РАЗДЕЛ 3. Формальные модели социальных процессов

После того как исследователь понял механизм функционирова­ния системы, его главной задачей становится формализация описа­ния этого механизма, например с помощью разностных уравнений (см. § 9.2). Дальнейшее изучение поведения системы становится совершенно элементарным, если воспользоваться возможностями современных компьютерных технологий.

Рассматриваемая в этом разделе методология иконологичес-кого моделирования базируется на исследовании компьютерных моделей сложных систем и современных методах визуализации информации. В предлагаемой методологии роль формальных ме­тодов анализа социальных процессов кардинально пересмотрена, что обусловлено ориентацией данной методологии в первую оче­редь на социологов — исследователей, преподавателей, студен­тов. Социологи должны самостоятельно формализовывать содер­жательные модели и проводить исследования на компьютерных моделях многофакторных нелинейных систем. Методология ико-нологического моделирования позволяет социологам перейти от "жестких" математических моделей к изучению значительно бо­лее реалистичных "мягких" моделей. Как справедливо отмечает академик В.И. Арнольд, в социальных науках конкретный вид взаимосвязей часто неизвестен, поэтому необходимо исследова­ние поведения систем для целого класса функций [1].

Социолог получает возможность самостоятельно проводить по­строение и изучение модели. Помощь математика и программиста необязательна. От пользователя не требуется владение сложным математическим аппаратом и языками программирования. Методо­логия ориентирована на исследование моделей с помощью вычисли­тельных экспериментов и получение качественных оценок [11].

Ключевую роль в исследовании должно играть доверие соци­олога к получаемым результатам. Обеспечить необходимый уро­вень доверия позволит использование стандартного и распростра­ненного программного обеспечения (в данном случае электрон­ных таблиц Excel). Социолог имеет возможность проверить бук­вально каждый шаг вычислений. Процесс компьютерной имита-

ции находится под полным контролем пользователя. В любом месте процесс вычислений можно прервать, скорректировать мо­дель и продолжить моделирование дальше.

Эксперименты с моделью позволяют выявить неожиданные эффекты, сгенерировать новые гипотезы, обеспечить описание и понимание социальных явлений, недоступное в других языках научных исследований. Так, с помощью компьютерных экспери­ментов удается выявить возможные формы пространственной и временной самоорганизации, условия возникновения социальных структур, проанализировать эволюцию систем правил.

Рассмотрим возможности иконологического моделирования на примере исследования логистического уравнения

Перенесем y_{t x} в правую часть уравнения. Получим

(12.2)

Из уравнения (12.2) видно, что состояние системы г/₍ в мо­мент t является функцией от состояния системы в предыдущий момент времени y_{t г} Уравнение (12.2) является рекуррентной формой разностного уравнения.

Для того чтобы исследовать поведение системы, механизм функционирования которой может быть представлен в виде раз­ностного уравнения, необходимо задать y_l — начальное состояние системы в момент t = 1. Константы а и M также должны быть за­даны. Тогда у₂ — состояние системы в момент t = 2 легко вычис­ляется по формуле (12.2). Аналогично, зная у₂, определяем у₃ и т.д. Если нам требуется исследовать поведение системы на вре­менном интервале от t = 1 до t = 20, то к формуле (12.2) следует обратиться 19 раз, вычисляя последовательно значения у₂ , ..., У₂₀ (напомним, что начальное состояние у₁ должно быть задано).

Покажем, как с помощью электронный таблицы Excel весь процесс исследования системы может быть выполнен одним щел­чком мышки. Запустим Excel. B раскрывшемся окне появляется таблица. Введем в ячейку Al значение у₁ = 5, в ячейку Bl — значение коэффициента а = 0,0005 и в ячейку Cl значение M = = 1000 (табл. 12.1)*.

* Следует иметь в виду, что конкретные установки и версии Excel могут несколько различаться переводом отдельных команд, использованием точек вместо запятых и т.д.

Таблица 12.1. Фрагмент окна Excel

	А	В	С	D	E
1	5	0,0005	1000
2
3
...

Введем формулу (12.2) в ячейку А2 в следующем виде:

= А1 + В$1*А1*(С$1-А1) (12.3)

В Excel формула должна начинаться со знака "=", т.е. вводит­ся только правая часть уравнения (12.2). Вместо символов у ^, a, M в данном случае указаны адреса ячеек, в которых хранятся соот­ветствующие значения*. Напомним, что для завершения ввода формулы необходимо нажать клавишу "Ввод" (Enter), после чего в ячейке А2 появится результат вычислений по данной формуле — 7,4875, сама же формула также осталась в ячейке, ее видно в строке формул, расположенной над таблицей.

Теперь приступим к размножению формулы. Для этого надо подвести курсор к правому нижнему углу ячейки А2 так, чтобы он превратился в черный крестик и, нажав левую кнопку мыши, протащить ее до ячейки А20. Столбец А заполнится числами. Под­ведя курсор к любой ячейке, например A3, убеждаемся, что выра­жение в строке формул полностью соответствует уравнению (12.2) для случая t = 3. То же самое автоматически произошло во всех ячейках с А4 по А20. Заметим, что меняются только адреса ячеек столбца А, адреса ячеек Bl и Cl остаются неизменными. Это происходит потому, что мы знаком $ зафиксировали адреса этих ячеек (для фиксации адреса при горизонтальном размножении знак $ следует ставить перед буквой, например $В1, возможна и абсолютная фиксация — $В $1).

Изучение рядов чисел лучше проводить с помощью графики. Выделим ячейки с Al по А20. Вызовем "Мастер диаграмм". Вы­берем тип диаграмм "График", и Excel построит логистическую S-образную кривую.

На этом все подготовительные операции заканчиваются. При приобретении необходимых навыков вся процедура занимает не более минуты.

