между явным и активным размышлением и иным, неявным функционированием мозга...

Ж.-П.Ш.: Не думаю, что сам факт «сознательности» той или иной операции предполагает наличие какого-то особого уровня. Скорее, речь идет о способе «внутреннего» восприятия происходящего. Главным признаком третьего уровня является, как мне кажется, именно возможность доступа к озарению, позволяющему глобально менять стратегию. Как следствие, создаются новые границы мысли, внутри которых затем может быть применена новая тактика. Теперь, когда мы достигли понимания по всем трем уровням, не кажется ли тебе, что дарвиновская схема в данных условиях может оказаться весьма полезной?

132

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

Ж.-П.Ш.: Твой ход.

А. К.: Если за основу взять тот принцип, которого я придерживался с самого начала (т. е. признать независимое существование математической реальности), то кое-какие идеи предложить можно — по крайней мере, в качестве примеров, которые можно будет соотнести с опытом и с реальностью. Можно также допустить, что направляющим фактором здесь является внутренняя логичность математики в том смысле, что любая организованная структура противопоставляется случайному. Таким образом, вполне возможно, что именно логичность математики играет роль механизма отбора в процессе построения в мозге образного представления о математической реальности.

Ж.-П. Ш.: Это никоим образом не предполагает, что существование математики первично. Ты говоришь о ней как о направляющем факторе для мысли. Функция оценки есть не что иное, как функция подтверждения интегрированности в логичную непротиворечивую структуру. Это подтверждение происходит в нашем мозге, где в долговременной памяти хранится некоторое количество математических репрезентаций. При появлении нового объекта они входят в своего рода резонанс. Результатом является некая глобальная активность.

А. К.: Я говорил о внутренней логичности.

Ж.-П.Ш.: Так. Я же говорю, что она является внутренней как для мозга, так и для математики, потому что вся математика располагается внутри мозга математика. В частности, в его долговременной памяти. Она представлена указателями, совокупность которых внезапно объединяется под влиянием нового математического объекта. И все они вдруг начинают действовать координиро-

I

1. ПОЛЕЗНОСТЬ ДАРВИНОВСКОЙ СХЕМЫ 133

А. К.: Но давай вернемся к противопоставлению беспорядка и организации. Математическая реальность в силу своей структуры, своей внутренней гармонии — это неистощимый источник организации. При случайном отборе формул резонанс между ними можно получить только тогда, когда все они вместе обладают некоторой взаимосвязанностью. Функция математики как раз и заключается в выявлении этой взаимосвязанности. Можно предположить, что различные группировки активных нейронов входят в резонанс только тогда, когда возникает подобное проявление взаимосвязанности. Эту идею на данный момент еще нельзя сформулировать точнее, однако поразмыслить над ней, безусловно, стоит.

Ж.-П.Ш.: Доступом к такой взаимосвязанности обусловлена изменчивость в течение этапа созревания. Ведь мозг функционирует не как компьютер или машина для игры в шахматы. Далеко не все возможности принимаются во внимание и оцениваются. Напротив, устройство, основанное на принципах комбинаторики, имеет дело, как правило, с весьма небольшим количеством мысленных объектов.

А. К.: Если мозг способен сформировать минимальную структуру, пусть даже соответствующую очень примитивной модели представления мысленного образа математической реальности, то несложно представить механизм эволюции систем внутри мозга, позволяющий создавать более развитые структуры. Возьмем в качестве примера рассуждение по аналогии. Этот тип рассуждения приводит от простой синтаксической структуры к созданию похожей модели, но из элементов, имеющих иную семантическую интерпретацию. Удостоверившись в совместимости этой новой структуры с математической реальностью, можно модифицировать структуру с целью увеличения ее эффективности. Решение задачи, таким образом, не следует с необходимостью из последовательности случайных попыток. Благодаря аналогии, построенной на основе предыдущей модели, можно получить непосредственный доступ к более ограниченному набору решений. Ты тут упомянул о шахматах. Думаю, что великие шахматисты, именно благодаря этой самой интуиции, способны существенно сократить число ходов, которые необходимо рассмотреть, тогда как компьютеру приходится рассматривать этих ходов миллионы.

