Единственность и устойчивость решения плоских и пространственных задач интегральной геометрии
зависящими от разности аргументов
жүктеу/скачать 477.38 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Доказательство.
- 3. Единственность решения плоской задачи
| зависящими от разности аргументов
Пусть в полосе двумерного пространства дано семейство дано двупараметрическое семейство кривых . Кривая , с вершиной в точке состоит из двух дуг , , , которые примыкают друг к другу в точке под углом , а другими концами опираются на ось . Относительно функций , предполагаем выполнение следующих условий: (1) Считаем, что семейство кривых может быть параметризовано с помощью координат вершин кривых, то есть каждой кривой из семейства можно поставить в однозначное соответствие ее вершины, и наоборот, для каждой точки существует ровно одна кривая, принадлежащая к рассматриваемому кривых и имеющая точку своей вершиной. Рассмотрим задачу интегральной геометрии, где по заданной функции требуется найти функцию из уравнения где - области ограниченные кривыми и осью , и - заданные функции. Теорема. Пусть функций , удовлетворяют условиям (1), функция непрерывно дифференцируема по всем переменным и , функция непрерывна вместе с производной по . Тогда решение рассматриваемой задачи интегральной геометрии единственно в классе непрерывных финитных функции. Доказательство. Инвариантность семейства кривых и весовых функций , к сдвигу вдоль оси позволяет переписать уравнение (2) в следующем виде К обеим частям уравнения (3) применяем преобразование Фурье по переменной : После изменения порядка интегрирования и перехода к новым переменным интегрирования во внутренних интегралах с помощью формул , и , приходим системе интегральных уравнений Вольтерра первого рода, которая зависит от вещественного параметра : где Дифференцируя (4) по и учитывая, что , , получим семейство интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно функции : где Фиксируя в (5) вместо семейства уравнений (5) получим одно интегральное уравнение Вольтерра второго порядка, которое имеет единственное решение. Это решение может быть найдено, например, методом последовательных приближений. В силу аналитичности функции в некоторой окрестности вещественной оси , на основе теоремы единственности аналитической функции убеждаемся, что определяется однозначно для вещественного параметра . Отсюда следует единственность решения исходной задачи интегральной геометрии. 3. Единственность решения плоской задачи жүктеу/скачать 477.38 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|