* Знак $ фиксирует адрес ячейки. Зачем это нужно, станет ясно из даль­нейшего изложения.

После ввода в компьютер исходной информации и построе­ния графика начинается самый интересный и наиболее важный этап исследования. В случае изменения начальных значений в ячейке Al либо значений коэффициентов в ячейках Bl или Cl на экране в ту же секунду появляется новый вариант графика. Теперь можно понять, интуитивно ощутить, каким образом из­менения параметров модели влияют на динамику процесса.

Поэкспериментируйте с моделью при разных исходных дан­ных и убедитесь, что так же, как исходные данные, можно легко изменить и саму модель, записав новую формулу в ячейку А2. Теперь решение сколь угодно сложного уравнения не будет для вас проблемой.

Для того чтобы изучить влияние на поведение системы из­менений параметров, воспользуемся возможностями интерак­тивной графики. После щелчка мышью по графику параметра M на нем появится черная точка — маркер. Если к маркеру подвести курсор, то он примет форму вертикальной стрелки. Теперь можно нажать левую кнопку мыши и вытянуть график вверх или вниз. Автоматически изменится значение M в стол­бце С и будут пересчитаны формулы в столбце А. Затем изме­нения в столбце А будут отражены на соответствующем графи­ке. Аналогично непосредственно на диаграмме можно варьиро­вать начальное значение у^,

Весь процесс занимает доли секунды и позволяет исследовате­лю оценить устойчивость модели, влияние возможных внешних воздействий, проанализировать различные сценарии развития рас­сматриваемых процессов.

Предлагаемая методика иконологического моделирования по­зволяет социологам перейти от "жестких" математических моде­лей к изучению значительно более реалистичных "мягких" моде­лей. Действительно, вместо линейных функций а и M пользова­тель может нарисовать любые функции, просто перемещая точки на соответствующем графике (знание их аналитического вида не требуется).

225

Ниже будет показано, что при данном подходе не составляет труда учесть эффект запаздывания, влияние случайных факто­ров. Никаких затруднений не вызывает и исследование систем, описываемых не одним, а несколькими уравнениями. Но наи­большее удовольствие вы получите, когда научитесь управлять системой. Если поведение системы начиная с некоторого момен­та времени t не будет вас удовлетворять, следует просто стереть неустраивающие вас числа. Продумав необходимые изменения, скорректируем механизм поведения системы и продолжим рас­четы с этого места (строки t).

Как учесть в модели эффект запаздывания. Для того чтобы убедиться в том, что учет запаздывания (или временного лага) совершенно элементарен, рассмотрим знаменитую задачу о кро­ликах, предложенную еще в XIII веке итальянским ученым Фи­боначчи. "Некто поместил пару кроликов в загоне, огороженном со всех сторон, дабы знать, сколько пар кроликов родится в те­чение года. Природа кроликов такова, что через месяц пара кро­ликов производит на свет другую пару, а потомство дают они со второго месяца после своего рождения".

Обозначим число пар кроликов в месяце t через F₁. Легко убе­диться, что число пар кроликов подчиняется следующему соотно­шению:

Как оценить динамику кролиководства? Воспользуемся пред­лагаемой методикой. Введем в Excel начальные данные .F₁, .F₂ и фор­мулу (12.4).

Как видно из табл. 12.2, в ячейках Al и А2 записаны началь­ные условия задачи. В ячейку A3 введем рекуррентное соотно­шение (12.4). Размножим формулу в ячейке A3 на последующие ячейки столбца А до 20-й строки. Затем построим график роста числа пар кроликов*.

Таким образом, учет временного запаздывания — в данном слу­чае появление в уравнении (12.4) члена F_t_₂, зависящего от состоя­ния системы в предыдущий момент, — требует отвести для

* Заметим, что полученный график похож на экспоненту. Действитель­но, найдем отношение F_n /F_{n t} и увидим, что довольно быстро это отно­шение становится постоянным, т.е. мы имеем геометрическую прогрес­сию со знаменателем q = 1,62 — это знаменитое золотое сечение!

226

Введение в модель случайных факторов. С помощью Excel легко моделировать поведение моделей, коэффициенты которых являются случайными величинами. Проще всего это сделать, вы­звав в меню "Сервис" — пакет "Анализ данных". (Если в меню такой строки нет, пакет следует загрузить, выбрав в меню "Сер­вис" — Надстройки.) В открывшемся диалоге выберем альтерна­тиву "Генерация случайных чисел". В открывшейся вкладке есть поле "Число переменных". Если нужен только один набор случай­ных чисел, то зададим в этом поле значение 1.

В поле "Число случайных чисел" введем количество времен­ных интервалов вашей модели, например 20. В поле "Распределе­ние" выберем из предлагаемого списка необходимый тип распре­деления — равномерное, нормальное, Пуассона и т.д. После этого появится вкладка, которая потребует задать необходимые пара­метры распределения. Теперь останется только указать границы столбца ячеек, куда будут выведены случайные числа, например $В $1 : $В $20. Получив случайные данные, можно приступать к дальнейшим экспериментам с моделью.

Освоение данного подхода дает в руки социолога эффективный инструмент исследования поведения систем. Парадоксально, но его эффективность увеличивается с ростом сложности системы! Традиционно считалось, что изучение поведения даже простых систем невозможно без овладения весьма сложным математичес­ким аппаратом и приобретения необходимых навыков, что отпу­гивало гуманитарно ориентированных ученых. Данный подход ло­мает стену между построением модели и ее изучением. Сказанное, конечно, не означает, что математика совсем не нужна. Она ста­нет необходимой, когда потребуется сделать выводы более убе­дительными, доказательными, обобщить их на широкий класс однотипных систем.