134 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

Ж.-П.Ш.: Психологи изучили игру великих гроссмейстеров и проанализировали их стратегии [18, 57]. По всей видимости, гроссмейстеры осваивают своего рода новый язык, слова в котором обозначают серии возможных ходов в игре и сами ходы. Количество слов варьируется примерно от 7 до 10 тысяч, что соответствует в среднем словарному составу французского или английского языков. Вместо систематического комбинаторного анализа распределения фигур на шахматной доске, гроссмейстер обращается к своей памяти и вырабатывает соответствующую стратегию. Вместо того, чтобы постоянно изобретать новые стратегии, он предпочитает размышлять, опираясь на образы и стратегии, имеющиеся в его памяти.

А. К.: Здесь мне представляется важным понятие устойчивости конфигураций и форм. Мозг одинаково воспринимает некоторые строго кодированные формы, которые в действительности ;( различны. Например, в игре в шахматы гроссмейстер, благодаря У описанному механизму, приходит к открытию и классификации ^ небольшого количества «аттракторов» среди большого числа воз- // можных конфигураций, разделенных позиционно, но соседству- _;| ющих в его разуме. Этот специфический ментальный механизм, ,| на данный момент пока еще не доступный компьютерам, позво- J ляет ему таким образом свести его задачу к небольшому числу Ц решений. Впрочем, сегодня и искусственный интеллект пытается f сымитировать этот процесс с помощью динамической топологии. |

I

2. Кодирование устойчивых форм I

Ж.-П. Ш.: Таким образом, долговременная память иерархична. ff

Она не имеет ничего общего со словарем, где слова расположены f в алфавитном порядке. Совсем наоборот...

А. К.: Иерархия задается, как мне кажется, механизмами топологии.

Ж.-П.Ш.: Организация долговременной памяти представляет

собой фундаментальную теоретическую проблему для нейробио- £

логов. Они работают с такими понятиями, как семантические де- |

ревья, иерархические классификации... 1

А. К.: Прежде чем пуститься в топологические разъяснения, не §

могу не обратить внимание на одну вещь. Один из моих коллег, ве- Ï

ликолепный математик, решил однажды заняться психоанализом. '*

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ 135

Возможно, он подумал, что топология может стать интересным инструментом для психоаналитических исследований. Он рассказывал мне, как однажды, после ознакомления с понятием компактного пространства, Жак Лакан объяснял в своей лекции, что Дон Жуан был компактен, и показал, что из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие... Кое-кто из группы Лакана также принялся употреблять математические термины, не осознавая их истинного смысла, чтобы произвести впечатление на прочих коллег, столь же не сведущих в математике. Ясно, что полученный таким образом мир химер никакой реальности не соответствует. Наша дискуссия не должна ни в коем случае привести к ложным интерпретациям такого рода. Я, в частности, не претендую на новое понимание функционирования мозга. Я лишь думаю, что было бы хорошо, если бы некоторые элементарные понятия топологии, которые я попробую объяснить в деталях, стали лучше известны ученым-нейробиологам вроде тебя. Почему топология? Как ты объяснил, устройство мозга у разных людей не идентично. Так же различно и восприятие внешних объектов. Однако свойства, по поводу которых существует согласие, имеют характер инварианта «структурной устойчивости» (по терминологии Тома), что достаточно хорошо учитывается в рамках топологической теории.

Ж.-П. Ш.: Ментальные репрезентации и объекты памяти кодируются в мозге в виде форм (в смысле гешталът-теории), несмотря на значительную изменчивость синапсов, в которых они хранятся. Таким образом, в нервной системе протекают процессы воплощения воспринимаемых инвариантов. Это первая проблема. Другая касается способа, которым упорядочиваются репрезентации в памяти. Эти проблемы нужно отделить друг от друга. Начнем с первой...

