§4. Максвелл үлестiруiндегi газ молекулаларының сипаттамалы жылдамдықтары

§4. Максвелл үлестiруiндегi газ молекулаларының сипаттамалы жылдамдықтары

Максвелл үлестiруiнiң графигiнен (сурет 2.) dn() молекулалар санының  жылдамдықтың шамасына тəуелдi екендiгiн көрдiк. Мысалы бiрдей жылдамдықтар интервалында жылдамдығы нольге жуық молекулалар аз болады да, керiсiнше, жылдамдықтары үлкен молекулалар өте көп болады. Максвелл сызығының максимум мəнiне сəйкес келетiн жылдамдықтың мəнiн ең ықтимал жылдамдық деп атаймыз. Бұл мəндi анықтау үшiн ƒ() функциясын туындылап, нольге теңестiремiз.

d


df () _ ^ <sub>4


</sub> 3 <sub> 2

 e</sub> ^{2 }

3


_{ e} ²
 8

_ 3 <sub> 3

e</sub> ² _{ 0}

^  8






d d ^  ^ 

бұл теңдеудiң үш түбiрi болады:

3
  ¹

₁  0, ₂  ,
Графиктен жылдамдықтың максимум мəннiң ₃-ке сəйкес келетiнiн көремiз, яғни осы мəн

ықтимал мəн болғаны

₃  _ы  ,

1
 

ал  

_ 1

m

2kT

болғандықтан

ы

(24)

Кейде Максвелл үлестiруiне жазуға болады.

_{С } 

_ы

айнымалысын енгiзiп үлестіруді келтiрiлген түрде де

dn(c) 

^4N c²  e^c2 dc
(25)

Ең ықтимал жылдамдықтан басқа молекулалардың орта жəне орташа квадраттық жылдамдықтары да тағайындалады. Максвелл үлестiруiнiң орта жылдамдығын табу үшiн орта мəннiң өрнегiн пайдаланамыз

2
 _{4 1}  ^

    f () 

0

  e^ы  ³ d


3 ₀

ы
(26)

немесе


e

e
  
_ m ²

_e 

 _e



f ( ²)d 

  _e e



2kT _de

бiрiншi өрнекте -ны ²-қа ауыстырып интегралдасақ:

жəне

  ⁴   ²




_d ы ы
(27)

_e  0

(28)

ал орташа квадраттық жылдамдық
^{ }  ^m ³

_ m ²

3kT

^{ 2  4 } 

 ^{ 4 e}

2kT _{d }

 ² 

⁰ _ 2kT _


  ² e

_ m ²

2kt _d

m

_ kT

(29)

e _ e e _m

(30)

^{n 0} m ² mn ₂

 ²

E_кин  ^i ^0  

^{i 1} 2 2 2

(31)

(24)- шi теңдеудi пайдаланып (17) - шi қысым өрнегiн мынадай түрде жазуға болады

_{P } mn₀

2 

 mn  ²

mn  ²


0 z
_0 _

3

2 _ g ²

3 2
^{ }кин


2
3

(32)

Яғни идеал газдың қысымы кинетикалық энергияның тығыздығына тура пропорционал.

Жеке молекуланың орташа кинетикалық энергиясы мəнiн қойсақ

^Еорт ^


m ²

2

 ^m  ²

2
мұнда

 ² 

3kT m

^Еорт

 ³ kT

2
(33)

Демек молекуланың iлгерлемелi қозғалысының орташа кинетикалық энергиясы газдың табиғатына тəуелсiз, газдың абсолют температурасына пропорционал болады. Яғни, абсолют температураны молекуланың кинетикалық энергиясының өлшемi ретiнде қарастыруға болады.

§5. Идеал газ моделi мен нақты газ арасындағы сəйкестiлікті бағалау

Идеал газ күйiн сипаттайтын (32) -шi теңдеудi Клапейрон-Менделеев теңдеуiмен салыстыру нəтижесiнде орташа кинетикалық энергияның өлшеу бiрлiгi болып табылатын абсолют температура ұғымын енгiзу мүмкiн болды:

2
m _ 3 _kT

2 2
(34)

Абсолют температура ұғымын енгiзгеннен кейiн V көлемдегi N бөлшектен тұратын идеал газдың Клапейрон-Менделеев теңдеуi былай жазылады:

PV  kNT

(35)

Сонымен Клапейрон-Менделеевтiң күй теңдеуi жəне оның салдары Бойль-Мариотт, Шарль жəне Гей-Люссак заңдарымен сипатталатын нақты газды идеал газ ретiнде қарастыруға болады.

Нақты газдарды зерттеу нəтижесiнде нақты газ неғұрлым сирек болса оның идеал газға ұқсас болатындығы байқалады. Белгiлi бiр қысым мен температурада кез келген нақты газды идеал газ түрiнде қарастыруға болады. Ол үшiн нақты газ сиретiлген, яғни үш молекуланың өзара бiр мезетте соқтығысу ықтималдығы өте аз болуы қажет. Əрине нақты жəне идеал газ молекулаларының арасындағы алшақтықта аз емес. Нақты газ молекулаларының соқтығысулары əр уақытта да абсолют серпiмдi бола бермейдi, молекулалар тiкелей соқтығысудан басқа




 _V² 
(36)

мұнда в₀ – тұрақтысы арқылы тебiлу күштерi ескерiледi жəне ол төрт еселенген молекула көлемiне тең, а₀ коэффициентi молекулалардың өзара тартылысын сипаттайды.

Ван-дер-Ваальс теңдеуi жүйедегi молекулалардың əсерлесуiн тек бiрiншi дəрежеде ғана жуықтап сипаттайды. Бұл теңдеу тарихи тұрғыдан ең алғаш рет бу-сұйық фазалық өтудiң үзiлiссiз екендiгiн жəне дағдарыс нүктесiнiң болуын түсiндiре алды. Бiрақ көптеген зерттеулер еш бiр нақты газ немесе сұйықтың Ван-дер Ваальс теңдеуiмен дұрыс сипатталмайтындығын көрсеттi.

Нақты газдарды талдау барысында нақты газ молекулаларының жылдамдық бойынша үлестiруiн де бiлу қажет болады. Бұл молекулалардың жылдамдығы Максвелл үлестiруiне сəйкес келе ме деген сұрақ туады.

Бұл сұраққа жауап iздеуде, яғни жалпы газдардағы молекулалардың жылдамдық бойынша үлестiруiн анықтау үшiн Штерн, Комптон, тағы басқалары өте көп тəжiрибелер жасады.

Тəжiрибелерде бiр жағынан газды сипаттайтын негiзгi параметрлердi анықтауға мүмкiндiк

^{болды, екiншi жағынан жылдамдықтың } x ^{, } y ^{, } z

құраушы-ларының өзара тəуелсiз екендiгi жəне

тепе-теңдiк қалыптағы газ молекулаларының изотропты қозғалыста болатындығы тексерiлдi.

Нақты газдардағы молекулалардың Максвелл үлестiруiне бағынатындығын тəжiрибеде тексеру өте қиынға соқты, сондықтан əр түрлi металл (висмут, кадмий, цезий т.б) буларының вакуумдағы қозғалысы зерттелдi.

Метал буларымен тəжiрибелер жылдамдықтары υ мен υ+dυ аралығында жататын молекулалар саны Максвелл үлестiруiмен сипатталатындығын көрсетедi.

Сонымен нақты газдардың молекулаларының жылдамдық бойынша үлестiруi Максвелл заңына бағынатындығы тəжiрибелiк негiзде дəлелдендi.