В последующем изложении иконологическое моделирование, делающее акцент на визуализации решений и экспериментиро­вании с моделью, будет соседствовать с традиционными подхо-

227

Предложенная методология может быть использована не только в научных исследованиях, но и в преподавании различ­ных дисциплин на социологических факультетах. Учебное ком­пьютерное моделирование дает возможность существенно углу­бить понимание таких сложных социальных процессов, как эво­люция, кооперация, самоорганизация, конкуренция, обучение, подражание и т.д. Использование визуализации, игровых форм, безусловно, обогатит традиционные формы изложения матери­ала. Отметим, что при данном подходе снимается проблема мо­тивации студентов — многие модели можно считать просто уп­ражнениями по освоению современных электронных таблиц, а каждый студент становится создателем своего собственного зна­ния.

Применение специализированных пакетов на данном этапе нецелесообразно, так как у пользователя снижается уровень до­верия к результатам, получаемым из "черного ящика". К тому же специализированные пакеты не всегда могут обеспечить уро­вень гибкости, необходимый для исследования "мягких" моде­лей. Конечно, социолог может нуждаться в наборе дополнитель­ных программных средств для решения конкретных задач, но они должна быть оформлены в виде системы общедоступных программных модулей (СПМ), состоящей из совокупности дос­таточно простых макросов.

Иконологическое моделирование не предполагает традицион­ных методов освоения математических знаний. Математические понятия и утверждения используются только как генеративные метафоры, позволяющие по новому увидеть изучаемые явления, сформулировать нетривиальные гипотезы о поведении рассмат­риваемых процессов.

Предложенный инструментарий должен постепенно стать органической частью социологического знания. Это создаст необ­ходимые условия для синтеза социологии, информатики и мате­матики, выводящего социальные науки на качественно новый уровень.

12.2. Приложения теории разностных уравнений к моделям мобилизации

В теории разностных уравнений предполагается, что пере­менные исследуемого процесса определены в дискретные мо­менты J₁, t₂, ..., t_n. Интервал времени At = t_i+l - t_t, как правило, предполагается постоянным для любого i (i = 1,..., п,...). Целе­сообразность такого рассмотрения определяется исходными дан­ными о социальном процессе, которые часто измеряются в дис­кретные моменты времени (официальная статистика, периодические опросы, переписи и т.д.). Интервал времени мо­жет равняться пятилетке, году, кварталу, месяцу, неделе и т.д. Если интервал становится бесконечно малым (Д£ —> О), то про­цесс рассматривается как непрерывный и изучается с помощью теории дифференциальных уравнений.

Обозначим через М_{ долю мобилизованного населения в момент t, тогда доля немобилизованного населения равна 1 - M₁. Пусть ДМ₍ обозначает изменение уровня мобилизации за единицу вре­мени (год, месяц и т.д.):

AM, = M_t+1 - M,

За время от t до t + 1 уровень мобилизации может измениться по двум причинам: 1) удалось дополнительно сагитировать часть населения g (1 - M ), где g — коэффициент агитируемости, кон­станта, не зависящая от времени; 2) часть населения, выбывающая из числа членов, участников, сторонников, равна fM_t, где / — по­стоянный коэффициент выбытия (g > О, / > О). Параметры g и / выражают пропорции, в которых соответствующие части населе­ния меняют свое поведения на рассматриваемом отрезке времени.

Тогда уравнение процесса мобилизации можно записать сле­дующим образом:

M_m-M_t-e(l-M,)-/M_t. (12.5)

Уравнение (12.5) может быть преобразовано следующим об­разом:

который является стандартной формой линейного разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

Решением уравнения (12.7) называется такая функция M(t), что последовательность М₍ удовлетворяет этому уравнению для заданной области значений t.

Уравнение (12.7) является простейшим и легко может быть решено алгебраическими методами. В общем случае решение дан­ного уравнения имеет вид

(12.8)

Таким образом, решение уравнения (12.7) однозначно опреде­ляется начальным значением M₀.

Равновесие и устойчивость. Одно из присущих человеку ка­честв — стремление к стабильности — формализуется в теории динамических систем с помощью понятия равновесия.

Равновесие — состояние системы, в котором интересующие исследователя параметры остаются неизменными: M₁₊₁ = M₁, при­чем это не означает, что жизнь в системе вообще замирает. В рамках модели мобилизации предположение о постоянстве M₁ не свидетельствует об отсутствия изменений среди сторонников данной партии (часть уезжает, умирает, других партии удается привлечь на свою сторону), но общее соотношение остается при­мерно постоянным.

Для определения точки равновесия системы M* подставим условие M_t+1 = M_t в уравнение (12.5), в результате чего получим

Следовательно,

Легко показать, что для уравнения (12.7) состояние равнове­сия вычисляется следующим образом:

Из соотношения (12.8) можно установить, что существуют толь­ко варианты поведения решения, изображенные на рис. 12.1 [23]. Вариант I описывает монотонную сходимость к состоянию рав­новесия (при O₁ > 0 и | C₁1 < I); вариант II — осциллирующую сходимость к состоянию равновесия (при O₁ < О и | C₁ | < 1); вариант III — монотонную расходимость (при C₁ > О и | C₁1 > 1); вариант IV — осциллирующую расходимость (при C₁ < О и | O₁1 > 1).

Рис. 12.1. Качественное поведение решений уравнения (12.7)

По определению, варианты I и II характеризуют устойчивую систему — все решения сходятся к положению равновесия неза-

висимо от значений M₀ и а₀, а варианты III и IV — неустойчивую систему.

Оценка параметров динамической модели. Модель мобилиза­ции использовалась для изучения динамики числа голосов, подан­ных за демократическую партию США в Лэйк Кантри (штат Ин­диана) в период 1920-1968 гг. [23].

Для оценки численных значений коэффициентов а₀, а_г моде- » ли применялся метод наименьших квадратов. Разностное урав- I нение (12.7) рассматривалось как линейное регрессионное урав- 1 нение у = т₀ + m_l х, где у = М₍₊₁ — доля избирателей в Лэйк Кантри, голосующих за кандидатов от демократической партии в год t + 1 = 1924, 1928,..., 1968; х = M_t — доля голосующих за демократов в год t = 1920, 1924,..., 1964.