А. К.: Я сначала попробую объяснить в общих чертах основы симплициальнои топологии и смысл ее самого простого понятия — упомянутого тобою выше «дерева». Задачей симплициальнои топологии является изучение топологических инвариантов объектов, называемых симплициальными комплексами. Симплициаль-ный комплекс — это конечное множество точек, которые я буду называть «вершинами». Ты можешь представлять их себе в виде нейронов, образующих в совокупности достаточно сложный агрегат. Структура этого объекта определяется подмножеством (которое я назову «дельта 1») множества пар вершин. Нары вершин мы

136 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

будем называть «ребрами» — продолжая сравнение с нейронами, ребро можно представить себе как связь двух нейронов. Однако, за исключением случаев, когда симплициальныи комплекс одномерен, структура на этом не заканчивается. Вообще говоря, для любого целого п, меньшего, чем размерность, следует задать подмножество «дельта п» множества фигур, содержащих n вершин. На- Ц пример, если симплициальныи комплекс имеет размерность 2, то Ш следует учитывать не только ребра, но и треугольники. Единствен- fl ное правило согласования заключается в том, что ограничиваю- ff щие треугольник стороны должны быть ребрами. Это означает, | что треугольник ABC принадлежит комплексу (ABC € Δ²) толь- f ко тогда, когда три его ребра принадлежат комплексу (AB G Δ¹), (ВС € Δ¹), (AC e Δ¹). Обратное утверждение не верно. Аналогично, если А и В являются вершинами, то соединяющее их ребро не обязательно принадлежит комплексу. Опираясь на эти основы, мы можем применить значительный потенциал симплициальной топологии к нашему случаю.

Симплициальные комплексы размерности 1 не представляют для нас особого интереса. Так, фундаментальные группы связан- | ных с ними топологических пространств — это всегда свободные | группы. Я приведу несколько примеров симплициального комплек- ^ са большей размерности, не пытаясь, впрочем (по крайней мере, | пока), сопоставить им какой-то смысл или реализацию. А для того, | чтобы ты мог себе легко все это представить, я буду использо- | вать для обозначения вершин моего симплициального комплекса | термин «нейроны», для обозначения ребер, которые связывают | нейроны между собой, — термин «простые связи», в случае сово- Ij купности из η нейронов я буду говорить о «сложных связях». В ка- ;ξ-честве первого примера рассмотрим симплициальныи комплекс f с топологией двумерной сферы. Комплекс состоит из четырех ней- | ронов А, В, С и D. Каждая пара (AB, AC, BD,... ) имеет связыва- | ющее нейроны ребро. Каждая тройка — треугольник. Этот ком- | плекс двумерен, и не существует связей большего порядка, чем t треугольные связи. Теперь я опишу другой симплициальныи комплекс, эквивалентный предыдущему (т.е. определяющий тот же топологический объект), однако число вершин будет иным. Добавится вершина Е. К прежним ребрам добавим те, что соединяют E с вершинами А, В и С, а ребро ED добавлять не станем. Все треугольники останутся треугольниками — так как их ребра никуда не делись (см. рис. 27), — за исключением треугольника ABC. На-

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ 137

пример, фигура АЕВ — треугольник, a AED — не треугольник, потому что ED не является ребром. Полученный симплициаль-ный комплекс имеет размерность 2. Связанное с этим комплексом топологическое пространство гомеоморфно топологическому пространству первого симплициального комплекса. Эти два пространства гомеоморфны двумерной сфере. Переход от первого симплициального комплекса ко второму называется «барицентрическим подразделением».

Сравнивая топологические комплексы с совокупностями нейронов и пытаясь выяснить, существуют ли совокупности нейронов большей размерности, чем размерность 1, мы сталкиваемся с первой трудностью, связанной с обнаружением и правильным определением тройных связей, или треугольников, в симплициальном комплексе. Это можно проделать лишь опытным путем или с помощью машины, способной пользоваться не только механизмом древовидной классификации, но и намного более богатыми ресурсами топологии больших размерностей.