С помощью метода наименьших квадратов в [23] получены следующие значения коэффициентов: т₀ — 0,14; Tn₁ = 0,62. По формуле (12.10) вычисляем состояние равновесия:

На рис. 12.2,а изображен график наблюдаемых значений M₁, а на рис. 12.2,6 — график решения разностного уравнения (12.7)

при M₀ = M₁₉₂₀.

Рис. 12.2. Динамика голосующих за демократов на президентских выборах в Лэйк Кантри (1920-1968)

Сравнение графиков на рис. 12.2, а и б показывает, что раз­ностное уравнение достаточно хорошо описывает качественные характеристики процесса мобилизации. Ясно, что данная мо­дель является чрезвычайно упрощенной, реалистические моде­ли требуют учета большого числа факторов и нелинейных соот­ношений, однако для понимания поведения систем иногда достаточно изучить простые варианты модели.

12.3. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения содержат не только функции, но и их производные. Запишем разностные уравнения, рассмот­ренные в предыдущем параграфе, в следующем виде:

Здесь At = 1. Уравнение (12.11) связывает состояние дина­мической системы в двух точках: t и (t + At). Перейдя в левой части этого уравнения к пределу при At —» О, получим

Уравнение (12.12) является дифференциальным, разрешен­ным относительно производной.

Будем рассматривать только функции времени M(t), хотя в общем случае это не обязательно. Отметим, что дифференциаль­ное уравнение в отличие от разностного описывает динамику по­ведения системы в каждой точке t. Уравнение (12Л2) функцио­нально связывает скорости изменения (производные по t) величин, характеризующих поведение системы, с самими величинами M(t).

Решением дифференциального уравнения называется функ­ция, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество. Графики решения дифференциального уравнения на­зываются интегральными линиями этого уравнения. Рассмотрим несколько примеров.

Занимаясь вопросами наукометрии, В.В.Налимов сформули­ровал две модели развития науки [8]. В простейшей модели пред­полагается, что скорость роста числа публикаций пропорциональ­на их достигнутому числу:

dy/dt = ky, (12.13)

где у — число публикаций; k — константа. Решениями уравне­ния являются функции типа е', т.е. с увеличением времени t число публикаций растет экспоненциально.

Так как при t -» °° функция y(t) = е' принимает бесконечно боль­шие значения, модель (12.13) справедлива только на ограничен­ном временном интервале. Ясно, что при некотором t — t* меха­низм роста числа публикаций должен измениться. Для любого научного направления наступает этап насыщения (торможения).

Рассмотрим уравнение

где k и Ъ — константы. Когда у увеличивается и становится сравнимым по величине с Ь, то (Ь-у) —> О и, следовательно, dy/ dt —» О, т.е. рост у прекращается.

Отметим, что данное логистическое уравнение является нели­нейным, так как его правая часть содержит у².

В приведенных примерах динамическая модель описывается одним дифференциальным уравнением. Значительно более реали­стические модели можно получить, рассматривая совокупность уравнений.

В данном учебном пособии рассматриваются системы диффе­ренциальных уравнений, содержащие столько уравнений, сколь­ко в них входит неизвестных функций, при этом все они являются функцией одной независимой переменной t.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следую­щего вида:

Отметим, что в правых частях уравнений переменная t в явном виде не содержится. Такие системы называются автономными динамическими системами второго порядка. Основная геомет­рическая интерпретация системы (12.15) связана с рассмотрени­ем плоскости (х, у), называемой фазовой плоскостью, и сущест­венно отличается от геометрической интерпретации, описанной выше. Ее можно назвать кинематической, так как в этой интер­претации каждому решению ставится в соответствие движение точки по кривой, а не кривая в пространстве.

Системы типа (12.15) используются для описания эволюци­онных процессов. Точка фазового пространства определяет со­стояние системы. Приложенный к этой точке вектор с коорди­натами dx/dt, dy/dt задает скорость изменения состояния. Точка, где этот вектор обращается в нуль, т.е. dx/dt=dy/dt=Q, называ­ется положением равновесия, или особой точкой системы.

Решения системы (12.15) будем изображать параметрически­ми кривыми на фазовой плоскости (х, у): х = ф(0, У = V(£). Со­поставим геометрическую интерпретацию системы (12.15) в про­странстве (x,y,t) с интерпретацией на фазовой плоскости.

1. В каждую траекторию фазовой плоскости проектируется совокупность интегральных кривых в пространстве (х, у, t). Эти кривые получаются друг из друга заменой t на t—C, где С — произвольная константа (рис. 12.4, а).

2. Если точка (а, Ъ) является состоянием равновесия системы (12.15) Р(а, Ь) = О; Q(a, b) = О, то интегральная кривая будет пря­мой, параллельной оси t. Эта прямая проектируется на плос­кость (х, у) в единственную точку (а, Ь).

3. Если система имеет периодическое решение с периодом а, то в пространстве (х, у, t) соответствующая интегральная кривая

Рис. 12.4. Поведение решений в пространстве (х, у, t) и на фазовой плос­кости

представляет собой спираль с шагом а. Эта спираль проектиру­ется на фазовую плоскость в замкнутую кривую (рис. 12.4, б).

При проекции спирали на плоскость (х, t) или (у, t) получим синусоидальную кривую, которая показывает изменение пере­менной x(t) или y(t).

Системы дифференциальных уравнений часто используются для описания работы технических устройств (механических, элек­трических и т.д.). Так как система дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений (конкретное решение оп­ределяется начальными условиями), то и технические устройства (машины, механизмы) могут иметь бесконечное множество режи­мов. На практике эти устройства работают во вполне определен­ных режимах, что может объясняться выбором конкретных началь­ных условий и тем, что устройство само стабилизует свою работу.