Ж.-П.Ш.: Я думаю, что это очень интересная идея. Известно, что каждый отдельный нейрон образует десятки тысяч связей, которые, очевидно, могут участвовать в различных репрезентациях. Описанная тобой схема позволяет эти возможности использовать. .. Рассмотрим, к примеру, как мой мозг кодирует какую-либо особую фигуру, скажем, твое лицо. Проблема размерности приобретает здесь критическую важность. Ранее мы уже обращались к ментальным репрезентациям, рассматриваемым как физические состояния, определяемые активностью определенных популяций нейронов. Однако эта точка зрения разделяется далеко не всеми. Барлоу [2], например, построил альтернативную теорию, согласно которой каждый нейрон в мозге обладает крайне развитой функциональной специфичностью, которой вполне достаточно для того, чтобы закодировать любую «репрезентацию» — даже такую особенную, как, например, его собственная бабушка или, скажем, желтый «фольксваген». Эта теория известна как теория «бабушкиных клеток» («grandmother cells» по-английски). Некоторые экспериментальные данные это подтверждают. В теменно-височной коре обезьян [88, 26] можно зарегистрировать реакцию отдельных нейронов, которые кодируют распознавание лиц и даже некоторых черт лица (см. рис. 28). Одни нейроны реагируют на лицо в фас или в профиль, другие — на лицо и в фас, и в профиль. Есть нейроны, которые дают реакцию на лицо с глазами и не ре-

138

А - (А, В, С, D)

Δ² - (AB, AC, AD, ВС, CD)

Δ³ - (ABC, ABD, ACD, BCD)

Δ = (А, В, С, D, E)

Δ² - (AB, AC, AD, BC, BD, CD, A E, BE, CE)

Δ = (ABE, ACE, BEC, ABD, ACD, BCD)

Симплициальный комплекс Геометрическая реализация

Рис. 27

агируют, если глаза на лице отсутствуют; есть нейроны, которые реагируют на лицо одного из экспериментаторов и не реагируют на лицо другого, некоторые нейроны оказываются чувствительны даже к направлению взгляда наблюдающего за обезьяной экспериментатора. Это заставляет предположить наличие у некоторых нейронов крайне тонкой функциональной специфич-

139

а

и

|10 пиков в сек 10 сек

0° 30° 60° 80° 100° 180

12

Рис. 28. Специфичность реакции отдельных нейронов височной коры макака на очень сложные объекты. Реакция отдельных нейронов регистрируется у бодрствующей обезьяны с помощью микроэлектрода. Каждый нервный импульс представлен в виде вертикальной черты постоянной длины (рисунок на следующей странице). Частота этих импульсов за конечный промежуток времени показана штрихами переменной высот (верхний рисунок). Специфичные реакции нейронов регистрируются в трех разных точках височного кортекса соответственно: реакция на лицо в фас, реакция на лицо в профиль, реакция на руку. Заметим, что для реакции на лицо необходимо наличие у объекта глаз, а для реакции на руку необходимо различать пальцы. (Рисунки из работ [26, 47].)

ДАРВИН И МАГЕМАТИКИ

III!

III»

[5°

120°

ности. Однако не следует заходить слишком далеко. Поскольку если бы в височной коре в действительности существовал всего лишь один нейрон, кодирующий любой из вышеперечисленных объектов, то шанс обнаружить его был бы крайне мал. Тот факт, что полученные результаты можно воспроизвести, доказывает, что существуют целые популяции нейронов, обладающих этими специфическими свойствами. Очевидно, что они представляют собой ансамбли высокодифференцированных нейронов, принимающие участие в распознавании образов. А нейроны, индивидуально реагирующие на те или иные особые черты, связаны в действительности с другими ансамблями нейронов, которые расположены в первичной и вторичной зрительных зонах и приводятся в действие нейронами сетчатки. Здесь (т. е. в рамках нервной системы) мы имеем дело с системами, обладающими одновременно сложной иерархией и высоким параллелизмом. Таким образом, я не совсем уверен, что в данном конкретном случае можно как-нибудь применить твое предложение позаимствовать подход у симплициальной топологии.

А. К.: Не знаю, пригодны ли в самом деле мои замечания к проблеме запоминания.

Ж.-П. Ш.: Речь идет не просто о запоминании. Речь идет о способе накопления информации в нервной системе. Проблема кодировки ментальных репрезентаций — вот топологическая проблема.