Рассмотрим хрестоматийный пример стенных часов с маят­ником. Если маятник отклонить от вертикального положения достаточно сильно, то часы будут идти с определенной амплиту­дой колебаний очень долго. Если маятник отклонить недоста­точно сильно, то после небольшого числа колебаний он остано­вится. Таким образом, у данной динамической системы существуют два стационарных решения: периодическое решение, соответствующее нормальному ходу часов, и состояние равнове­сия — скорость маятника равна нулю. Всякое другое из беско­нечного множества решений быстро приближается к одному из двух стационарных решений, каждое из которых является ус­тойчивым в том смысле, что решение, не слишком сильно откло-

В окрестности особых точек фазовые траектории могут быть шести типов, схематично показанных на рис. 12.5 (стрелки на фа­зовой траектории указывают направление изменения параметра t).

На рис. 12.5 особая точка условно помещена в начало коор­динат. Траектории, которым принадлежит особая точка на рис. 12.5,д, называются сепаратрисами.

Рис. 12.5. Фазовые траектории в окрестности особой точки: а — устойчивый узел; б — неустойчивый узел; в — устойчивый фокус; г — неустойчивый фокус; д — "седло"

Классификация типов поведения фазовых кривых в окрестно­сти особой точки была осуществлена великим французским мате­матиком и философом Анри Пуанкаре (1854-1912), который ввел также понятие предельного цикла, играющее важнейшую роль в различных приложениях теории дифференциальных уравнений.

Предельным циклом дифференциального уравнения называ­ется изолированное периодическое решение этого уравнения (рис. 12.6). Для качественного исследования поведения дина­мической системы достаточно определить состояния равновесия, наличие предельных циклов, ход сепаратрис. С точки зрения

Вместо решения дифференциального уравнения можно иссле­довать его аналог — разностное уравнение. Последнее можно счи­тать приближенной моделью дифференциального уравнения. Сле­дует иметь в виду, что решения разностного уравнения часто ведут себя менее гладко, чем решения дифференциального урав­нения. В разностной модели учитывается поведение системы толь­ко на концах дискретных временных интервалов, тогда как диф­ференциальное уравнение описывает непрерывное течение процесса при каждом t.

При моделировании социальных процессов считается, что раз­ностные уравнения более точно описывают процессы, связанные с электоральным циклом [23]. Действительно, возвращаясь к моде­ли мобилизации из § 12.2, заметим, что процесс мобилизации можно считать дискретным, так как его действие проявляется в основном в период выборов.

Как будет показано в следующем параграфе, в простых слу­чаях качественный анализ поведения системы может быть про­делан без использования ЭВМ.

Рассмотрим следующую ситуацию, в которой могут оказаться две враждующие страны. Первая страна ("желтые") вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны с соседней враждебной стра­ной ("зеленые"). В свою очередь "зеленые", зная о росте затрат на вооружение у "желтых", также увеличивают расходы на воо­ружение. Предположим, что каждая страна изменяет скорость роста (сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой. Математически эта ситуация может быть смоделирована

где а и Ъ — положительные константы. Эти уравнения описывают положительную обратную связь.

Модель (12.16) имеет очевидный недостаток: рост затрат на воо­ружение ничем не лимитируется. Естественно предположить, что чем больше текущий уровень затрат на оборону, тем меньше ско­рость его роста (отрицательная обратная связь). Получаем сле­дующую систему уравнений:

где а, Ъ,т,п — положительные константы.

Рассмотрим третий постулат, включенный Л. Ричардсоном в модель: государство наращивает вооружение, руководствуясь своими державными притязаниями и враждебностью к другим государствам, даже если другие страны не угрожают существо­ванию данного государства. Обозначим соответствующие коэф­фициенты претензии через г и s (г>0 и s>0). Если г<0 и s<0, то их можно назвать коэффициентами доброй воли. Получаем сле­дующую систему уравнений:

Решением системы (12.18) являются функции x(t) и y(t), определяемые для данных начальных условий X₀, у₀ (начальное состояние гонки вооружений) [13, 24-26].

Элементарный анализ модели. Одним из важнейших свойств, которые "разумно" потребовать от гонки вооружений, является стабильность. Формализуем это требование следующим образом.

Уровень затрат на вооружение должен быть постоянным и не зависеть от времени:

dx/dt=dy/dt = О, (12.19)

т.е. желательно, чтобы система находилась в состоянии равнове­сия.

Условия равновесия для системы (12.18) записываются в сле­дующем виде:

ау-тх+г = О, (12.20)
bx-ny+s = О. (12.21)
Из (12.20) определим

у = (т/а)* - г/а (12.22)

и рассмотрим геометрическую интерпретацию линейного урав­нения (12.22) на фазовой плоскости (х, у) (рис. 12.7).

Для всех точек прямой G имеем dx/dt = О. Можно сказать, что первое уравнение системы (12.18) задает горизонтальную компо­ненту скорости движения точки в фазовой плоскости, а второе уравнение — вертикальную. Ясно, что если в некоторой точке фазовой плоскости dx/dt > О, то x(t) возрастает и решение систе­мы движется от этой точки вправо, а если dx/dt < О, то влево. Аналогично, если dy/dt > 0 (< O), то точка движется вверх (вниз).

Рассмотрим поведение модели Ричардсона при t —» °°. Воз­можны три случая:

1. Бесконечная гонка вооружений: д: —» °° и у —»°°.

2. Взаимное разоружение: х —»О, у —»О.

3. Равновесие вооружений: х -» х*, у —»у*, где у*, х* > О. Точка равновесия (х*, у*) находится на пересечении прямых G [уравне­ние (12.2O)] и Z [уравнение (12.21)] (см. рис. 12.8).

Легко показать, что если г > О и s > О, то точка пересечения G и Z лежит в первом (см. рис. 12.8) или третьем (рис. 12.9) квад­ранте.

Стрелки на рис. 12.8-12.10 показывают горизонтальную и вер­тикальную составляющие движения точки, находящейся в той или иной области фазовой плоскости. В варианте, показаном на рис. 12.8, из любой начальной точки решение со временем прихо­дит в точку равновесия, достигается "баланс сил", причем незави­симо от начального уровня вооружений. Из рис. 12.9 видно, что если начальная точка попала в область II, то х -> °° и у -» со.

Рис. 12.9. Точка равновесия в третьем квадранте

Рис. 12.10. Поведение сис­темы при г < О или (и) s < О

Рассмотрим ситуацию, когда по меньшей мере один из коэффици­ентов г, s < О (рис. 12.10).

Если начальный уровень затрат, т.е. точка (X₀, у₀), находится в области I, то гонка вооружений будет бесконечной (х —> °°, у —»°°). Если начальная точка находится в области III, то решение систе­мы (12.18) также "уходит" от равновесия (х*, у*), но зато стремит­ся к точке (О, О) (взаимное разоружение).

Таким образом, наличие у одного или обоих государств "доброй воли" (г, s < О) не гарантирует удовлетворительного исхода гонки вооружений. Все зависит от начального состояния системы.

Очевидно, что поведение модели Ричардсона зависит от соот­ношения коэффициентов а, Ъ, т, п и знаков г, s. Читателю пред­лагается самостоятельно убедиться, что имеют место четыре воз­можных случая:

1. Если тп - ab > О, г > О, s > О, то существует точка равновесия.

2. Если тп - аЪ < О, г > О, s > О, то логика модели ведет к неограниченной эскалации гонки вооружений.

3. Если тп - аЪ > О, г < О, s < О, то гарантируется полное взаимное разоружение.

4. Если тп - ab < О, г < О, s < О, то пессимистичность или оптимистичность прогноза существенно зависит от начального состояния.

Для проверки своей достаточно упрощенной модели Ричард­сон собрал данные о гонке вооружений перед первой мировой вой­ной (1909-1913 гг.). Изучая противоборство двух блоков (х — Франция и Россия, у — Германия и Австро-Венгрия, расходы Анг­лии, Италии и Турции не учитывались), Ричардсон составил таб­лицу военных бюджетов для четырех стран (все затраты даны в миллионах фунтов стерлингов) (табл. 12.3).

Таблица 12.3. Расходы на вооружение

Страна	1909	1910		1911		1912		1913
Франция Россия Германия Австро-Венгрия	48,6 66,7 63,1 20,8	50,9 68,5 62,0 23,4		57 70 62 23	,1 ,7 ,0 ,4	63 81 68 25	,2 ,8 ,2 ,5	74,7 92,7 95,4 26,9
Сумма	199,2	204,8		214	,9	238	,7	289,0
Рост	5,6		10,1		23,8		50,3
Среднее за 2 года	202,0		209,8		226,8		263,8

Чтобы сравнить модель с реальными данными, Ричардсон предположил, что а = Ъ и т = п. Тогда уравнения (12.18) можно записать следующим образом:

dx/dt = ау-тх+г,

dy/dt = ax-my+s. Сложив эти два уравнения, получаем

d(x+y)/dt = (а— т)(х+у) + (r+s). Положим х+у — г, а-т = k, r+s = f, тогда

dz/dt = kz+f. (12.23)
Общее решение этого уравнения записывается следующим об­
разом:

z(t) - (z₀+f/k)e*> - f/k. (12.24)

где z — суммарные затраты на вооружение двух блоков; Z₀ — начальное состояние.

Рассмотрим поведение решения (12.24) в зависимости от соот­ношения коэффициентов. Если а < /п, то k < О, следовательно, первый член правой части соотношения (12.24) стремится к нулю при t -»оо и решение асимптотически стремится к значению (-f/k).

Отмеченные на рис. 12.11 четы­ре точки соответствуют данным из табл. 12.3. Легко видеть, что все они лежат на одной прямой, что вполне соответствует соотношению (12.23), и, следовательно, модель Ричардсо­на достаточно достоверно описыва­ет рассматриваемую ситуацию.

Известный американский мате­матик T. Саати считает, что "при­веденная выше модель представля- ^Рис- 12.11. Скорость роста

затрат на вооружение

Политологи установили, что для анализа большинства серь­езных международных конфликтов за последние 200 лет можно использовать модель Ричардсона. Оказалось, что из 30 конфлик­тов, сопровождавшихся гонкой вооружений, 25 закончились вой­ной. При отсутствии гонки вооружений только три из 70 кон­фликтов привели к войне.

Отметим, что гонка вооружений может закончится вполне мир­но в случае экономического краха одной из враждующих сторон. Аналогичные модели применялись для анализа динамики пред­выборных расходов и прогнозирования поведения участников аук­ционов.

12.5. Модели сотрудничества и борьбы за существование

Модели Лотки-Вольтерра. В данном параграфе будут рассмот­рены простейшие нелинейные системы дифференциальных урав­нений, позволяющие тем не менее создавать достаточно реали­стические модели социальных процессов. Но прежде чем перейти к моделированию социальных взаимодействий, рассмотрим так на­зываемые модели Лотки—Вольтерра, активно применяемые био­логами для изучения взаимодействия популяций [12].

Проанализируем систему двух дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие двух популяций:

где X₁ (t) и X₂ (t) — численность популяций в момент t. I

Линейные члены C₁X₁ и C₂JC₂ в правых частях уравнений coot- I

ветствуют свободному размножению видов. Если коэффициент I

Члены U₁₁ X₁² отражают наличие внутривидовой конкуренции при U₁₁ < О. Если а_п > О, то мы имеем дело с сильной положитель­ной обратной связью, отражающей эффект "группирования",— благоприятное влияние на численность популяции процесса обра­зования сообществ.