А. К.: Да, но я пришел к топологии совсем по другой причине. Мы говорили о существовании большого разнообразия, но также и о некоторой инвариантности в способе формирования мозга у различных индивидов. Рамки топологии идеальны для понимания такого рода явления, поскольку один и тот же топологический объект может иметь множество разных представлений. Он может состоять из множества различных симплициальных комплексов, сохраняя неизменность своих топологических свойств. Таким образом, симплициальная топология является идеальным средством кодировки, например, понятия формы, если мы, разумеется, не будем слишком углубляться в количественные аспекты ее геометрии. В качестве очень простого примера можно взять инвариант, который не изменяется при замене симплициального комплекса, например, размерности 2, другим, описывающим все тот же топологический объект. Здесь необходимо пояснить, что такое характеристика Эйлера-Пуанкаре. Это число равно количеству вер-

142 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

шин с вычетом количества ребер и добавлением количества треугольников. Не сложно убедиться в том, что операция барицентрического подразделения, о которой я только что говорил, сопровождающаяся добавлением одной вершины, трех ребер и двух треугольников, к изменению определенной выше характеристики не приводит. Попробуем вычислить характеристику Эйлера-Пуанкаре для двумерной сферы. Имеем четыре вершины, четыре треугольника и шесть ребер — следовательно, искомая характе-ристика равна 2. Впрочем, несложно представить себе электри-ческую систему, позволяющую вычислять это число в зависимо-сти от данного симплициального комплекса. В топологии извест-но несколько существенно более сложных преобразований, чем барицентрическое подразделение. Эти преобразования изменяют топологический объект, т. е. в результате получаем объект, не го-меоморфный исходному, — впрочем, его так называемый «тип гомотопии» остается прежним. Существенный инвариант топологического пространства с точностью до гомотопии называется «фундаментальной группой» этого пространства. В случае сферы он вполне тривиален, т. е. сводится к одному элементу, однако пере-стает быть таковым в случае симплициальных комплексов размерности хотя бы 2 (как, например, тот, что определен на рис. 29). То-пология есть исследование топологических пространств, с точно-стью до гомотопии или гомеоморфии. Мне представляется вполне вероятным, что возможность строить топологические структуры (элементарные или, напротив, чрезвычайно богатые по форме) мозг получает, благодаря комбинаторике симплициальных ком-плексов. Точнее говоря, его топология показывает, что мозг спосо-бен тщательно разрабатывать комбинаторику того или иного сим-плициального комплекса. Жаль упускать возможность использо-вать прогресс в топологии для разработки, например, машин для запоминания информации, ограничившись одними лишь деревьями (т.е. симплициальными комплексами размерности 1), фундаментальная группа которых тривиальна. Определение фундаментальной группы несложно для понимания: выбрав однажды начальную точку, которая послужит точкой отсчета, т. е. вершиной, мы рассматриваем все траектории, которыми можно пройти вдоль всех ребер «сети», возвратившись в результате в точку отсчета. Траектории мы составляем, соединяя концы соответствующих ре-бер. Единственная тонкость: необходимо понять, что две траекто-рии могут определять один и тот же элемент фундаментальной

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ 143

группы. Для объяснения я мог бы перейти на уровень комбинаторики, но этот путь слишком труден. С тем же успехом я могу привести геометрическую картинку. Несмотря на то, что симпли-циальный комплекс представляет собой комбинаторный объект, он имеет и так называемую «геометрическую реализацию». Вершина симплициального комплекса помещается в пространство достаточно большой размерности, вершины, являющиеся крайними точками одного ребра, соединяются настоящим отрезком, три точки в вершинах треугольника образуют вместе с соединяющими их отрезками настоящий треугольник и т.д. Описанная фигура представляет собой пример геометрической реализации симплициального комплекса размерности 2 (см. рис. 29). В общем случае изобразить его достаточно сложно, так как симплициальный комплекс неизбежно попадает в пространство большей размерности. Вот почему невозможно непосредственно визуализировать его геометрически. Следовательно, мы вынуждены заменить здесь геометрию комбинаторикой. Однако на таком представлении — по крайней мере, в случае малых размерностей — можно легко объяснить, почему две траектории могут определять один и тот же элемент фундаментальной группы. Или, что равнозначно, каким образом траектория определяет ту или иную сущность как элемент фундаментальной группы. Это происходит, когда траекторию можно деформировать без разрыва так, что она становится тривиальной (см. рис. 30). С помощью этой конструкции можно уже получить все хоть сколько-нибудь интересные группы, начиная с симплициального комплекса размерности 2. Отсюда и происходит невероятное богатство комбинаторики, даже в случае сим-плициальных комплексов размерности 2. Удивительно то, что мозг потенциально скрывает в себе мириады возможностей для реализации этой комбинаторики и применения богатств топологии. Например, сосчитать количество отверстий в поверхности есть не что иное, как вычислить для этой поверхности характеристику Эйлера - Пуанкаре.