Наиболее интересны в этой модели произведения факторов Jt₁ X₂, отражающие процесс взаимодействия двух популяций. Если коэффициенты а_ отрицательны, то виды конкурируют друг с дру­гом. При а^ > О процесс взаимодействия биологи называют сим­биозом (в социальной сфере более уместно говорить о сотрудничес­тве, кооперации). Если а₁₂ > О и а₂₁ < О, то первый вид является хищником, а второй — жертвой (если численность первого вида больше, то это взаимодействие паразита с хозяином).

В литературе рассматривались как более простые системы (часть коэффициентов равна нулю), так и различные обобщения, учитывающие влияние дополнительных факторов. Необходимость обобщений обусловлена таким серьезным недостатком модели Лот-ки-Вольтерра, как неустойчивость решений системы уравнений. Получается, что любое случайное изменение численности одного из видов приводит к изменению траекторий развития, тогда как в природных условиях взаимодействие видов протекает достаточно устойчиво [12].

В моделях Лотки-Вольтерра решения могут носить цик­лический характер, что соответствует процессам, наблюдаемым в природе. Рассмотрим систему двух видов: волки и зайцы. Рост численности волков ведет к сокращению поголовья зайцев. Вы­званный этим дефицит пищи приводит к сокращению численно­сти волков, что в свою очередь способствует развитию популя­ции зайцев.

Модели взаимодействий в социальной сфере. Г.Р.Иваницкий, анализируя искусствоведческую литературу, считает, что в хаосе различных течений и направлений можно выделить закономер­ность — пульсирующий характер развития [7]. Так, для творчес­кого процесса характерен этап зарождения нового направления, который может длиться десятки лет. Иваницкий выделяет два фак­тора, регулирующие длительность этапа зарождения нового на­правления в науке или искусстве: психологический и социаль­ный. Любой ученый или деятель искусства испытывает воздействие своих коллег. Он либо сопротивляется каким-либо

Творческая среда достаточно консервативна. Консерватизм в данном случае является защитным механизмом, призванным сдер­живать необоснованные притязания реформаторов. Сила сопротив­ления пропорциональна величине притязаний реформатора.

В случае успеха в развитии любого направления наступает ста­дия экспоненциального роста количества продукции. На этой ста­дии в данное направление науки или искусства вливается большое число специалистов. По мере насыщения наблюдается уменьше­ние интереса, замедление роста продуктивности, начинается от­ток специалистов. Затем какое-либо революционизирующее открытие вновь пробуждает интерес к хорошо забытому направ­лению, и оно опять начинает развиваться по экспоненте.

Иваницкий считает, что область науки или искусства, состоя­щая из большого числа различных направлений, также характе­ризуется пульсирующим характером развития. В простейшем слу­чае уравнения развития науки или искусства имеют следующий вид:

где N₁₂—число специалистов; dN_l /dt, dN₂/dt — скорости изме­нения числа специалистов соответственно в областях 1 и 2; ft.— коэффициенты, зависящие от начальных условий. Первое урав­нение системы (12.25) означает, что скорость изменения количес­тва продукции пропорциональна произведению W₁ N₂ и обратно пропорциональна численности работников в данной области.

Численные эксперименты показали, что кривые, являющие­ся решением системы (12.25), циклически колеблются около экс­поненциального тренда. Так как поведение решения системы (12.25) соответствует эмпирическим данным, то, как считает Ива­ницкий, данная модель может претендовать в первом приближе­нии на качественное описание реального творческого процесса.

В данной главе в основном рассматривались примеры дина­мических моделей социальных процессов на макроуровне, однако в литературе имеется много примеров использования дифферен­циальных уравнений для моделирования индивидуального пове­дения и групповой деятельности [4,15]. Язык дифференциаль­ных уравнений позволяет точно сформулировать утверждения,

Решая дифференциальные уравнения, можно забыть о содер­жательном смысле переменных и использовать математический аппарат, разрабатываемый в течение нескольких столетий целым рядом выдающихся математиков. Используя их результаты, мож­но исследовать особенности поведения решений, получить качес­твенные оценки.

Следует отметить, что при интерпретации полученных реше­ний необходимо снова вернуться к языку содержательных поня­тий для оценки адекватности и осмысленности полученных мате­матических выводов.

12.6. Системная динамика Форрестера

Ориентированная на компьютерное моделирование методоло­гия системной динамики (разрабатываемая школой Дж. Форресте­ра) представляет собой в настоящее время достаточно мощный ин­струментарий для исследования динамических процессов. Базовым конструктом системной динамики является представ­ление исследуемого процесса в виде диаграммы, состоящей из петель положительной и отрицательной обратной связи, прак­тически совпадающей с рассматриваемыми в § 3.2 когнитивны­ми картами. Можно сказать, что когнитивные карты служат про-томоделями для теории системной динамики, математическим аппаратом которой являются системы дифференциальных урав­нений. Для компьютерного моделирования подобных систем раз­работан специальный язык программирования DYNAMO и це­лый ряд специализированных пакетов.

Под руководством Форрестера в Массачусетском технологичес­ком институте (Кембридж, США) создана национальная модель, ими­тирующая развитие американской экономики. На вход модели не подаются экзогенные временные ряды, ее поведение полностью оп­ределяется взаимодействием эндогенных факторов. В поведении мо­дели можно наблюдать циклы с периодом 3-7 лет, циклы Кузнеца, волны Кондратьева, но особенно важно то, что удается выявить эф­фект нелинейного взаимодействия волн различного периода. Так, неожиданный для бизнесменов и правительства резкий спад 1982 г. и последовавшее затем на удивление быстрое восстановление эконо­мики Форрестер объясняет тем, что деловые циклы резко увеличивают свою амплитуду, когда экономика находится в точке максимума вол­ны Кондратьева или в начале стадии спада. В период подъема волны

Кондратьева амплитуда деловых циклов значительно меньше, что подтверждается данными за 1945-1965 гг.

Практика моделирования показывает, что широкое исполь­зование нелинейности часто обеспечивает устойчивость модели по отношению к вариациям значений параметров. Форрестер ут­верждает, что такая ситуация типична для социальных систем. Если реальная система устойчива, то такой же должна быть мо­дель. Аргументом в пользу нечувствительности реальных систем к конкретным значениям параметров, по мнению Форрестера, является сходство экономических проблем, с которыми сталки­ваются страны с различными культурными, идеологическими особенностями. Форрестер считает, что в нелинейном мире дея­тельность ученого, специализирующегося в области социальных наук, должна быть ближе к профессии инженера или медика, а не теоретика-физика или математика.

По-видимому, наиболее известной моделью системной динами­ки является модель мирового развития (МИР-3), разработанная груп­пой исследователей Массачусетского технологического института под руководством Д.Медоуза [5]. Модель МИР-3 относится к облас­ти глобального моделирования, в которой изучаются долгосрочные тенденции развития таких систем, как мир в целом, государство, крупный регион. В глобальных моделях, как правило, рассматри­вается взаимосвязь экономических, демографических, экологичес­ких, социальных и технологических факторов развития.

Группа Медоуза анализировала возможные пути глобального развития с 1900 по 2100 г. Расчеты в рамках данной модели показа­ли неизбежность кризиса, вызванного истощением невозобновляе­мых ограниченных ресурсов. Кризис ведет к резкому падению промышленного производства, сокращению инвестиций в сель­ское хозяйство. Развитие кризиса ведет к уменьшению производ­ства продуктов питания и ухудшению медицинского обслужива­ния, что в конечном итоге вызывает рост смертности и сокращение численности населения планеты. Вычислительные эксперименты, связанные с изменением основных параметров, показали, что качес­твенная картина решений является довольно устойчивой (меня­лось только время наступления кризиса и удельный вес кризис­ных факторов — нехватка продуктов питания, загрязнение среды).

Разработчики модели МИР-3 считают, что единственной воз­можностью избежать катастрофы является стабилизация числен­ности населения и объема промышленного капитала. Кроме того, необходимо снижение начиная с 1975 г. потребления ресурсов на душу населения в 8 раз и сокращение в 4 раза генерации

загрязнения окружающей среды. При выполнении данных реко­мендаций система выходит на уровень "глобального равновесия".

Анализируя результаты 35-летнего периода применения ме­тодов системной динамики для решения широкого спектра тео­ретических и прикладных задач, Дж.Форрестер подчеркивает, что успех напрямую зависит от правильного понимания роли моделирования социальных процессов.

Системная динамика является парадигмой, т.е. новым спосо­бом изучения социальной реальности. Целью системной динами­ки является усиление, расширение возможностей когнитивных (ментальных) моделей [19, с. 216]. Обычные интуитивные подхо­ды к решению социальных проблем становятся неприемлемыми в условиях растущей сложности социальных систем и внешней сре­ды. Не справляются со сложностью социального мира и матема­тические подходы. Модели, используемые в системной динамике, являются компьютерными моделями, с помощью которых осуще­ствляется имитация поведения сложных систем. Эксперименти­рование с моделью позволяет существенно углубить понимание по­ведения сложных систем и нередко спрогнозировать появление непредвиденных последствий, в том числе катастрофических. Од­нако реальную пользу моделирование приносит только в тех слу­чаях, когда модель становится средством эффективной, компе­тентной коммуникации.

Соглашаясь с точкой зрения Форрестера, отметим, что по­добное понимание роли моделирования социальных процессов стало возможным только в последние годы, благодаря развитию когнитивного подхода.

1. Как с помощью Excel построить график функции, заданной фор­мулой?

2. Исследуйте поведение функций из § 5.2, варьируя значения ко­эффициентов.

3. Сформулируйте модель Ричардсона на языке разностных уравне­ний. Проанализируйте поведение решений с помощью Excel.

4. Попробуйте учесть в модели Ричардсона эффект запаздывания.

5. Как смоделировать воздействие внешнего случайного фактора на поведение модели Ричардсона?

6. Какие уравнения точнее описывают ход социальных процессов: разностные или дифференциальные?

7. Как вы считаете, рассмотренные в данной главе модели описыва­ют эволюцию социальных систем на макроуровне или на микроуровне?

19. Forrester J.W. System Dynamics and the Lessons of 35 years // A Systems — based approach to Policymaking / Ed.by De Green U.B. Boston: Kluwer, 1995. P. 199-239.

20. Forrester J.W. Nonlinearity in high-order models of social systems// Eur. J. of Opnl. Res. 1987. Vol. 30. P. 104-109.

21. Hanneman R.A. Computer-assisted theory building. Modeling dy­namic social systems. N. Y.: Sage. 1988.

22. Harvey D.L., Reed M. Social Science as the Study of Complex Systems // Chaos Theory in the Social Sciences / Ed.by L.D.Kiel and E.Elliot Ann Arbor. The Univ. of Michigan Press, 1996. P. 295-323.

23. Huckfeldt R.R., Kohfeld C.W., Likens T.W. Dynamic modeling. An Introduction. Newbery Park: Sage, 1982.

24. Olinick M. An Introduction to mathematical models in social and life scince. N.Y., 1978.

25. Rapoport A. Mathematical models in the social and behavioral science. N.Y.: Wiley, 1983.

26. Richardson L. E. Arms and Insecurity. Pittsburgh: Boxwood, 1960.

27. Weidlich W. Stability and Cyclicity in Social Systems // Beha­vioral Sci. Vol. 33. 1988. P. 241-256.