Ж.-H.LLL: Можно ли, исходя из этого, сконструировать машину? Это и в самом деле стало бы лучшим доказательством...

А. К.: Сосчитать количество отверстий в поверхности, т.е. характеристику Эйлера-Пуанкаре, очень просто. Чтобы извлечь инвариант, машина должна будет сосчитать количество вершин. Ей нужно будет вычесть число ребер и прибавить число треугольников. Все это не представляет абсолютно никакой слож-

144

я

Δ¹ - (А, В, С, D, E, F, (7, Я, /)

ЛЯ, ЯС, CD, /Ж EF, FG, AC, BE, CF, DF, EH, FI, Δ² = (AD, BF, CH, DG. EI, GH, AE, BG, CI, DH, HI, GI, AG, BH, AI)

Δ³ - (AEB, AED, DEH, DGH, BGH, AB G, ACD, CDF, DFG, FIG, AIC, AIG, BCF, BEF, BGH, CHI, EIF, EIH)

Симплициальный комплекс

Геометрическая реализация

Рис. 29

Ж.-П. Ш.: Мозг не функционирует таким образом. Не считает.

А. К.: А электрическая система считает. Представь систему, в которой вершины обладают равными и положительными электрическими зарядами. Каждое ребро заряжено отрицательно. Каждый треугольник добавляет к общей сумме один положительный заряд. Если в момент включения системы определить ее общий заряд, то мы получим топологический инвариант.

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ

145

Рис. 30. Петля АС В представляет собой нетривиальный элемент фундаментальной группы симплициального комплекса, изображенного на рис. 29. Петля AED есть тривиальный элемент, поскольку она, как показано на рисунке (шаги 1, 2 и 3), поддается деформации.

Ж.-П.Ш.: Думаю, нужно все это реализовать.

А. К.: Естественно. И это вполне возможно. К тому же, ничто не мешает этому явлению оказаться не только электрическим, но и химическим.

Ж.-П.Ш.: Разумеется. Электрическое явление показалось мне привлекательнее, поскольку его легче измерить. Измерять выделение химических медиаторов гораздо сложнее, но это также можно реализовать — по крайней мере, опосредованно. Однако нам еще не скоро удастся сделать это. В случае центральной нервной системы сложность состоит еще и в установлении соответствия между малыми совокупностями нейронов и более глобальной, равно как и более неуловимой, размерностью. Впрочем, это возможно — например, в случае с распознаванием лица на уровне височной коры.

А. К.: Можно было бы предположить, например, что распознавание форм, не превышающих топологию размерности 2, производится системой, состоящей лишь из точек (нейронов), ребер и треугольников. Иначе говоря, системой, в которой нет необходимости возбуждать коррелированно совокупности, состоящие более чем из трех нейронов. Впрочем, все это, очевидно, является чистой спекуляцией.

Ж.-П.Ш.: Вовсе нет. Это простое предсказание, которое можно представить на рассмотрение физиологам! Измерение корреляции активности среди нейронов выполняется уже во многих лабораториях [44]. Мы обсудили вопрос об инвариантах и репрезентациях. Перейдем теперь ко второму вопросу: организации долго-

146 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

временной памяти, часто представляемой в виде деревьев... Если учесть твое, основанное на этой новой топологии, понимание феномена репрезентации, то что ты можешь сказать о доступе к долговременной памяти и об ее организации? И каким образом человек оказывается способен рассуждать по аналогии? Учитывая опять же, что рассуждение по аналогии можно очень просто свести к установлению соответствий между двумя разными деревьями.